1. Записывается передаточная функция разомкнутой системы.
2. Определяются корни характеристического уравнения.
3. По найденным корням делается вывод об устойчивости разомкнутой системы.
4. Записывается передаточная функция замкнутой системы и строится переходной процесс.
5. Делается вывод об устойчивости замкнутой системы по рассчитанным коэффициентам.
6. Анализируется поведение системы при изменении коэффициентов K п, K и и K д. Рассчитываются значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок.
Пример расчета
Для звена, заданного передаточной функцией 
и пропорционально-интегрально-диффе-ренциального регулятора с передаточной функцией 
, провести исследование влияния коэффициентов регулятора на устойчивость системы, представленной на рис. 5.1, скорость сходимости переходного процесса, его колебательность, а также на значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок.
Решение
1. Передаточная функция разомкнутой системы:
.
2. Характеристическое уравнение разомкнутой системы:
имеет два действительных отрицательных корня
, 
и один нулевой корень p 3 = 0.
Вывод: разомкнутая система находится на границе устойчивости.
3. Передаточная функция замкнутой системы:
.
4. Переходной процесс при единичном ступенчатом воздействии в изображении по Лапласу:
.
5. Получили достаточно сложное выражение. Для обратного преобразования Лапласа воспользуемся функцией invlaplace среды MathCAD. Получим переходной процесс для единичного ступенчатого воздействия при T 1 = 12, T 2 = 25, k = 3, k п = 5, k и = 0,5, k д = 5:
6. Строим переходной процесс по полученному уравнению
(рис. 5.3).
Рис. 5.3. Переходной процесс для замкнутой системы
Вывод: анализ переходного процесса показал, что при данных коэффициентах замкнутая система будет устойчивой.
7. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 150 с (см. рис. 5.3):
,
.
8. Рассмотрим поведение системы при изменении коэффициентов k п, k и, k д. Переходной процесс при T 1 = 12, T 2 = 25, k = 3, k п = 5, k и = 0,5, k д = 12:
Переходной процесс представлен на рис. 5.3.
9. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 100 с (см. рис. 5.3):
,
.
10. Переходной процесс при T 1= 12, T 2= 25, k = 3, k п = 5, k и = 0,5, k д = 0,2:
Переходной процесс представлен на рис. 5.4.
11. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 320 с (см. рис. 5.4):
,
.
12. Переходной процесс при T 1 = 12, T 2 = 25, k = 3, k п = 5, k и = 0,8, k д = 5:
Переходной процесс представлен на рис. 5.4.
Рис. 5.4. Переходной процесс для замкнутой системы
13. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 550 с (см. рис. 5.4):
,
.
14. Переходной процесс при T 1=12, T 2=25, k =3, k п=5, k и=0,1, k д=5:
Переходной процесс представлен на рис. 5.3.
15. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 80 с (см. рис. 5.3):
,
.
16. Переходной процесс при T 1=12, T 2=25, k =3, k п=3, k и=0,5, k д=5:
Переходной процесс представлен на рис. 5.4.
17. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 650 с (см. рис. 5.4):
,
.
18. Переходной процесс при T 1=12, T 2=25, k =3, k п=8, k и=0,5, k д=5:
.
Переходной процесс представлен на рис. 5.4.
19. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 80 с (см. рис. 5.3):
,
.
20. Переходной процесс при T 1=12, T 2=25, k =3, k п=5, k и=0,5, k д=0:
Переходной процесс представлен на рис. 5.4.
21. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 400 с (см. рис. 5.4):
,
.
22. Переходной процесс при T 1=12, T 2=25, k =3, k п=5, k и=0, k д=5:
.
Переходной процесс представлен на рис. 5.3.
23. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 80 с (см. рис. 5.3):
,
.
24. Переходной процесс при T 1=12, T 2=25, k =3, k п=0, k и=0,5, k д=5:
Переходной процесс представлен на рис. 5.5.
Рис. 5.5. Переходной процесс для замкнутой системы при T 1 = 12, T 2 = 25, k = 3, k п = 0, k и = 0,5, k д = 5
25. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок:
,
.
26. На основе проделанного анализа данной замкнутой системы можно сделать вывод:
- при увеличении коэффициента дифференцирования k д, коэффициента пропорциональности k п и при уменьшении коэффициента интегрирования k и колебательность переходного процесса уменьшается и система становится более устойчивой;
- при уменьшении k д, k п и увеличении k и колебательность переходного процесса увеличивается и система теряет устойчивость;
- при увеличении устойчивости повышением k д значение интегральной ошибки уменьшается по сравнению с исходным переходным процессом, а понижением k и и повышением k п ошибка увеличивается, причем при изменении k и ошибка много больше, чем при изменении k п. При уменьшении устойчивости уменьшением k д ошибка возрастает, а увеличением k и и уменьшением k п – уменьшается. Интегральная квадратичная ошибка уменьшается при увеличении устойчивости и увеличивается при ее потере (по сравнению с системой при исходном переходном процессе);
- при отсутствии дифференциальной составляющей (k д = 0) колебательность переходного процесса увеличивается, т.е. время сходимости увеличивается и система теряет устойчивость. При отсутствии интегральной составляющей (k и = 0) – наоборот. При отсутствии пропорциональной составляющей (k п = 0) система полностью теряет устойчивость.
Контрольные вопросы:
1. Что такое регулятор и каковы его функции?
2. Какие выделяют законы регулирования?
3. Интегральный закон регулирования, И-регулятор.
4. Пропорциональный закон регулирования, П-регулятор.
5. Пропорционально-интегральный закон регулирования, ПИ-регулятор.
6. Пропорционально-дифференциальный закон регулирования, ПД-регулятор.
7. Пропорционально-интегрально-дифференциальный закон регулирования, ПИД-регулятор.
8. Оценки качества регулирования.
9. Перерегулирование. Время регулирования.
10. Линейная интегральная и квадратичная интегральная оценки.
11. Влияние коэффициентов регулятора на устойчивость системы.
12. Влияние коэффициентов регулятора на скорость сходимости переходного процесса.
13. Влияние коэффициентов регулятора на колебательность переходного процесса.
14. Влияние коэффициентов регулятора на значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок.
