При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.
ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а= 
(α), в= (β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х= 
(t), где t 
[α,β], Тогда справедливо следующее равенство: 
= 
’(t)dt
Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).
15)Интегрирование по частям определенного интеграла:
Формула интегрирования по частям:
16) Вычисление площадей плоских фигур:
Площадь криволинейной трапеции в декартовых координатах:
1. 
2. 
3. 
4. 
Площадь криволинейной трапеции ограниченная функциями заданными параметрически:
17)Площадь фигуры в полярных координатах:
Если линии заданы в полярной системе координат(уравнения таких линий имеют вид 
или 
, а связь полярных координат с декартовыми: 
, то все аналогично. При этом следует помнить, что всегда 
, а линия представляет собой луч, выходящий из начала координат и составляющий с положительным направлением оси ОХ угол 
.
Для случаев а) и в) площадь фигуры определяется с помощью интеграла
Для б) с помощью интеграла
18) Длина дуги кривой:
Декартовые координаты:
19) Длина дуги в параметрическом виде:
20)Длина дуги в полярных координатах:
Объем теловращения.
Если криволинейную трапецию ограничить сверху графиком а(ч) осью ОХ и по бокам прямым у = а и х = b, то получится тело вращения.
Приближенное вычисление определенных интегралов (признак сравнения).
{a;b} разбиваем на n одинаковых отрезков 
, 
