Напряженность и потенциал — характеристики электрического поля

Силовой характеристикой электрического поля является напряженность, равная отношению силы, действующей в данной точке поля на точечный заряд, к этому заряду

(12.1)

Напряженность — вектор, направление которого совпадает с направлением силы, действующей в данной точке поля на положительный точечный заряд.

Напряженность электрического поля в произвольных точках аналитически задается следующими тремя уравнениями:

Е_х = f₁(x, у, z); Е_у = f₂(х, у, z); E_z = f₃(x, у, z), (12.2)

где Е_х, Е_у и E_z — проекции вектора напряженности на соответствующие координатные оси, введенные для описания поля. Электрическое поле графически удобно представлять силовыми линиями, касательные к которым совпадают с направлением вектора напряженности в соответствующих точках поля.

Обычно эти линии проводят с такой густотой, чтобы число линий, проходящих сквозь единичную площадку, перпендикулярную им, было пропорционально значению напряженности электрического поля в месте расположения площадки.

Представим себе, что заряд q перемещается в электрическом поле по траектории 1-а-2 (рис. 12.1). Силы поля при этом совершают работу, которую можно выразить через напряженность [см. (12.1)]:

(12.3)

где dl — элементарное перемещение; E_l — проекция вектора на направление . Покажем, что работа сил электростатического поля (электрического поля неподвижных зарядов) не зависит от траектории, по которой перемещается заряд в этом поле. Поля, обладающие таким свойством, называют потенциальными.

Пусть заряд q переместился по замкнутой траектории 1-а-2-б-1 (рис. 12.1). Так как поле электростатическое, то положение зарядов, создающих поле, при этом не изменилось, и потенциальная энергия, зависящая от их взаимного положения, осталась прежней. Поэтому работа сил электростатического поля по переме­щению заряда по замкнутой траектории равна нулю:

(12.4)

 

Так как силы, действующие на заряд q, определяются его положением в поле, то выражения для работ сил поля при перемещении заряда по одной и той же траектории в противоположных направлениях отличаются только знаком:

(по б) (по б)

 

Подстановка этого выраже­ния в (12.4)дает

(12.5)

 

Равенство (12.5) означает, что работа сил электростатического поля не зависит от траектории заряда, а зависит от величины заряда, положения начальной и конечной точек траектории и от напряженности поля.

На основании этого свойства вводят понятие разности потенциалов Dj, которая для электростатического поля равна напряжению U.

Разностью потенциалов между точками поля называют отношение работы, совершаемой силами поля при перемеще­нии точечного положительного заряда из одной точки поля в другую, к этому заряду:

(12.6)

где j₁ и j₂ — потенциалы в точках 1 и 2 электрического поля, U₁₂ — напряжение между этими точками. Разность потенциалов между двумя точками зависит от положения выбранных точек и от на­пряженности электрического поля, как следует из (12.6).

Наряду с разностью потенциалов в качестве характеристики электрического поля используют понятие потенциала. Однако для данной точки поля оно имеет однозначный смысл только в том случае, если задан потенциал какой-либо произвольной точки поля. На практике принято считать, что потенциал проводников, соединенных с землей, или потенциал шасси, на котором смонти­ровано радиоустройство (и в том и в другом случаях говорят о за­землении), равны нулю. В теоретических задачах обычно считают равным нулю потенциал бесконечно удаленных точек.

Вычислим потенциал поля точечного заряда, расположенного в однородном изотропном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью e (рис. 12.2). Пусть точки 1 и 2 находятся на одной силовой линии ни расстояниях соответственно r₁ и r₂ от источника поля — заряда Q. Проинтегрируем выражение (12.6) по отрезку 1 — 2, учитывая, что в соответствии с законом Кулона (для точечного заряда) Е_l = E = Q/(4pe e₀r²) и dr = dl:

(12.7)

где e₀» 8,85 • 10 ¹² Ф/м — электрическая постоянная¹.

(¹ Размерность электрической постоянной e₀ выражается также в виде , что следует из закона Кулона).

Предположим, что потенциал в бесконечно удаленной точке равен нулю: j₂ ®0 при r₂ ® ¥. Тогда из (12.7) получаем

 

 

или в более общем виде (12.8)

 

 

Могли быть и другие предположения относительно значения потенциала в бесконечно удаленной точке, однако сделанное выше допущение привело к наиболее простому выражению (12.8), по которому обычно и вычисляют потенциал поля точечного заряда.

Потенциалы электрического поля в различных точках наглядно можно представить в виде поверхностей одинакового потенциала (эквипотенциальных поверхностей). Обычно проводят экви­потенциальные поверхности, отличающиеся от соседних на одно и то же значение потенциала. На рис. 12.3 изображены эквипотенциальные поверхности (штриховые линии) и силовые линии (сплошные) поля двух разноименных одинаковых точечных зарядов.

Аналитически зависимость электрического потенциала от координат в разных точках поля задается некоторой функцией координат

j = f(x, у, г), (12.9)

которая в частных случаях может иметь, например, вид (12.8). Так как напряженность электрического поля определяется через силу, а потенциал — через работу сил поля, то эти характеристики связаны между собой аналогично силе и работе. Интегральная зависимость напряженности поля и потенциала дается формулой (12.6) или выражением

(12.10)

Здесь с учетом знака «-» изменены пределы интегрирования: верхнему пределу интеграла соответствует в левой части уменьшаемое j₂, нижнему — вычитаемое j₁.

Получим дифференциальную связь между Е и j_. Предположим, что точки 2 и 1 расположены сколь угодно близко, тогда из (12.10) получим

(12.11)

Производная от потенциала по направлению dj/d l характеризует отношение приращения потенциала dj к соответствующему расстоянию d l в некотором направлении l; Е_l — проекция вектора на это направление.

Смысл формулы (12.11) виден из рис. 12.4. В точке 0 проведен вектор , который спроецирован на направления l₁, l ₂ и l ₃. Эти проекции по модулю равны производным от потенциала по соответствующим направлениям: çdj/d l₁ ç, çdj/d l₂ ç, çdj/d l₃ ç.Наиболь­шее изменение потенциала, приходящееся на единицу длины, происходит вдоль прямой, совпадающей с ; знак «минус» в (12.11) означает, что потенциал быстрее всего убывает в направлении и быстрее всего возрастает в направлении - Е. Можно сказать, что вектор равен взятому с обратным знаком градиенту потенциала:

 

(12.12)

В направлении, перпендикулярном силовой линии, имеем

(12.13)

Из этого следует, что силовые линии и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны. Если поле однородно, например поле плоского конденсатора, то из формулы (12.6) находим что для двух точек, расположенных на одной силовой линии на расстоянии l,

(12.14)

Учитывая (12.11) и (12.9), можно записать проекции вектора напряженности электрического поля по трем координатным осям:

(12.15)

Тогда напряженность определяют по формуле

(12.16)

Если поле создано N точечными зарядами, то напряженность в некоторой точке можно вычислить как векторную сумму напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом отдельно (принцип суперпозиции):

(12.17)

а электрический потенциал в этой точке — как алгебраическую сумму потенциалов от каждого заряда, предполагая, что потенциал бесконечно удаленных точек равен нулю:

(12.18)

Существующие электроизмерительные приборы рассчитаны на измерение разности потенциалов, а не напряженности. Ее можно найти из этих измерений, используя связь и j.

 

Электрический диполь

Электрическим диполем (диполем) называют систему, состоящую из двух равных, но противоположных по знаку точечных электрических зарядов, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (плечо диполя).

Основной характеристикой диполя (рис. 12.5) является его электрический момент (диполъный момент) — вектор, равный произведению заряда на плечо диполя l, направленный от отрицательного заряда к положительному:

(12.19)

Единицей электрического момента диполя является кулон-метр. Поместим диполь в однородное электрическое поле напряженностью (рис. 12.6).

На каждый из зарядов диполя действуют силы и , эти силы равны по модулю, противоположно направлены и создают момент пары сил. Как видно из рисунка, он равен

М = qElsin a = pEsin a, (12.20)

или в векторной форме

. (12.21)

 

Таким образом, на диполь в однородном электрическом поле действует момент силы, зависящий от электрического момента и ориентации диполя, а также напряженности поля.

Рассмотрим теперь диполь в неоднородном электрическом поле. Предположим, что диполь расположен вдоль силовой линии (рис. 12.7). На него действуют силы

и

где Е₊ и Е_ — напряженности поля соответственно в месте нахождения положительного и отрицательного зарядов (на рис. 12.7 Е_- > Е₊). Значение равнодействующей этих сил

F = F_ - F₊ = qE_ - qE₊ = q(E_ - Е₊). (12.22)

Введем отношение (Е_ - Е₊)/l, характеризующее среднее изменение напряженности, приходящееся на единицу длины плеча диполя. Так как обычно плечо невелико, то приближенно можно считать

(Е_ - E₊)/l = dE/dx, (12.23)

где dE/dx — производная от напряженности электрического поля по направлению оси ОХ, являющаяся мерой неоднородности электрического поля вдоль соответствующего направления. Из (12.23)следует, что

тогда формулу (12.22) можно представить в виде

(12.24)

Итак, на диполь действует сила, зависящая от его электрического момента и степени неоднородности поля dE/dx. Если диполь ориентирован в неоднородном электрическом поле не вдоль силовой линии, то на него дополнительно действует еще и момент силы. Таким образом, свободный диполь ориентируется вдоль силовых линий и втягивается в область больших значений напряженности поля.

До сих пор рассматривался диполь, помещенный в электрическое по­ле, однако сам диполь также является источником поля. На основании (12.18) запишем выражение для электрического потенциала поля, со­зданного диполем, в некоторой точке А, удаленной от зарядов соответ­ственно на расстояния гиг, (рис. 12.8):

(12.25)

 

Обычно предполагают, что l << r, l << r₁, тогда r» r₁, и

 

(12.26)

где a — угол между вектором и направлением от диполя на точку А (рис. 12.8). Используя (12.26), из (12.25) получаем

(12.27)

 

Рассмотрим некоторые приложения формулы (12.27).

 

Пусть диполь, электрический момент которого равен , находится в точке О (рис. 12.9), а его плечо мало. Используя (12.27), запишем разность потенциалов двух точек поля А и В, равноотстоящих от диполя (углы a_А и a_В показаны на рис. 12.9):

(12.28)

Угол между и прямой АВ или ОС обозначим a, Ð AOB = b, углы a_А = a + b/2 + +p/2, a_В = a - b/2 + p/2.

Учитывая эти равенства, выполним тригонометрические преобразования:

(12.29)

 

Подставляя (12.29) в (12.28), имеем

(12.30)

Как видно из (12.30), разность потенциалов двух точек поля диполя, равноотстоящих от него (при данных e и r), зависит от синуса половинного угла, под которым видны эти точки от диполя (рис. 12.10), и проекции электрического момента диполя р cos a на прямую, соединяющую эти точки (рис. 12.11). Эти замечания справедливы в рамках тех ограничений, которые были сделаны при выводе формулы (12.27).

 

Пусть диполь, создающий электрическое поле, находится в центре равностороннего треугольника ABC (рис. 12.12). Тогда на основании (12.30) можно получить, что напряжения на сторонах этого треугольника относятся как проекции вектора на его стороны:

U_AB: U_BC: U_CA = p_AB: p_BC: p_CA (12.31)