Ответы к экзамену по высшей математике.
1) Что называют множеством, элементом множества?
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.
Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например в формулировке Георга Кантора: «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).»
Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Также, возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств.
В математической логике и дискретной математике часто употребляемый синоним множества — алфавит.
Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. Более того, как в наивной, так и в формальной теориях множеств любой объект обычно считается множеством.
Элемент множества -Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А (а не принадлежит А).
2) Какие множества называются счётными (несчётными)?
Счетное множество -В теории множеств, счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество X является счётным, если существует биекция (отображение) 
, где 
обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.
Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Мощность множества всех натуральных чисел обозначается символом 
(произносится: "алеф-нуль").
СВОЙСТВО:
- Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).
- Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.
- Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
- Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
- Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.
Счётные множества -!Примеры!
- Простые числа;
- Натуральные числа;
- Целые числа;
- Рациональные числа;
- Алгебраические числа;
- Кольцо периодов;
- Вычислимые числа;
- Арифметические числа;
- Множество всех конечных слов над конечным или счётным алфавитом;
- Любое бесконечное семейство непересекающихся открытых интервалов на действительной оси;
- Множество всех прямых на плоскости, каждая из которых содержит хотя бы 2 точки с рациональными координатами;
- Любое бесконечное множество точек на плоскости, все попарные расстояния между элементами которого рациональны.
Несчетное множество - такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.
Несчётные множества-!Примеры!
- Вещественные числа;
- Комплексные числа;
- Числа Кэли.
3) Какие способы задания множества Вам известны?
Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание его элементов. Перечисление состоит в получении полного списка элементов множества, а описание заключается в задании такого свойства, которым элементы данного множества обладают, а все остальные нет.
Конечные множества можно задавать обоими способами, причем выбор того или иного способа зависит от удобства задания и дальнейшей работы с множеством. Бесконечные множества можно задавать только с помощью описания.
Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты назвал элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством A(x), обозначил 
. При этом, A(x) называется характеристическим свойством множества.
Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.
Так как теория множеств, фактически, используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 г. теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселем и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. В настоящее время, теорию множеств Кантора принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную аксиоматической теорией множеств.
4) Какие отношения между множествами Вы знаете?
Два множества A и B могут вступать друг с другом в различные отношения.
A включено в B, если каждый элемент множества A принадлежит также и множеству B:
A равно B, если A и B включены друг в друга:
A строго включено в B, если A включено в B, но не равно ему:
Дайте определение объединения множеств. Приведите пример. Поясните с помощью диаграмм Эйлера.
Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A и B обычно обозначается 
, но иногда можно встретить запись в виде суммы A + B.
Объединение двух множеств
Пусть даны два множества A и B. Тогда их объединением называется множество
