Основные свойства определенных интегралов

Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла.

 

Опр.1 Если (x)=f(x) на множестве x, для любого X, то F(x)-называется первообразной функции f(x). Лемма: Если f(x), равняется 0 на некотором интервале, то F(x)=C на этом интервале. Теорема: Если F(x) - первообразная для f(x) на X, а другая первообразная, то

Опр.2. Множество всех первообразных функции, называется неопределенным интегралом.

Оснновные свойства неопределенных интегралов.

А) .

Б)

В)

Г) .

Таблица основных интегралов.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16) +c;

17)

Непосредственное интегрирование.

Использование свойств интеграла и таблицы.

Метод подстановки

Замена под знаком интеграла.

Теорема: Если то

Док-во.

Пример:

 

 

Метод интегрирования по частям. Циклические интегралы.

Если существует первообразная для UV и V , то существует интеграл

Циклические интегралы:

(; ) – принимаются за U.

 

 

Интегрирование рациональных дробей.

P и Q – многочлен, причем n – старшая степень, m – это старшая степень знаменателя. Опр.1.Если n , то дробь называется неправильной, необходимо поделить числитель на знаменатель и выделить целую часть.

Существует теорема, утверждающая, что любой многочлен можно представить в виде: где: - главный коэффициент при Х; - корни многочлена; Опр.2. Если n<m, то дробь правильная. Для того, чтобы проинтегрировать правильную дробь, многочлен в знаменателе раскладывают на множители. После чего, подынтегральную функцию раскладывают на элементарные дроби, для этого используют метод неопределенных коэффициентов.

Интегрирование тригонометрических функций.

I.

II.

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени:

 

III. Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

Примеры:

IV. или dx

Замена: tgx=t или ctgx=t

= = = = = + C = - + C

V. Универсальная тригонометрическая подстановка.

sinx = , cosx = , подстановка = t

dx = = = t+C = tg +C

VI.

,

(2) sinxdx = tgx = = –

I = – I +

2I = +

I = +

 

 

Интегрирование иррациональных уравнений.

I. , замена “a”: ax+b-

Пример:

dx = = = dt = 2 dt = 2 - 2 = 2t – 2arc + C = 2 - 2arctg +C

II. , замена:

или

, замена: , dx = -

Пример:

= = = = - = - = - = -

Тригонометрические подстановки в иррациональных интегралах.

III. )dx

Замена: x=a sint, dx=a costdt

Пример:

= = = = dt = = tg(arcsin ) + C

IV. )dx

Замена: x=a tgt, dx =

V. )dx

Замена: x= , dx= - dt

 

 

Понятие определенного интеграла.

Определённый интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции.

разбиваем на n произвольных одинаковых отрезков длиной , получаем точки на оси 0x: , , , , …,

h+ h+… = (f()+2 + +…+2f()+2f()) =

 

 

Основные свойства определенных интегралов.

Теорема 1. Если f(x) и g(x) - две непрерывные функции, заданные на промежутке [a, b], то:

dx = ,

т. е. интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.

Теорема 2. Если f(x) - непрерывная функция, а c - постоянное число, то:

dx=c ,

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Теорема 3. Пусть f(x) непрерывна на промежутке [a, b]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [a, c] и [c, b], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е.

= + , (a<c<b).

Теорема 4. Если f(x) - неотрицательная непрерывная функция и нижний предел интеграла не больше верхнего, то и сам интеграл будет числом неотрицательным:

 

 

Среднее значение функции.

Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. Наиболее важной теоремой о среднем значении функции в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в интервале (a,b), то существует точка “c”, принадлежащая интервалу (a,b), такая, что f(b) – f(a) = (b-a) (c).

В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем значении является следующая: если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], a (x) сохраняет постоянный знак, то существует точка “c” из интервала (a,b) такая, что

= f(c)

В частности, если =1, то

=f(c)(b-a)

Вследствие этого под средним значением функции f(x) на отрезке [a,b] обычно понимают величину:

=

Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.

 

 

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо равенство =F(b)-F(a) - основная формула интегрального исчисления.

Благодаря формуле Ньютона-Лейбница устанавливается связь между определенным и неопределенным интегралом. А именно:

Чтобы решить определенный интеграл, надо сначала вычислить неопределенный интеграл (или найти первообразную), а затем вычислить определенный интеграл, подставив первообразную подынтегральной функции в формулу Ньютона-Лейбница.

Пример: