ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
Расчет сложных электрических цепей постоянного тока. Законы Кирхгофа
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Сложная электрическая цепь характеризуется следующими понятиями: ветвь, узел, контур.
Ветвь – участок электрической цепи, по которому протекает один и тот же ток.
Узел – место соединения не менее трех ветвей электрической цепи.
Контур – замкнутый путь, проходящий по ветвям электрической цепи.
Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:
. (1)
Для электрической цепи, содержащей y узлов, по первому закону Кирхгофа составляется y – 1 независимых уравнений для любых выбранных y – 1 узлов. Для последнего узла уравнение является зависимым, т. е. его можно получить из предыдущих уравнений. Направление токов в ветвях цепи выбирают произвольно; токи, направленные к узлу, берут с одним знаком, например плюс (+), а токи, направленные от узла, – с другим знаком, например, минус (–).
Первый закон Кирхгофа является следствием непрерывности тока и неизменности зарядов в узлах электрической цепи.
Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:
. (2)
В каждом контуре произвольно выбирают направление обхода контура. Напряжения и ЭДС в уравнении (2) берут с положительным знаком, если направление напряжений, ЭДС и токов совпадает с направлением обхода контура.
При расчете электрической цепи число неизвестных токов равно числу ветвей в цепи b. Составив по первому закону Кирхгофа y – 1 уравнение, по второму закону Кирхгофа остается составить k = b – y + 1 уравнений (по числу независимых контуров). Независимыми контурами называются такие контура, в которые входит хотя бы одна ветвь, не входящая в предыдущие контура.
При определении числа ветвей b не учитывают ветви с R = 0, а ветви с одним и тем же током принимают за одну ветвь. При определении числа узлов y учитывают только те узлы, в которых сходится более чем две ветви, а ветви с сопротивлением R = 0 включают в состав узла.
Анализ или расчет цепи заключается в определении значений токов, напряжений и мощностей отдельных участков, если заданы параметры схемы замещения цепи. Методы расчета цепей базируются на применении законов Кирхгофа.
Рассмотрим некоторую электрическую цепь, которая содержит nУ узлови n В ветвей, в том числе n T ветвей с источниками тока. Электрический режим цепи будет полностью определен, если будут найдены токи во всех ветвях. Если расчет электрической цепи производить путем непосредственного применения законов Кирхгофа, то необходимо составить систему n В – n T уравнений и решить ее. При этом число независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, будет равно nУ – 1, т. е. на единицу меньше числа узлов. Остальные уравнения в количестве n = nВ – (nУ – 1) – n T составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров.
Так как направления токов в ветвях сложной электрической цепи заранее неизвестны (за исключением ветвей с источниками токов), то предварительно выбирают их положительные направления. Контуры следует выбирать так, чтобы в них вошли все ветви схемы, а в каждый из контуров возможно меньшее число ветвей. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий контур, для которого составляется уравнение, имеет не менее одной новой ветви.
Пример. Для электрической цепи рис. 1 записать уравнения по законам Кирхгофа.
Электрическая цепь содержит 6 ветвей, 3 узла. Направления токов в ветвях выбрано произвольными. Всего требуется записать 6 независимых уравнений для определения токов во всех ветвях. Для двух любых узлов, например, 1 и 3, по первому закону Кирхгофа составляем два уравнения. Втекающие в узел токи возьмем со знаком плюс.
Для узла 1: – I 1 + I 2 – I 3 – I 5 + I 6 = 0.
Для узла 3: – I 4 + I 5 – I 6 = 0.
По второму закону Кирхгофа для 4 независимых контуров запишем уравнения. Направление обхода контуров выберем по часовой стрелке. В электрической цепи можно выделить 4 независимых контура, например: 1-й контур – E 1 – R 1 – R 2 – R 3, 2-й контур – R 3 – R 4 – E 2, 3-й контур – E 2 – R 4 – R 5 – E 3 – R 2, 4-й контур – R 7 – E 4 – R 6.
Для 1 – го контура: (R 1 + R 2) ∙ I 1 + R 3 ∙ I 2 = E 1.
Для 2 – го контура: – R 3 ∙ I 2 – R 3 ∙ I 3 = E 2.
Для 3 – го контура: R 4 ∙ I 3 – R 5 ∙ I 4 – R 7 ∙ I 5 = – E 2 + E 3.
Для 4 – го контура: R 7 ∙ I 5 + R 6 ∙ I 6 = E 4
При вычислении токов в ветвях электрической цепи удобнее пользоваться матричной формой записи уравнений Кирхгофа:
A ∙ I = B ∙ E,
где A,B – квадратные матрицы коэффициентов при токах и напряжениях порядка b × b; I,E – матрицы – столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.
Порядок выполнения:
1. Определить ветви данной схемы.
2. Определить количество узлов схемы.
3. Определить количество уравнений, которое необходимо составить по первому и второму закону Кирхгофа.
4. Составить для узлов схемы уравнения по первому закону Кирхгофа.
5. Составить для замкнутых контуров уравнения по второму закону Кирхгофа.
6. Решить систему уравнений и найти токи ветвей.
Контрольные вопросы:
1. Дать определение узла, ветви цепи?
2. Сформулировать первый закон Кирхгофа?
3. Сформулировать второй закон Кирхгофа?
4. Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС?
Типовая программа контроля знаний.
1. Используя закон Ома для активного участка цепи определить ток I этого участка если R 1 = R 2 = 1 Ом, U аb = 10 В, Е 1 = 2 В, Е 2 = 4 В.
2. Для цепи постоянного тока определить входной ток I и токи I 1, I 2, I 3, I 4. К цепи подведено напряжение U = 240 В, сопротивления резисторов R 1 = 20 Ом, R 2 = 15 Ом, R 3 = 10 Ом, R 4 = 5 Ом.
3. Для электрической цепи составить уравнения по 1 и 2 законам Кирхгофа
ДАНО: Вариант№1
| E1, B | E2, B | E3, B | R1, Ом | R2, Ом | R3, Ом | R4, Ом | R5, Ом | R6, Ом | |
Порядок выполнения:
1. Определить ветви данной схемы.
2. Определить количество узлов схемы.
3. Определить количество уравнений, которое необходимо составить по первому и второму закону Кирхгофа.
4. Составить для узлов схемы уравнения по первому закону Кирхгофа.
5. Составить для замкнутых контуров уравнения по второму закону Кирхгофа.
6. Решить систему уравнений и найти токи ветвей.
ДАНО: Вариант № 2
| E1, B | E2, B | E3, B | R1, Ом | R2, Ом | R3, Ом | R4, Ом | R5, Ом | R6, Ом | |
Порядок выполнения:
1. Определить ветви данной схемы.
2. Определить количество узлов схемы.
3. Определить количество уравнений, которое необходимо составить по первому и второму закону Кирхгофа.
4. Составить для узлов схемы уравнения по первому закону Кирхгофа.
5. Составить для замкнутых контуров уравнения по второму закону Кирхгофа.
6. Решить систему уравнений и найти токи ветвей.
ДАНО: Вариант № 3
| E1, B | E2, B | E3, B | R1, Ом | R2, Ом | R3, Ом | R4, Ом | R5, Ом | R6, Ом | |
Порядок выполнения:
1. Определить ветви данной схемы.
2. Определить количество узлов схемы.
3. Определить количество уравнений, которое необходимо составить по первому и второму закону Кирхгофа.
4. Составить для узлов схемы уравнения по первому закону Кирхгофа.
5. Составить для замкнутых контуров уравнения по второму закону Кирхгофа.
6. Решить систему уравнений и найти токи ветвей.
ДАНО: Вариант №4
| E1, B | E2, B | E3, B | R1, Ом | R2, Ом | R3, Ом | R4, Ом | R5, Ом | R6, Ом | |
Порядок выполнения:
1. Определить ветви данной схемы.
2. Определить количество узлов схемы.
3. Определить количество уравнений, которое необходимо составить по первому и второму закону Кирхгофа.
4. Составить для узлов схемы уравнения по первому закону Кирхгофа.
5. Составить для замкнутых контуров уравнения по второму закону Кирхгофа.
6. Решить систему уравнений и найти токи ветвей.
ДАНО: Вариант № 5
| E1, B | E2, B | E3, B | R1, Ом | R2, Ом | R3, Ом | R4, Ом | R5, Ом | R6, Ом | |
| 2.7 |
Порядок выполнения:
1. Определить ветви данной схемы.
2. Определить количество узлов схемы.
3. Определить количество уравнений, которое необходимо составить по первому и второму закону Кирхгофа.
4. Составить для узлов схемы уравнения по первому закону Кирхгофа.
5. Составить для замкнутых контуров уравнения по второму закону Кирхгофа.
6. Решить систему уравнений и найти токи ветвей.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
