Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах 1 страница

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Республики Крым

«Симферопольский колледж радиоэлектроники»

 

УТВЕРЖДАЮ

Председатель Методического совета

___________________В.И.Полякова

«_____» _______________2015 г.

 

Методические указания

К практическим занятиям

по дисциплине ЕН.01. Элементы высшей математики

 

Специальности 09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы»

 

г.Симферополь

2015 год

Методические указания составлены в соответствии с учебным планом и рабочей программой дисциплины «Элементы высшей математики» по специальности 09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы»

 

Обсуждено на заседании цикловой

методической комиссии № 1

«_____»________ 2015 г

Протокол № _________

Председатель ЦМК № 1

____________ О.В.Гнатко

 

Разработчик _________ В.Ю. Новицкий

_________ А.В. Иванов

Содержание

1. Пояснительная записка. 5

Практическая работа №1 Тема: Нахождение обратной матрицы. 7

Практическая работа №2 Тема: Решение СЛАУ. 11

Практическая работа №3 Тема: Операции над комплексными числами. 15

Практическая работа №4 Тема: Решение задач на векторы и координаты. 19

Практическая работа №5 Тема: Построение кривых и поверхностей второго порядка. 21

Практическая работа №6 Тема: Вычисление пределов. 25

Практическая работа №7 Тема: Нахождение производной функции. 27

Практическая работа №8 Тема: Применение дифференциала и производной. 31

Практическая работа №9 Тема: Исследование функций и построение графиков. 33

Практическая работа №10 Тема: Нахождение производной функции нескольких переменных. 37

Практическая работа №11 Тема: Нахождение неопределенного интеграла. 41

Практическая работа №12 Тема: Применение определенного интеграла. 43

Практическая работа №13 Тема: Нахождение площадь поверхности и объема тела. 45

Практическая работа №14 Тема: Решение дифференциальных уравнений первого порядка. 47

Практическая работа №15 Тема: Решение дифференциальных уравнений второго порядка. 51

Практическая работа №16 Тема: Исследование рядов на сходимость. 53

Практическая работа №17 Тема: Разложение функций в ряд. 57

2. Критерии оценивания практических работ. 59

3. Учебно-методическое и информационное обеспечение. 61

 

Пояснительная записка

Методические указания к практическим работам по дисциплине «Элементы высшей математики» предназначены для студентов по специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы.

Цель методических указаний: оказание помощи студентам в выполнении практических работ по дисциплине «Элементы высшей математики».

Настоящие методические указания содержат практические работы, которые позволят студентам закрепить теорию по наиболее сложным разделам дисциплины и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ПК 1.1. Разрабатывать схемы цифровых устройств на основе интегральных схем разной степени интеграции.

ПК 1.2. Выполнять требования технического задания на проектирование цифровых устройств.

ПК 1.4. Определять показатели надежности и качества проектируемых цифровых устройств.

ПК 2.3. Осуществлять установку и конфигурирование персональных компьютеров и подключение периферийных устройств.

ПК 3.3. Принимать участие в отладке и технических испытаниях компьютерных систем и комплексов; инсталляции, конфигурировании программного обеспечения.

В результате выполнения практических работ по дисциплине «Элементы высшей математики» студенты должны:

знать:

- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии;

- основы дифференциального и интегрального исчисления.

уметь:

- выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;

- применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

- решать дифференциальные уравнения.

Описание каждой практической работы содержит: тему, цели работы, порядок выполнения работы, а так же перечень контрольных вопросов. Для получения дополнительной, более подробной информации по изучаемым вопросам, приведено учебно-методическое и информационное обеспечение.

Практическая работа №1
Тема: Нахождение обратной матрицы.

Цель: Научиться выполнять действия над матрицами, вычислять определитель матрицы, находить обратную матрицу.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Основные действия над матрицами.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

a (А+В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

Операция умножения матриц.

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = А^Т= ;

другими словами, b_ji = a_ij.

Определитель матрицы.

Определение. Определителем матрицы второго порядка называется выражение

.

Определение. Определитель матрицы третьего порядка можно найти по правилу Саррюса

.

Для запоминания правила вычисления определителя третьего порядка предлагаем такую схему (правило треугольников):

Наметим точками элементы определителя, тогда слагаемые со знаком «плюс» — это произведения элементов главной диагонали a₁₁, a₂₂, a₃₃ и произведения элементов a₁₃, a₂₁, a₃₂ и a₁₂, a₂₃, a₃₁, расположенных в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Со знаком «минус» берутся слагаемые, которые будут произведениями элементов второстепенной диагонали a₁₃, a₂₂, a₃₁ и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны второстепенной диагонали – a₁₁, a₂₃, a₃₂ и a₁₂, a₂₁, a₃₃.

Миноры и алгебраические дополнения.

Определение. Пусть определитель имеет n строк и n столбцов. Минором k-го порядка k [1; n–1] называется определитель, образованный из элементов, расположенных на пересечении каких-нибудь k строк и k столбцов определителя. Понятно, что минор первого порядка – это какой-нибудь элемент определителя.

Определение. Дополнительным минором для минора k-го порядка называется такой минор, который остается в определителе после вычеркивания тех k строк и тех k столбцов, на пересечении которых находятся элементы образовавшие минор k-го порядка.

Определение. Алгебраическим дополнением к минору k-го порядка является дополнительный минор (n–k)-го порядка, взятый со знаком , где . Если сумма номеров строк и столбцов четное число, то берется знак «+», если нечетное – то знак «–».

Тут – дополнительный минор (n–1)-го порядка, образованный вычеркиванием i-строки и j-столбца в изначальном определителе n-го порядка.

Теорема Лапласа (разложение определителя по строке или столбцу). Определителем n-го порядка называется число , которое равняется алгебраической сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на соответствующие ему алгебраические дополнения:

или

.

Алгебраические дополнения из формулы для вычисления определителя, являются в свою очередь, минорами, взятыми с соответствующими знаками, то есть определителями (n–1)-го порядка. В итоге, вычисление определителя n-го порядка сводиться к вычислению n определителей (n–1)-го порядка.

По формуле вино, что при наличии в определителе нулевых элементов соответствующие алгебраические дополнения вычислять не нужно.

Обратная матрица.

Определим операцию деления матриц как операцию, умножению на обратный элемент.

Определение. Матрица А ^–1 называется обратной матрицей к квадратной невырожденной матрицы А, если выполняется соотношение: , где Е - единичная матрица того же самого порядка.

Обратная матрица – это матрица, составленная из транспонированной матрицы алгебраических дополнений и умноженная на число обратное ее определителю, имеет вид:

.

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

		А-В	Г-Е	Ж-И	К-М	Н-П	Р-Т	У-Х	Ц-Ш	Щ-Э	Ю-Я
Фамилия	т
Имя	п

ЗАДАНИЯ

1. Выполнить действия:

а) ; б) .

2. Вычислить определитель двумя способами:

а) по правилу Саррюса; б) по теореме Лапласа.

3. Найти обратную матрицу.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.

2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.

3. Записать исходные данные.

4. Решить задания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Основные сведения о матрицах. Действия над матрицами.

2. Определитель матрицы. Теорема Лапласа (о разложении определителя по элементам строки или столбца).

3. Алгебраические дополнения. Обратная матрица.

Практическая работа №2
Тема: Решение СЛАУ.

Цель: Научиться решать систему линейных алгебраических уравнений тремя способами.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .

Систему уравнений можно записать:

A×X = B.

Сделаем следующее преобразование: A^-1×A×X = A^-1×B, т.к. А^-1×А = Е, то Е×Х = А^-1×В

Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

Метод Крамера.

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0, т.е. det A ¹ 0.

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

, где D = det A, а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

Пример.

A = ; D₁= ; D₂= ; D₃= ;

x₁ = D₁/detA; x₂ = D₂/detA; x₃ = D₃/detA;

Метод Гаусса.

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ¹ 0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения

и т.д.

Получим:

, где d_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1.

d_ij = a_ij – a_i1d_1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

		А-В	Г-Е	Ж-И	К-М	Н-П	Р-Т	У-Х	Ц-Ш	Щ-Э	Ю-Я
Фамилия	т
Имя	п

ЗАДАНИЯ

Решить систему уравнений тремя способами:

1) по формулам Крамера;

2) методом Гаусса;

3) с помощью вычисления обратной матрицы, записав систему в матричном виде .

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.

2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.

3. Записать исходные данные.

4. Решить задания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Формулы Крамера?

2. Метод Гаусса и Гаусса-Жордано?

3. Матричный метод решения СЛАУ?

4.

5.

Практическая работа №3
Тема: Операции над комплексными числами.

Цель: Научиться выполнять действия над комплексными числами и осуществлять перевод в разные формы записи.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Алгебраическая форма комплексного числа.

Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

Возведение мнимой единицы в степень.

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b - мнимой частью (b = Im z).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Комплексное число изображается на координатной плоскости точкой или вектором , начало которого совпадает с началом координат, а конец с точкой М (рис. 1).

Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона j - аргументом комплексного числа.

Показательная форма комплексного числа.

Это выражение называется формулой Эйлера.

Действия с комплексными числами.

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

1) Сложение и вычитание.

2) Умножение.

В тригонометрической форме:

,

В показательной форме:

,

3) Деление.

В тригонометрической форме:

В показательной форме:

4) Возведение в степень.

Это выражение называется формулой Муавра.

,

где n – действительное число.

Пример. а) Даны два комплексных числа . Требуется найти значение выражения в алгебраической форме.

б) Для числа найти тригонометрическую форму, найти z²⁰.

a) Очевидно, справедливо следующее преобразование:

Далее производим деление двух комплексных чисел:

Получаем значение заданного выражения: 16(- i)⁴ = 16 i ⁴ =16.

б) Число представим в виде , где

Тогда .

Для нахождения воспльзуемся формулой Муавра.

ВАРИАНТЫ

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

		А-В	Г-Е	Ж-И	К-М	Н-П	Р-Т	У-Х	Ц-Ш	Щ-Э	Ю-Я
Фамилия	т
Имя	п

ЗАДАНИЯ

1. Вычислить и ответ записать в алгебраической форме:

1) ; 2) ; 3) .

2. Возвести в степень и записать число в тригонометрической или показательной форме: .

3. Вычислить и ответ записать в тригонометрической или показательной форме:

.