Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания

Простейшая одноканальная модель. Такой моделью с вероятност­ными входным потоком и процедурой обслуживания является мо­дель, характеризуемая показательным распределением как длитель­ностей интервалов между поступлениями требований, так и дли­тельностей обслуживания. При этом плотность распределения дли­тельностей интервалов между поступлениями требований имеет вид

(1)

где - интенсивность поступления заявок в систему.

Плотность распределения длительностей обслуживания:

, (2)

где - интенсивность обслуживания.

Потоки заявок и обслуживаний простейшие.

Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис.1), у которого имеются два состояния:

S₀ - канал свободен (ожидание);

S₁ - канал занят (идет обслуживание заявки).

 

 

 

 

Рис. 1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

 

Обозначим вероятности состояний:

P₀(t) — вероятность состояния «канал свободен»;

Р₁(t) — вероятность состояния «канал занят».

По размеченному графу состояний (рис. 1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей со­стояний:

(3)

Система линейных дифференциальных уравнений (3) имеет решение с учетом нормировочного условия = 1. Реше­ние данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и выглядит следующим образом:

(4)

 

(5)

 

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность Р₀(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.

Действительно, Р₀ - вероятность того, что в момент t канал сво­боден и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следо­вательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно , т. е.

 

q = . (6)

 

По истечении большого интервала времени () дости­гается стационарный (установившийся) режим:

(7)

 

Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность (А) - среднее число, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

. (8)

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероят­ности состояния «канал занят»:

 

(9)

 

Данная величина может быть интерпретирована как сред­няя доля не обслуженных заявок среди поданных.

Пример 1. Пусть одноканальная СМО с отказами представ­ляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность по­тока автомобилей = 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжи­тельность обслуживания - 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживании являются простейшими.

Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:

относительной пропускной способности q;

абсолютной пропускной способности А;

вероятности отказа .

Сравните фактическую пропускную способность СМО с номи­нальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслужи­вался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

Решение

1. Определим интенсивность потока обслуживания:

 

 

2. Вычислим относительную пропускную способность:

 

 

 

Величина q означает, что в установившемся режиме система бу­дет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост ЕО автомо­билей.

3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:

= 1 • 0,356 = 0,356.

Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.

3. Вероятность отказа:

Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.

4. Определим номинальную пропускную способность системы:

(автомобилей в час).

Оказывается, что в 1,5 раза больше, чем фак­тическая пропускная способность, вычисленная с учетом случай­ного характера потока заявок и времени обслуживания.

Одноканальная СМО с ожиданием. Система массового обслужи­вания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью . Интенсивность потока обслуживания равна (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженных заявок). Длительность обслужива­ния - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований по­ступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены об­служиваться в другом месте. Наконец, источник, порождающий за­явки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно боль­шую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 2.

 

Рис. 2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием

(схема гибели и размножения)

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S₀ - канал свободен;

S₁ - канал занят (очереди нет);

S₂- канал занят (одна заявка стоит в очереди);

……………………

S_n - канал занят (n - 1 заявок стоит в очереди);

…………………...

S_N - канал занят (N - 1 заявок стоит в очереди).

Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

 

 

где

п - номер состояния.

Решение приведенной выше системы уравнений (10) для на­шей модели СМО имеет вид

 

(11)

 

(12)

 

Тогда

 

 

Следует отметить, что выполнение условия стационарности для данной СМО необязательно, поскольку число допу­скаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превы­шать N — 1), а не соотношением между интенсивностями входно­го потока, т. е. не отношением

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N— 1):

вероятность отказа в обслуживании заявки:

(13)

относительная пропускная способность системы:

 

(14)

 

абсолютная пропускная способность:

А = q • 𝝀; (15)

 

среднее число находящихся в системе заявок:

 

(16)

 

 

среднее время пребывания заявки в системе:

 

(17)

 

 

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

 

; (18)

 

 

среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

 

L_q = (1 - P_N)W_q. (19)

 

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.

Пример 2. Специализированный пост диагностики пред­ставляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомо­билей, ожидающих проведения диагностики, ограничено и равно 3 [ (N - 1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже нахо­дится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток ав­томобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность 𝝀 = 0,85 (автомобиля в час). Вре­мя диагностики автомобиля распределено по показательному зако­ну и в среднем равно 1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста ди­агностики, работающего в стационарном режиме.

 

Решение

1. Параметр потока обслуживании автомобилей:

 

.

 

2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей 𝝀 и µ, т. е.

 

 

3. Вычислим финальные вероятности системы:

 

;

 

4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

 

5. Относительная пропускная способность поста диагностики:

 

 

6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики

 

А = 𝝀 • q = 0,85 • 0,842 = 0,716 (автомобиля в час).

 

7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

 

 

 

8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:

 

 

9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

 

 

10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

 

L_q = (1 - P_N)W_q = 0,85 • (1 - 0,158) • 1,423 = 1,02.

 

Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удов­летворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомо­били в среднем в 15,8% случаев (Р _отк= 0,158).

 

Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на вмести­мость блока ожидания (т. е. ). Остальные условия функцио­нирования СМО остаются без изменений.

Стационарный режим функционирования данной СМО суще­ствует при для любого n = 0, 1, 2,... и когда 𝝀< µ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого п =0,1,2,…, имеет вид

 

(20)

 

Решение данной системы уравнений имеет вид

 

(21)

 

где .

 

Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без огра­ничения на длину очереди, следующие:

среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на об­служивание:

 

(22)

 

средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

 

(23)

 

среднее число клиентов в очереди на обслуживании:

 

 

средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:

 

 

Пример 3. Вспомним о ситуации, рассмотренной в примере 2, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслужива­ние автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.

 

Требуется определить финальные значения следующих вероят­ностных характеристик:

• вероятности состояний системы (поста диагностики);

• среднее число автомобилей, находящихся в системе (на об­служивании и в очереди);

• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в сис­теме (на обслуживании и в очереди);

• среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;

• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в оче­реди.

 

Решение

1. Параметр потока обслуживания μ и приведенная интенсив­ность потока автомобилей ρ определены в примере 2:

 

μ=0,952; ρ=0,893.

 

2. Вычислим предельные вероятности системы по формулам

 

Следует отметить, что Р₀ определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаива­ет). В нашем примере она составляет 10,7%, так как Р₀ = 0,107.

3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на об­служивании и в очереди):

4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

5. Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:

 

 

6. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:

 

 

7. Относительная пропускная способность системы:

 

q=1,

 

т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.

8. Абсолютная пропускная способность:

A = q = 0,85 • 1 = 0,85.

 

Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагнос­тику автомобилей, прежде всего, интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятии ограничения на длину очереди.

Допустим, в первоначальном варианте количество мест для сто­янки прибывающих автомобилей было равно трем (см. пример 2). Частота т возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностики автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди:

 

т = λP_N.

В нашем примере при N=3 + 1= 4 и ρ = 0,893,

 

т = λ Р₀ ρ⁴ = 0,85 • 0,248 • 0,8934 = 0,134 автомобиля в час.

 

При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквива­лентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12 • 0,134 = 1,6 автомобиля.

Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить ко­личество обслуженных клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч. работы) поста диагностики. Ясно, что ре­шение относительно расширения площади для стоянки автомоби­лей, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей кли­ентов при наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей.