Последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов

Рассмотрим схему, состоящую из резистора, индуктивности и емкости (рис. 5.10)

Подадим на вход этой схемы синусоидальное напряжение .

Для упрощения расчетов будем полагать, что начальная фаза напряжения равна нулю.

По второму закону Кирхгофа напряжение на входе цепи равно сумме падений напряжения на элементах:

.

Поскольку через все элементы цепи протекает один и тот же ток, выразим все напряжения через ток

.

С учетом этого второй закон Кирхгофа запишется

.

В это выражение ток входит в алгебраической, дифференциальной и интегральной формах, что усложняет решение уравнения. Свести уравнение к алгебраической форме позволяет символический метод. Запишем это уравнение в комплексной форме

.

Разделив напряжение на ток, получим полное сопротивление цепи

.

Но – это индуктивное сопротивление цепи, – это емкостное сопротивление. Следовательно, полное комплексное сопротивление цепи можно записать

,

где – общее реактивное сопротивление цепи.

Построим векторную диаграмму этой цепи (рис. 5.11).

Так как по всем элементам цепи протекает один и тот же ток, построение диаграммы начинаем с вектора тока , направив его вдоль действительной оси.

Строим диаграмму напряжений в соответствии с уравнением по второму закону Кирхгофа, последовательно суммируя напряжения. Учитываем, что напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, откладываем вектор этого напряжения вдоль вектора тока. Напряжение на индуктивности опережает ток на угол 90^о, напряжение на емкости отстает от тока на 90^о. Результирующий вектор представляет собой напряжение на входе цепи.

В результате того, что цепь содержит и резистивный, и реактивные элементы, сдвиг фаз между током и напряжением будет отличен как от нуля, так и от 90^о.

Из векторной диаграммы выделяют треугольник напряжений (рис. 5.12). Этот треугольник – векторный. Катетами треугольника являются активное и реактивное напряжения, гипотенузой – напряжение на входе цепи. Под реактивным напряжением понимают векторную сумму индуктивного и емкостного напряжений . Модуль этой величины равен разности модулей

.

Из треугольника напряжений следует, что модуль полного напряжения равен

.

Сдвиг фаз между током и напряжением в цепи можно определить по формуле

.

Если известны входное напряжение и угол φ, то можно определить активную и реактивную составляющие напряжения:

; .

Если поделим все стороны треугольника напряжений на одну и ту же величину тока, то получим подобный ему треугольник сопротивлений (рис. 5.13), сторонами которого являются:

z – модуль полного сопротивления цепи;

R – активное сопротивление всей цепи;

– модуль реактивного сопротивления цепи.

Из треугольника сопротивлений можно определить:

модуль полного сопротивления цепи ;

разность фаз напряжения и тока ;

активное сопротивление цепи ;

реактивное сопротивление цепи .