Из равенства (2.1) получаем

. (2.4)

Используя выражения (2.2) и (2.3), из (2.4) находим, что

. (2.5)

Выражение (2.5) является законом Гука в современной формулировке. Из него следует, что продольная деформация прямопропорциональна соответствующему нормальному напряжению

Томас Юнг указал, что закон Гука справедлив только в пределах упругих деформаций материала. На рис. 1, б представлена зависимость относительной линейной деформации бруска от нормального напряжения. Из (2.5) можно найти значение модуля продольной упругости материала

или

Таким образом, модуль упругости равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс (рис. 2.1, б).

В данной работе модуль Юнга определяется по величине прогиба балки. Для этого необходимо найти зависимость стрелы прогиба балки от модуля Юнга, геометрических параметров балки и нагрузки.

Рассмотрим изгиб балки прямоугольного сечения под действием силы, приложенной к центру балки (рис. 2.2). Внутренние силы, обусловленные взаимодействием частиц (атомов и молекул), сохраняют форму и целостность тела. Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, т.е. деформировать это тело. При этом возникают дополнительные внутренние силы, препятствующие этой деформации.

Обозначим стороны прямоугольника, лежащего в сечении, через а и в, а длину балки - (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Пусть до деформации элемент балки имел форму прямоугольного параллелепипеда. Мысленно проведем два близких нормальных сечения, т.е. вырежем малый элемент АА¢ВВ¢, длину которого обозначим . В результате изгиба элемента АА¢ВВ¢ все прямые, параллельные АА¢ и ВВ¢, перейдут в дуги окружностей с центрами, лежащими на оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка (рис. 2.3).

При малых деформациях слои, лежащие выше линии NN¢, сжимаются, а слои, лежащие ниже линии NN¢, удлиняются. При этом длина нейтральной линии NN¢ остается неизменной. Пусть R – радиус кривизны нейтральной линии. Тогда , где a - угол, выраженный в радианах.

Рассмотрим слой балки, находящийся ниже линии NN¢ и имеющий толщину d (d<< R). Длина рассматриваемого слоя , а изменение длины .

Рис.2.3.

Используя выражение (2.4), можно записать

где DF – внутренняя сила, действующая на площадь DA нормального сечения рассматриваемого слоя.

Напряжение, обусловленное внутренней силы, равно:

s = .

Предположим, что при изгибе все нормальные сечения остаются плоскими (гипотеза Бернулли). Сумма напряжений, созданных внутренними силами и действующих на плоскость нормального сечения, равна нулю:

N = ,

где интеграл берется по площади нормального сечения A. Это является результатом того, что слои, лежащие выше нейтральной линии, сжимаются, а слои, лежащие ниже этой линии, удлиняются. Таким образом, напряжения выше и ниже нейтральной линии имеют разные знаки.

Рассечем балку плоскостью AB, перпендикулярной нейтральной линии NN'. Установим систему координат X ₁ Y ₁ Z ₁так, чтобы ее начало совпадало с центром тяжести C нормального сечения (рис. 2.4). Ось X ₁проходит через нейтральную линию NN¢, а ось Y ₁направлена вниз. Рассмотрим внутренние силовые факторы, действующие на эту отсеченную часть балки со стороны отброшенной ее части.

Рис. 2.4

Изгибающий момент M_x ₁, созданный внутренними силами относительно оси X ₁, равен

, (2.6)

где - момент инерции сечения относительно оси X ₁:

. (2.7)

Выберем систему координат XYZ такую, чтобы ось ОZ была направлена вдоль нейтральной линии NN¢, а ось OY – перпендикулярно оси ОZ (рис. 2.5). Поместим начало координат в точку O, расположенную над левой опорой. Тогда уравнение для нейтральной линии изогнутой балки представится в виде у=у(z). Причем верхняя и нижняя линии балки смещены, соответственно, вверх и вниз на b/2 от нейтральной линии.