. (2.4)
Используя выражения (2.2) и (2.3), из (2.4) находим, что
. (2.5)
Выражение (2.5) является законом Гука в современной формулировке. Из него следует, что продольная деформация прямопропорциональна соответствующему нормальному напряжению
.
Томас Юнг указал, что закон Гука справедлив только в пределах упругих деформаций материала. На рис. 1, б представлена зависимость относительной линейной деформации бруска от нормального напряжения. Из (2.5) можно найти значение модуля продольной упругости материала
или
.
Таким образом, модуль упругости равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс (рис. 2.1, б).
В данной работе модуль Юнга определяется по величине прогиба балки. Для этого необходимо найти зависимость стрелы прогиба балки от модуля Юнга, геометрических параметров балки и нагрузки.
Рассмотрим изгиб балки прямоугольного сечения под действием силы, приложенной к центру балки (рис. 2.2). Внутренние силы, обусловленные взаимодействием частиц (атомов и молекул), сохраняют форму и целостность тела. Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, т.е. деформировать это тело. При этом возникают дополнительные внутренние силы, препятствующие этой деформации.
Обозначим стороны прямоугольника, лежащего в сечении, через а и в, а длину балки - 
(рис. 2.2).
Рис. 2.2
Пусть до деформации элемент балки имел форму прямоугольного параллелепипеда. Мысленно проведем два близких нормальных сечения, т.е. вырежем малый элемент АА¢ВВ¢, длину которого обозначим 
. В результате изгиба элемента АА¢ВВ¢ все прямые, параллельные АА¢ и ВВ¢, перейдут в дуги окружностей с центрами, лежащими на оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка (рис. 2.3).
При малых деформациях слои, лежащие выше линии NN¢, сжимаются, а слои, лежащие ниже линии NN¢, удлиняются. При этом длина нейтральной линии NN¢ остается неизменной. Пусть R – радиус кривизны нейтральной линии. Тогда 
, где a - угол, выраженный в радианах.
Рассмотрим слой балки, находящийся ниже линии NN¢ и имеющий толщину d (d<< R). Длина рассматриваемого слоя 
, а изменение длины 
.
Рис.2.3.
Используя выражение (2.4), можно записать
,
где DF – внутренняя сила, действующая на площадь DA нормального сечения рассматриваемого слоя.
Напряжение, обусловленное внутренней силы, равно:
s = 
.
Предположим, что при изгибе все нормальные сечения остаются плоскими (гипотеза Бернулли). Сумма напряжений, созданных внутренними силами и действующих на плоскость нормального сечения, равна нулю:
N = 
,
где интеграл берется по площади нормального сечения A. Это является результатом того, что слои, лежащие выше нейтральной линии, сжимаются, а слои, лежащие ниже этой линии, удлиняются. Таким образом, напряжения выше и ниже нейтральной линии имеют разные знаки.
Рассечем балку плоскостью AB, перпендикулярной нейтральной линии NN'. Установим систему координат X 1 Y 1 Z 1так, чтобы ее начало совпадало с центром тяжести C нормального сечения (рис. 2.4). Ось X 1проходит через нейтральную линию NN¢, а ось Y 1направлена вниз. Рассмотрим внутренние силовые факторы, действующие на эту отсеченную часть балки со стороны отброшенной ее части.
Рис. 2.4
Изгибающий момент Mx 1 , созданный внутренними силами относительно оси X 1, равен
, (2.6)
где 
- момент инерции сечения относительно оси X 1:
. (2.7)
Выберем систему координат XYZ такую, чтобы ось ОZ была направлена вдоль нейтральной линии NN¢, а ось OY – перпендикулярно оси ОZ (рис. 2.5). Поместим начало координат в точку O, расположенную над левой опорой. Тогда уравнение для нейтральной линии изогнутой балки представится в виде у=у(z). Причем верхняя и нижняя линии балки смещены, соответственно, вверх и вниз на b/2 от нейтральной линии.
