Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету магнитных полей прямого и кругового токов

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774 —1862) и Ф.Саваром (1791-1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и

физиком П.Лапласом.

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке А

(рис. 166) индукцию поля dB, записывается в виде

 

 

где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током; r— радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля; r — модуль радиуса-вектора r.

Направление dB перпендикулярно dl и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть задано по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление d B, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется выражением (110.2)

 

где а — угол между векторами dl и r.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: вектор магнитной индукции результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равен векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

 

 

Рис. 166

 

Рис. 167

 

Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако

если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био — Савара —Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля.

1. Магнитное поле прямого тока -тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 167). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов d В можно заменить сложением их модулей.

В качестве постоянной интегрирования выберем угол а (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные величины. Из рис. 167 следует, что

 

 

(радиус дуги CD вследствие малости d/ равен r, поэтому угол FDC можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что магнитная

 

Рис. 168

 

 

индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна (110.4)

Так как угол а для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от О до тт, то, согласно (110.3) и (110.4),

 

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока (110.5)

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 168).

Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin a = 1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока

одинаково и равно R, то, согласно (110. 2),

 

Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током