Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла.
Опр.1 Если 
(x)=f(x) на множестве x, для любого X, то F(x)-называется первообразной функции f(x). Лемма: Если f(x), равняется 0 на некотором интервале, то F(x)=C на этом интервале. Теорема: Если F(x) - первообразная для f(x) на X, а 
другая первообразная, то 
Опр.2. Множество всех первообразных функции, называется неопределенным интегралом.
Оснновные свойства неопределенных интегралов.
А) 
.
Б) 
В) 
Г) 
.
Таблица основных интегралов.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
+c;
17) 
Непосредственное интегрирование.
Использование свойств интеграла и таблицы.
Метод подстановки
Замена под знаком интеграла.
Теорема: Если 
то 
Док-во. 
Пример: 
Метод интегрирования по частям. Циклические интегралы.
Если существует первообразная для UV и V 
, то существует интеграл 
Циклические интегралы: 
(
; 
) – принимаются за U.
Интегрирование рациональных дробей.
P и Q – многочлен, причем n – старшая степень, m – это старшая степень знаменателя. 
Опр.1.Если n 
, то дробь называется неправильной, необходимо поделить числитель на знаменатель и выделить целую часть.
Существует теорема, утверждающая, что любой многочлен можно представить в виде: 
где: 
- главный коэффициент при Х; 
- корни многочлена; 
Опр.2. Если n<m, то дробь правильная. Для того, чтобы проинтегрировать правильную дробь, многочлен в знаменателе раскладывают на множители. После чего, подынтегральную функцию раскладывают на элементарные дроби, для этого используют метод неопределенных коэффициентов.
Интегрирование тригонометрических функций.
I.
II.
где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени:
III. Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)
Примеры:
IV. 
или 
dx
Замена: tgx=t или ctgx=t
= 
= 
= 
= 
= 
+ C = - 
+ C
V. Универсальная тригонометрическая подстановка.
sinx = 
, cosx = 
, подстановка 
= t
dx = 
= 
= t+C = tg 
+C
VI.
, 
(2) 
sinxdx = 
tgx = 
= 
– 
I = – I + 
2I = +
I = 
+ 
Интегрирование иррациональных уравнений.
I. 
, замена “a”: ax+b- 
Пример:
dx = 
= 
= 
dt = 2 
dt = 2 
- 2 
= 2t – 2arc 
+ C = 2 
- 2arctg +C
II. 
, замена: 
или
, замена: 
, dx = - 
Пример:
= 
= 
= 
= - 
= - 
= - 
= - 
Тригонометрические подстановки в иррациональных интегралах.
III. 
)dx
Замена: x=a 
sint, dx=a costdt
Пример:
= 
= 
= 
= 
dt = 
= 
tg(arcsin ) + C
IV. 
)dx
Замена: x=a tgt, dx = 
V. 
)dx
Замена: x= 
, dx= - 
dt
Понятие определенного интеграла.
Определённый интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции.
разбиваем на n произвольных одинаковых отрезков длиной 
, получаем точки на оси 0x: 
, 
, 
, 
, …, 
h+ 
h+… = 
(f()+2 
+ 
+…+2f(
)+2f()) = 
Основные свойства определенных интегралов.
Теорема 1. Если f(x) и g(x) - две непрерывные функции, заданные на промежутке [a, b], то:
dx = 
,
т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.
Теорема 2. Если f(x) - непрерывная функция, а c - постоянное число, то:
dx=c 
,
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Теорема 3. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.
= 
+ 
, (a<c<b).
Теорема 4. Если f(x) - неотрицательная непрерывная функция и нижний предел интеграла не больше верхнего, то и сам интеграл будет числом неотрицательным:
Среднее значение функции.
Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. Наиболее важной теоремой о среднем значении функции в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в интервале (a,b), то существует точка “c”, принадлежащая интервалу (a,b), такая, что f(b) – f(a) = (b-a) 
(c).
В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем значении является следующая: если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], a 
(x) сохраняет постоянный знак, то существует точка “c” из интервала (a,b) такая, что
= f(c) 
В частности, если 
=1, то
=f(c)(b-a)
Вследствие этого под средним значением функции f(x) на отрезке [a,b] обычно понимают величину:
= 
Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.
Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо равенство =F(b)-F(a) - основная формула интегрального исчисления.
Благодаря формуле Ньютона-Лейбница устанавливается связь между определенным и неопределенным интегралом. А именно:
Чтобы решить определенный интеграл, надо сначала вычислить неопределенный интеграл (или найти первообразную), а затем вычислить определенный интеграл, подставив первообразную подынтегральной функции в формулу Ньютона-Лейбница.
Пример:
