Многоканальная система массового обслуживания с ожиданием

Процесс массового обслуживания с ожиданием характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями λ и μ соответственно; параллельно могут обслуживаться не более С клиентов. Система имеет С каналов об­служивания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/μ.

В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описа­но с помощью системы алгебраических уравнений:

 

при 1≤n≤C;

(32)

при 1≤n≤C;

 

Решение системы уравнений (3.32) имеет вид:

 

 

где

 

 

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие: .

Вероятностные характеристики функционирования в стацио­нарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам:

вероятность того, что в системе находится п клиентов на обслу­живании, определяется по формулам (33) и (34);

среднее число клиентов в очереди на обслуживание

 

 

среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на об­служивание и в очереди)

 

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на об­служивание) в очереди

 

 

средняя продолжительность пребывания клиента в системе

 

Рассмотрим примеры многоканальной системы массового об­служивания с ожиданием.

 

Пример 5. Механическая мастерская завода с тремя поста­ми (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неис­правных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность λ = 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно = 0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской мо­жет расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероят­ностных характеристик системы:

вероятности состояний системы;

среднее число заявок в очереди на обслуживание;

среднее число находящихся в системе заявок;

среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;

среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

 

Решение

1. Определим параметр потока обслуживаний

 

.

 

2. Приведенная интенсивность потока заявок

 

ρ = λ/μ = 2,5/2,0 = 1,25,

при этом λ/μ • с = 2,5/2 • 3 = 0,41.

Поскольку λ/μ • с <, то очередь не растет безгранично и в сис­теме наступает предельный стационарный режим работы.

3. Вычислим вероятности состояний системы:

 

 

4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской

 

5. Среднее число заявок в очереди на обслуживание

 

 

6. Среднее число находящихся в системе заявок

 

L_s = L_q + ρ = 0,111 + 1,25 = 1,361.

 

7. Средняя продолжительность пребывания механизма в очере­ди на обслуживание

 

 

8. Средняя продолжительность пребывания механизма в мас­терской (в системе)