Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания

Модели с n обслуживающими каналами. В подавляющем боль­шинстве случаев на практике системы массового обслуживания яв­ляются многоканальными, и, следовательно, модели с n обслужива­ющими каналами (где n > 1) представляют несомненный интерес.

 

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моде­лью, характеризуется интенсивностью входного потока λ, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняет­ся 1/μ. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Ре­жим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих ка­налов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель исполь­зования n параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной систе­мой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания од­новременно n клиентов.

Граф состояний многоканальной системы массового обслужи­вания с отказами имеет вид, показанный на рис. 3.

 

Рис. 3. Граф состояний многоканальной СМО с отказами

 

Состояния данной СМО имеют следующую интерпретацию:

S₀ — все каналы свободны;

S₁ - занят один канал, остальные свободны;

………………

S_k - заняты ровно к каналов, остальные свободны;

………………

S_n - заняты все n каналов, заявка получает отказ в обслужи­вании.

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы Р₀.....Р_к,....,Р_n будут иметь следующий вид:

 

 

 

Начальные условия решения системы таковы:

 

P₀(0)=1, P₁(0)= P₂(0)=…= P_k(0)=…=P_n(0)=0.

 

 

Стационарное решение системы имеет вид:

(27)

 

 

где .

Формулы для вычисления вероятностей Р_к называются форму­лами Эрланга.

Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме. Вероятность отказа определяет формула

 

 

 

Заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все п ка­налов заняты. Величина Р _откхарактеризует полноту обслуживания

входящего потока.

Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же - относительная пропускная способность системы q ) дополняет Р _откдо единицы:

 

Абсолютная пропускная способность показывается формулой

 

 

Среднее число каналов, занятых обслуживанием (к), следующее:

 

 

Величина характеризует степень загрузки СМО.

 

Пример 4. Пусть п- канальная СМО представляет собой вы­числительный центр (ВЦ) с тремя (n = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступаю­щих на ВЦ, имеет интенсивность = 1 задаче в час. Средняя про­должительность обслуживания = 1,8 час. Поток заявок на ре­шение задач и поток обслуживания этих заявок являются простей­шими.

Требуется вычислить финальные значения:

вероятности состояний ВЦ;

вероятности отказа в обслуживании заявки;

относительной пропускной способности ВЦ;

абсолютной пропускной способности ВЦ;

среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.

Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.

 

Решение

1. Определим параметр μ потока обслуживании:

2. Приведенная интенсивность потока заявок равна:

ρ = λ/ρ = 1/0,555 = 1,8.

3. Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эр­ланга (3.27):

4. Вероятность отказа в обслуживании заявки

 

5. Относительная пропускная способность ВЦ

6. Абсолютная пропускная способность ВЦ

 

 

 

7. Среднее число занятых каналов – ПЭВМ

 

 

Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех - остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно счи­тать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (P₃ = 0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных λ и μ можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.

Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сокра­тить число не обслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0,0180. Для этого используем формулу (3.28):

Составим следующую таблицу:

 

n
Р 0	0,357	0,226	0,186	0,172	0,167	0,166
P отк	0,643	0,367	0,18	0,075	0,026	0,0078

 

Анализируя данные таблицы, следует отметить что Расширение числа каналов ВЦ при данных значениях λ и μ до 6 единиц ПЭВМ позолит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22%, так как при п = 6 вероятность отказа в обслуживании (Р _отк ) составляет 0,0078.