Расчет сложных электрических цепей постоянного тока методом узловых потенциалов

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

 

Этот метод базируется на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома. Суть метода заключается в том, что расчетным путем определяются потенциалы узлов электрической схемы относительно какого-либо узла, принятого в качестве базисного, а потенциал последнего принимают равным нулю. Расчет сводится к решению системы m = n _у – 1 уравнений, составленных только по первому закону Кирхгофа. Решив систему уравнений, находят потенциалы узлов, а затем по закону Ома определяют токи ветвей, соединяющих узлы.

Для определения потенциалов (φ₁, φ₂, …, φ _k, …, φ _{m )} узлов электрической схемы составляется следующая система уравнений:

 

G ₁₁φ₁ – G ₁₂φ₂ –… – G _{1 k} φ _k – … – G _{1 m} φ _m =

– G ₂₁φ₁ + G ₂₂φ₂ – … – G _{2 k} φ _k – … – G _{2 m} φ _m =

……………………………………………….. (1)

– G_{k 1}φ₁ – G_{k 2}φ₂ + … + G_kk φ _k – … – G_km φ _m =

…………………………………………………

– G_{m 1}φ₁ – G_{m 2}φ₂ – … – G_mk φ _k – … + G_mm φ _m =

 

где G_kk – собственная проводимость узла k, равная сумме проводимостей ветвей, соединенных с этим узлом; эта проводимость всегда положительна;

G_km – взаимная проводимость между узлами k и m, равная сумме проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих эти узлы; взаимную проводимость всегда берут со знаком ” минус “, при этом

G_km = G_mk;

– узловой ток k -го узла, состоящий из слагаемых:

– алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, присоединенных к узлу k,на их проводимости; при этом со знаком ” плюс “ берутся те ЭДС, которые действуют в направлении узла k, а со знаком ” минус “ – в направлении от узла k;

– алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к узлу k; эти токи берутся со знаком ” плюс “, если они направлены к узлу k, и со знаком ” минус “ при их направлении от узла k.

Система уравнений узловых потенциалов (1) может быть записана в матричной форме

(2)

 

где

 

Решив уравнение (2) относительно матрицы получим

 

(3)

 

Пример. Найти токи в ветвях схемы на рисунке 1 методом узловых потенциалов.

Рис. 1.

 

Дано: E ₁ = 8 В, E ₃ = 6 В, E ₄ = 12 В, J ₃ = 3 А, J ₄ = 4 А, R ₁ = 3 Ом, R ₂ = 4 Ом, R ₃ = 6 Ом, R ₄ = 5 Ом.

Решение. Обозначим цифрами узлы схемы и примем потенциал базисного узла 3 равным нулю. Составим систему уравнений относительно неизвестных потенциалов φ₁ и φ₂ узлов 1 и 2:

 

где G ₁₁ = 1/ R ₁ + 1/ R ₂ + 1/ R ₃ = 0,75 См;

G ₂₂ = 1/ R ₁ + 1/ R ₂ + 1/ R ₄ = 0,783 См;

G ₁₂ = G ₂₁ = – (1/ R ₁ + 1/ R ₂) = – 0,583 См;

= – E ₁/ R ₁ – E ₃/ R ₃ + J ₃ = – 0,667 См;

= E ₁/ R ₁ + E ₄/ R ₄ – J ₄ = 1,067 См.

Решая полученную систему уравнений, найдем потенциалы узлов:

 

φ₁ = 0,404 В, φ₂ = 1,663 В.

 

Сопоставляя значения потенциалов узлов с ЭДС ветвей, найдем значения и направления токов (укажем их стрелками) ветвей схемы по закону Ома:

 

 

Если какая-либо ветвь электрической цепи имеет только идеальный источник ЭДС, внутреннее сопротивление которого равно нулю, то напряжение между узлами, к которым присоединена эта ветвь, будет равно этой ЭДС. В этом случае целесообразно в качестве базисного узла выбрать один из узлов данной ветви.

Можно также избавиться от этой особой ветви, произведя эквивалентные преобразования схемы путем переноса источника ЭДС через узел.

Порядок расчета

1. Пронумеровать узлы электрической схемы и принять потенциал одного из узлов (базисного) равным нулю, т. е. условно заземлить его.

2. Составить систему уравнений относительно потенциалов незаземленных узлов в соответствии с системой уравнений (1)

3. Решая полученную систему уравнений, найти потенциалы узлов.

4. Определить токи в ветвях по закону Ома.

 

Контрольные вопросы:

1. Какое число узлов данной схемы учитывается в методе узловых потенциалов?

2. Пояснить, в чем заключается метод узловых потенциалов?

3. Типовая программа контроля знаний.

3.1. Какое количество независимых уравнений, необходимо для расчета тока в ветвях электрической цепи, изображенной на рис.2.

Рис.2

3.2. Составьте по методу узловых потенциалов уравнения для цепи, изображенной на рис.2