Момент сили і момент імпульсу частинки

Практичне завдання №9

Тема: Динаміка обертального руху тіла.

Теоретичні відомості.

Момент інерції матеріальної точки. Інертні властивості тіла при обертальному русі характеризує момент інерції. Він залежить від розподілу маси тіла щодо осі обертання.

Моментом інерції матеріальної точки відносно осі обертання називається добуток маси цієї точки на квадрат відстані від осі.

(1)

Моментом інерції системи (тіла) щодо осі обертання називається фізична величина, що дорівнює сумі добутків мас n матеріальних точок системи на квадрати їх відстаней до розглянутої осі.

(2)

У разі неперервного розподілу мас ця сума зводиться до інтегралу

(3)

Головний момент інерції – момент інерції відносно головної осі обертання проходить через центр мас.

Момент інерції тіла залежить від того, щодо якої осі воно обертається і як розподілена маса тіла по об’єму.

Наведемо моменти інерції однорідних тіл масою m, що мають правильну геометричну форму і рівномірний розподіл маси за об’ємом.

Полий тонкостінний циліндр; тонке кільце
Полий циліндр; обруч.
Суцільний циліндр, диск
Куля
Тонкий стержень довжиною l; прямокутна пластина зі стороною l
Тонке кільце радіусом R та шириною d

 

Теорема Штейнера. Якщо відомий момент інерції тіла відносно осі, що проходить через його центр мас, то момент інерції щодо будь-якої іншої паралельної осі визначається теоремою Штейнера: момент інерції тіла I щодо довільної осі z дорівнює сумі моменту його інерції c I_i щодо паралельної осі, що проходить через центр мас тіла, і добу маси m тіла на квадрат відстані між осями d:

Момент сили і момент імпульсу частинки.

Момент сили. Обертальна дія сили характеризується моментом сили відносно точки

 

рис.1 рис.2

Для того щоб визначити момент сили відносно точки О, проведемо з точки О радіус-вектор в точку прикладання сили (рис.1).

Моментом сили відносно точки О називається векторна фізична величина, що дорівнює векторному добутку радіуса вектора на силу .

(5)

Модуль моменту сили: – плече сили, найкоротша відстань між лінією дії сили і точкою O, α - кут між .

Для того щоб визначити момент сили щодо осі Z, виберемо на осі Z довільну точку, знайдемо момент сили відносно цієї точки, а потім спроектуємо на вісь Z момент сили відносно точки.

Таким чином, момент сили відносно осі – величина скалярна. Розкладемо силу на три складові (рис.2): – осьова, паралельна осі обертання, – радіальна, перпендикулярна осі обертання, – дотична, перпендикулярна і осі обертання. Складову можна визначити як проекцію сили на напрям вектора , спрямованого по дотичній до кола радіусом R, проведеної через точку прикладання сили перпендикулярно осі обертання. Напрям вектора уворює з віссю Z правогвинтовую систему.

Складові обертання тіла щодо осі Z не викликають. Обертальну дію сили обумовлено складовою . Можна показати, що момент сили відносно осі Z

(6)

Моментом сили відносно нерухомої осі z – називається скалярна величина M_z, рівна проекції на цю вісь вектора моменту сили, визначеного відносно довільної точки O даної осі z. Значення моменту не залежить від вибору положення точки O на осі z.

Момент імпульсу. Моментом імпульсу (кількості руху) матеріальної точки A відносно нерухомої точки O називається фізична величина, яка визначається векторним добутком радіуса-вектора на імпульс матеріальної точки:

(7)

Моментом імпульсу відносно нерухомої осі z називається скалярна величина L, рівна проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу, визначеного відносно довільної точки O даної осі (рис.3).

рис.3 рис.4

 

Аналогічно моменту сили відносно осі, момент імпульсу відносно осі Z

(8)

де – проекція імпульсу на напрям вектора , спрямованого по дотичній до кола радіусом, проведеної через матеріальну точку перпендикулярно осі обертання (рис. 4). Напрям вектора утворює з віссю Z правогвинтову систему.