Решение проверочной работы № 4 – 0

1. Пусть D х - приращение аргумента в точке x _оÎ R.

Найдем соответствующее приращение функции:

Применяя теоремы о пределе суммы и пределе произведения функций, получим: . Значит, по определению функция непрерывна в каждой точке x _оÎ R.

2. Рассмотрим односторонние пределы функции в точках, в которых меняется аналитическое задание функции числитель и знаменатель обращаются в ноль): x = -2 и x = 2.

При x ® -2-0 предел рассматривается слева от точки x = -2, имеем:

При x ® -2+0 предел рассматривается справа от точки x = -2, имеем:

.

Так как односторонние пределы конечны, но не равны , ,

то x = -2 является точкой разрыва I рода. Скачок функции в этой точке разрыва равен 2.

Рассмотрим односторонние пределы при x ®2 -0 и x ®2 +0:

,

 

.

Односторонние пределы конечны и равны, значит существует предел функции в точке x = 2, но функция в этой точке не определена. x = 2 - точка устранимого разрыва.

3. Функция f (x) = не определена в точке x _о = 1, нарушено условие существования f (1), значит, функция не является непрерывной в этой точке.

Найдём односторонние пределы функции в этой точке:

, .

Они конечны, но не равны. Значит, нарушено и второе условие существования предела функции в этой точке. Итак, точка x _о = 1 - точка разрыва первого рода.

4. Представим данную функцию в виде: .

Рассмотрим односторонние пределы функции в особых точках (в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль): x = 1, x = 0, x = -4.

При x ® 1-0 предел рассматривается слева от точки x = 1, значит x < 1 и | x -1| = - (x -1). Имеем: .

При x ® 1+0 предел рассматривается справа от точки x = 1, значит x > 1 и | x -1| = (x -1). Имеем: .

Так как односторонние пределы конечны, но не равны

, ,

то x = 1 является точкой разрыва I рода.

Рассмотрим односторонние пределы при x ® -0 и x ® +0:

.

Предел при x ® +0 можно и не рассматривать, поскольку x = 0 уже является точкой разрыва II рода.

Наконец, при x ® -4-0 предел рассматривается слева от точки x = -4 и (x + 4) < 0. Имеем: ,

значит x = -4 является точкой разрыва II рода и второй односторонний предел можно не рассматривать.

Ответ. x = 1 – точка разрыва I рода, x = 0 и x = -4 - точки разрыва II рода.

5. Пусть D х - приращение аргумента в точке x. Найдем соответствующее приращение функции:

.

Отсюда находим предел отношения в точке x при :

. Таким образом, по определению .

 

6. а) Требуется найти производную сложной функции, которую можно представить в виде , где . Поэтому . Имеем

.

6. б) Представим данную функцию в виде: . Тогда используя свойства логарифмов, имеем:

.

 

6. в) Так как область определения функции ,то . при x < 0.

6. г) .

7. Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что у – есть функция от х (поэтому и ), получим: ,

Отсюда находим : или .

8. Производная функции находится по формуле , откуда .

 

9. Находим первую производную: . Отсюда находим вторую производную: , а затем искомую третью .

10. Запишем формулу Лейбница для n = 3:

Полагая , , найдём: , , .

Используя результат предыдущей задачи , , .

Подставляя в формулу Лейбница, получим:

.

 

Проверочная работа № 5–0

(с решением)

 

1. Написать уравнение касательной и нормали к кривой

в точке с абсциссой x _о= 1.

 

2. Вычислить приближенно .

 

3. Проверить, является ли функция

эластичной в точке x _о= 1.

 

4. Найти пределы, используя правило Лопиталя:

а) ; б) .

5.Найти промежутки монотонности функции:

.

6.Найти промежутки монотонности функции:

.

7. Найти экстремумы функции:

.

8. Исследовать методами дифференциального

исчисления функцию и

построить график.