Реалізація метода Рунге-Кутта в середовищі ЕТ Excel

2.1 Ввести в комірку А1 текст Рішення звичайних диференціальних рівнянь методом Рунге – Кутта.

2.2 Ввести у відповідні комірки текстові дані:

Комірка: Текст:

A3 x

B3 y(x)

2.3 Ввести в комірку А4 значення x₀ (значення 1).

2.4 Ввести в комірку А5 значення x₀+h (значення ).

2.5 Виділити комірки А4:А5 і перетягнути маркер заповнення до комірки А14 для заповнення таблиці значеннями x.

2.6 В комірку В4 ввести початкове значення y₀ (значення 0,3).

2.7 Ввести в комірки C3:F3 відповідні заголовки К1, К2, К3, К4.

2.8 Ввести в комірку С4 формулу для К1 (=(A5-A4)*(SIN(A4)+0,5*B4^2)).

Скопіювати цю формулу в комірки С5:С13.

2.9 Ввести в комірку D4 формулу для К2 (=(A5-A4)*(SIN(A4+(A5-A4)/2)+0,5*(B4+C4/2)^2)).

Скопіювати цю формулу в комірки D5:D13.

2.10 Ввести в комірку E4 формулу для К3 (=(A5-A4)*(SIN(A4+(A5-A4)/2)+0,5*(B4+D4/2)^2)).

Скопіювати цю формулу в комірки E5:E13.

2.11 Ввести в комірку F4 формулу для К4 (=(A5-A4)*(SIN(A4+(A5-A4))+0,5*(B4+E4)^2)).

Скопіювати цю формулу в комірки F5:F13.

2.12 В комірку В5 ввести формулу методу Рунге – Кутта (=B4+1/6*(C4+2*D4+2*E4+F4)).

2.13 Скопіювати цю формулу в комірки B6:B14.

 

 

3. Реалізація рішення задачі Коші в середовищі MathCad.

Для наближеного чисельного розв’язування задачі Коші МП MathCad має вбудовану функцію rkfixed(y0,a,b,n,f), що реалізує метод Рунге – Кутта з фіксованим кроком. Звертання до неї здійснюється оператором

,

де y0 ¾ початкове значення розв’язку;

a,b ¾ кінці інтервалу, на якому потрібно обчислити розв’язок рівняння (a= x₀);

n ¾ кількість частин, на які розбивають відрізок [a,b];

f ¾ ім’я правої частини диференціального рівняння (39).

Розв’язки, що отримаємо для випадків коли n=5, n=10 та n=20 відповідно назвемо Y1, Y2, Y3. встановимо початкове значення індексів масивів рівним одиниці оператором

 

Задамо початкову умову:

 

 

Запишемо праву частину заданого диференціального рівняння у вигляді

 

 

Зауваження: зверніть увагу на те, що в правій частині запису ім’я невідомої функції з індексом - y₁. Це тому, що вбудовані в MathCad процедури розв’язування диференціальних рівнянь призначені для систем. В нашому випадку маємо “систему” із одного рівняння із однією невідомою функцією y₁(x). В лівій же частині запису початкової умови y0₁ пишемо також з індексом

 

Знайдемо три розв’язки задачі Коші (n=5, n=1 та n=20)

 

 

 

 

 

 

Результат розв’язування рівняння подається у вигляді таблиці (матриці)

 

 

При побудові графіків отриманих розв’язків, в ролі аргументу виступають перші стовпчики таблиць Y1^<1>, Y2^<1>, Y3^<1>, а на осі ординат вказуємо значення других стовпчиків (значення розв’язку рівнянь у відповідних вузлах) Y1^<2>, Y2^<2>, Y3^<2>.

 

 

Оцінка похибки здійснюється за принципом Рунге

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольні питання

 

1. Етапи розв’язання наукових та інженерних задач, визначення математичної моделі.

2. Основні джерала похибок.

3. Абсолютна та відносна похибки числа та функції.

4. Що таке розв’язок СЛАР?

5. За яких умов існує єдиний розв’язок системи рівнянь?

6. На які групи поділяються методи розв’язування систем?

7. За якими формулами обчислюються розв’язки в методі Крамера?

8. Описати послідовність дій одного кроку (ітерації) методу Жордана – Гаусса. Як обчислюються нев’язки?

9. Яка форма запису системи рівнянь називається канонічною?

10. За якими формулами обчислюються послідовні наближення невідомих за методом простої ітерації?

11. За яких умов метод простої ітерації збігається?

12. Як оцінюється похибка наближеного розв’язку системи під час використання методу простої ітерації?

13. Постановка задачі інтерполяції.

14. Побудова інтерполяційного полінома Лагранжа.

15. Лінійна інтерполяція.

16. Апроксимація функції – загальна постановка задачі.

17. Етапи побудови емпіричної функції.

18. Метод найменших квадратів (МНК) для визначення параметрів емпіричної функції.

19. Апроксимація функції. Визначення параметрів лінійної залежності.

20. Побудова квадратичної емпіричної залежності.

21. Апроксимація функції. Визначення параметрів нелінійної залежності (метод «вирівнювання»).

22. Оцінювання похибки емпіричної функції.

23. Етапи розв’язання нелінійних алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. Умова існування єдиного дійсного кореня на проміжку [a,b].

24. Методи відокремлення коренів.

25. Методи уточнення коренів.

26. Призначення та сутність методу бісекцій (ділення відрізка навпіл).

27. Загальний вигляд канонічної форми нелінійних алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.

28. Умови збіжності послідовних наближень до точного значення кореня в методі ітерацій.

29. Формула для оцінки точності наближеного значення кореня в методі ітерацій.

30. Ітераційна формула Ньютона.

31. Як вибрати початкове наближення в методі Ньютона?

32. Чисельні методи обчислення визначених інтегралів. Метод прямокутників.

33. Числові методи обчислення визначених інтегралів. Метод трапецій. Оцінювання похибки обчислення у за принципом Рунге.

34. Числові методи обчислення визначених інтегралів. Метод Симпсона. Оцінювання похибки обчислення за принципом Рунге.

35. Що називається звичайним диференціальним рівнянням n-го порядку?

36. Що є розв’язком диференціального рівняння?

37. Постановка задачі Коші.

38. Який вигляд має чисельний розв’язок задачі Коші?

39. В чому полягає суть розв’язання диференціальних рівнянь методами Ейлера та Рунге – Кутта? Як оцінюються їх похибки?

 

 

Додатки

Контрольні завдання

 

Завдання 1. Абсолютна та відносна похибки функції

Таблиця1

Номер варіанта	Функція
		3,67	3,14	0,002	0,01
		12,51	6,98	0,01	0,002
		2,89	1,45	0,001	0,005
		3,87	1,25	0,01	0,03
		1,456	2,456	0,00045	0,0032
		6,412	5,98	0,0052	0,0046
		6,98	3,976	0,032	0,02
		1,78	7,12	0,02	0,012
		0,56	6,123	0,001	0,0015
		1,567	0,567	0,015	0,025
		8,93	12,89	0,0035	0,0045
		0,56	0,956	0,002	0,003
		2,906	5,978	0,001	0,02
		12,35	25,61	0,0035	0,0015
		-8,91	6,78	0,01	0,02
		2,34	6,45	0,002	0,001
		4,56	0,86	0,0015	0,0015
		2,35	4,55	0,003	0,004
		6,56	9,34	0,02	0,02
		12,34	4,65	0,0025	0,0025
		0,956	0,54	0,01	0,0015
		7,95	0,78	0,0025	0,0025
		-0,87	5,46	0,035	0,03
		5,8	12,35	0,001	0,001
		0,456	11,34	0,001	0,002
		-5,98	12,5	0,002	0,001
		7,81	11,23	0,001	0,002
		11,24	6,78	0,002	0,001
		0,65	0,75	0,01	0,015
		1,75	3,45	0,001	0,0015

 

 

Завдання 2. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Таблиця 2

	№ варіанта	Система	№ варіанта	Система

 

 

Завдання 3. Інтерполювання функцій

Таблиця 3

Номер варіанта	Значення аргументу	Вузли інтерполяції
			0,1	0,5	0,8	1,3	1,8
	0,998	0,479	0,717	0,963	0,973
			0,1	0,6	1,8	2,6
	0,999	0,564	0,973	0,515	0,141
			0,3	0,9	1,5		3,1
	0,295	0,783	0,997	0,909	0,415
			0.6	1.2	1.8	2.2	3.0
	0.540	0.071	-0.662	-0.998	-0.89
				1.5	2.3		3.6
	0.841	0.997	0.745	0.141	-0.442
				1.6	2.5	3.1	3.8
	2.718	4.481	9.974	20.085	36.598
				1.5		3.9	4.5
	0.540	0.707	-0.989	-0.725	-0.211
			0.73	0.80	0.88	0.93	0.99
	0.894	1.029	1.209	1.341	1.525
			2.0	2.1	2.2	2.3	2.5
	0.301	0.322	0.345	0.368	0.396
			1.5	1.7	1.8	1.9	2.0
	0.176	0.230	0.255	0.278	0.301
			1.7	1.8	1.9	2.2	3.0
	16.7	17.65	19.64	24.51	29.45
			2.5	2.6	2.8	2.9	3.2
	2.081	2.647	3.631	4.452	5.225
			1.4	1.5	1.8	2.0	2.2
	3.456	3.678	4.210	5.098	5.234
			2.0	2.1	2.2	2.3	2.4
	0.245	0.412	0.625	0.995	1.312
			1.6	1.8	2.0	2.2	2.5
	0.84	0.91	0.98	1.52	2.56
			2.8	3.0	3.2	3.4	3.6
	14.22	19.64	26.52	31.10	41.30
			0.25	0.50	0.75	1.0	1.25
	7.50	6.60	5.80	4.90	4.10
			1.75	2.00	2.25	2.50	2.75
	1.56	0.96	0.62	0.46	0.43
			2.6	2.8	3.0	3.2	3.4
	0.51	0.53	0.55	0.77	2.18
			1.4	1.6	1.8	2.0	2.2
	1.92	1.10	0.71	0.52	0.48
			7.4	7.6	7.8	8.2	8.6
	1.175	1.117	1.078	0.995	0.875
			8.6	8.9	9.3	9.6	10.5
	2.50	2.995	3.056	3.450	4.56
			0.1	0.5	0.8	1.3	1.8
	1.105	1.648	2.225	3.657	6.049
			0.1	0.6	1.8	2.6
	0.105	0.636	2.95	6.694	10.095
			0.3	0.9	1.5		3.1
	0.748	0.456	0.234	0.0879	0.0456
			0.6	1.2	1.8	2.2	3.0
	0.295	0.768	0.909	0.598	0.054
				1.5	2.3		3.6
	12.45	15.62	21.78	34.79	36.89
				1.6	2.5	3.1	3.8
	0.245	0.412	0.625	0.995	1.312
				1.5		3.9	4.5
	14.22	19.64	26.52	31.10	41.30
			2.8	3.0	3.2	3.4	3.6
	0.894	1.029	1.209	1.341	1.525

 

 

Завдання 4. Апроксимація функцій методом найменших квадратів

Таблиця 4

№ ва-ріанта			№ ва-ріанта			№ ва-ріанта
	0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5	2.4 2.7 3.1 3.3 3.8 4.2 4.6 5.7 5.96 6.35		-2 -1	-0.3 0.5 0.8 1.8 2.5 2.0 1.75 1.5 1.0 0.5		-3 -2 -1 1.5 2.5 3.2 4.0 4.5 5.2	4.8 4.2 3.7 3.6 3.3 3.1 2.8 2.3 2.1 1.8
	-1	3.9 2.2 1.3 0.8 0.5 1.4 1.9 2.2 2.6 3.2			1.2 1.7 3.3 5.1 4.6 3.0 2.2 0.9 0.5 0.1		-1	-6.1 -5.8 -5.2 -4.8 -4.5 -5.0 -5.2 -5.5 -6.0 -6.2
		1.0 1.7 3.3 5.1 4.6 3.2 3.0 1.9 1.5 1.2			10.5 12.3 14.4 16.8 19.7 31.6 43.3			0.5 0.8 1.3 1.7 1.9 2.5 2.8 3.1 3.5 4.6
	-4 -2 -1	-2.6 -1.7 -0.9 -0.5 0.5 1.2 1.6 2.2 2.5 3.2		-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6	17.7 9.245 4.52 2.054 1.125 1.09 0.890 0.006 -2.378 -7.125		-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 2.0	11.07 6.733 3.373 0.945 -0.489 -1.45 -0.52 0.996 4.56 11.89
	-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 2.0	-3.929 -3.123 -2.345 -1.567 -0.678 0.12 0.98 1.678 2.490 4.24		2.1 2.39 2.68 2.97 3.26 3.55 3.84 4.13 4.42 4.71	-20.92 -6.075 -3.883 -3.032 -2.557 -2.214 -2.085 -1.863 -1.175 -1.667		1.1 1.4 1.88 2.27 2.66 3.05 3.44 3.8 4.2 4.6	30.07 6.176 3.467 2.39 1.837 1.54 1.231 1.14 1.01 0.901
	0.5 0.65 0.8 0.94 1.1 1.25 1.4 1.55 1.7 1.85	4.843 3.776 2.951 2.234 1.648 1.185 0.655 0.324 -0.041 -0.38		0.1 0.24 0.38 0.52 0.66 0.8 0.93 1.08 1.22 1.36	-4.837 -2.225 -0.845 0.784 1.4 1.85 2.3 2.678 2.99 3.12		0.1 0.24 0.38 0.52 0.66 0.8 0.93 1.08 1.22 1.36	-4.68 -5.89 -6.2 -5.89 -5.12 -4.2 -3.34 -2.46 -1.765 -1.23
	0.1 0.24 0.38 0.52 0.66 0.8 0.93 1.08 1.22 1.36	4.825 6.001 6.316 5.951 5.222 4.3 3.37 2.62 1.93 1.37		0.1 0.24 0.38 0.52 0.66 0.8 0.93 1.08 1.22 1.36	-1.191 -0.954 -0.9 -0.984 -1.125 -1.322 -1.178 -2.285 -3.167 -4.545		0.1 0.24 0.38 0.52 0.66 0.8 0.93 1.08 1.22 1.5	1.332 1.0615 1.0166 1.0421 1.1858 1.477 1.7804 2.4378 3.3304 6.7499
	-10.0 -9.1 -8.2 -7.3 -6.4 -5.5 -4.6 -3.7 -2.8 -1.9	1.7618 1.7647 1.7943 1.7969 1.8395 1.9485 2.1507 2.384 2.8918 4.9847		-10.0 -9.1 -8.2 -7.3 -6.4 -5.5 -4.6 -3.7 -2.8 -1.9	-1.672 -1.715 -1.743 -1.813 -1.866 -1.893 -2.076 -2.173 -2.481 -2.232		1.0 1.9 2.8 3.7 4.6 5.5 6.4 7.3 8.2 9.1	-2.170 -1.047 -0.796 -0.721 -0.662 -0.579 -0.632 -0.538 -0.519 -0.501
	0.5 0.95 1.4 1.85 2.3 2.75 3.2 3.65 4.1 4.55	17.24 5.83 4.11 3.15 2.83 3.09 2.19 2.84 2.82 2.66		-2.0 -1.7 -1.4 -1.1 -0.8 -0.5 -0.2 0.1 0.4 0.7	-11.92 -9.69 -7.85 -6.4 -5.19 -4.16 -3.44 -2.72 -2.19 -1.77		-2.0 -1.7 -1.4 -1.1 -0.8 -0.5 -0.2 0.1 0.4 0.7	8.07 6.55 5.33 4.31 3.51 2.91 2.29 1.94 1.59 1.31
	-2.0 -1.7 -1.4 -1.1 -0.8 -0.5 -0.2 0.49 0.69 1.0	0.148 0.199 0.329 0.536 0.977 1.845 3.3 6.231 11.56 21.51		-2.0 -1.7 -1.4 -1.1 -0.8 -0.5 -0.2 0.49 0.69 1.0	-0.485 -0.719 -1.016 -1.464 -2.046 -2.809 -4.013 -5.504 -7.678 -10.71		0.2 0.3 0.7 1.3 1.8 2.4 2.8 3.4 3.9 4.5	-0.05 0.098 0.155 0.1524 0.169 0.226 0.157 0.238 0.247 0.25

 

Завдання 5.

Розв’язок алгебраїчних і трансцендентних рівнянь (метод бісекцій, метод Ньютона)

Таблиця 5.1

№ варіанта	Рівняння
	x2-2x+lnx=0
	2x+5x-3=0
	x3-3x2-3.5=0
	2-x-lnx=0
	3x-cosx-1=0
	x2+4sinx=0
	x3+4x-6=0
	2xsinx-cosx=0
	x2-ln(1+x)-3=0
	x3-3x2+6x+3=0
	x2-cosx=0
	3x+5x-2=0
	cosx-3x=0
	x4-6x2+12x-8=0
	cosx-x+5=0
	x2-1-cos5x=0
	ex+lnx-1.2x=0
	lnx-x+1.8=0
	x2-2cosπx-1=0
	x3-ex-5.5=0
	ex+2x-26=0
	2e-0.5x -x2=0
	2x3-x2-7x+5=0
	0.5x2+xlnx=0
	3sin√x +0.35x-0.8=0
	2x+5x-3=0
	sinx-x-ln(1+x)+1=0
	x2-20sinx=0
	(x-3)cosx-1=0
	0.25x3+x-1.25=0

 

Розв’язок алгебраїчних і трансцендентних рівнянь (метод простої ітерації)

Таблиця 5.2

№ варіанта	Рівняння
	ln(1,5x)-1,7x+3=0
	2-x-lnx=0
	x2-ln(1+x)-3=0
	x3-5x-7=0
	x3+x-4=0
	x3+6x+5=0
	x3+4x-6=0
	x3-3x-6=0
	x3-x+3=0
	x3-4x-8=0
	x3+5x+4=0
	x3+2x-7=0
	x3+4x+3=0
	x3-2x+8=0
	cosx-x+5=0
	x3-5x+1=0
	ex-x-20=0
	x-sinx+0,25=0
	x2-ln(1+x2)-9,75=0
	sinx-3x+3,2=0
	10x+2x-100=0
	0,6*1,5x-2,25x=0
	x4+3x-3=0
	2x+2x2-3=0
	x5+5x+1=0
	x2-1-cos1,2x=0
	ex+2x-26=0
	x2-2x+lnx=0
	sinx-3x+3,2=0
	x5-x-0,2=0

 

Завдання 6. Наближене обчислення визначених інтегралів

Таблиця 6

№ варіанта	Підінтегральна функція	Нижня межа інтегрування	Верхня межа інтегрування
		0.5	2.5
		1.2	3.7
			1.5
		0.4	1.2
			2.2
			1.8
			1.2
			1.2
			2.6
			1.3
		1.2	3.2
		0.3	0.9
		0.3	1.5
		0.8	3.8
		0.5	1.9
		1.6	2.2
			3.4
			1.2
			3.2
			3.2
			1.8
		0.1
			1.3
			0.5

 

 

Завдання 7. Розв’язання звичайних диференціальних рівнянь

Таблиця 7

Номер варіанту	Диференціальне рівняння	Інтервал	Початкові умови y(x0)=y0
x0	b
				y(0)=0,3
			0,6	y(0)=0
				y(0)=1
				y(1)=1
				y(0)=1
				y(3)=1
				y(0)=1
				y(0)=1,5
		0,1		y(0,1)=0,2
		0,5	3,5	y(0,5)=0,5
		0,8	1,3	y(0,8)=0,5
			1,4	y(1)=0,8
		0,1	0,8	y(0,1)=0,1
		-4		y(-4)=0
		0,5	1,8	y(0,5)=0
		0,2	1,6	y(0,2)=0,2
				y(0)=0
				y(0)=0,5
				y(0)=1
			0,5	y(0)=0
		0,1		y(0,1)=0,2
		0,1		y(1)=1
				y(1)=1
			0,5	y(0)=0
			0,5	y(0)=0,2
				y(0)=0
				y(1)=0
		1,5		y(1,5)=1
				y(0)=-0,4
				y(1)=0,1

 

 

Література

1. Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник. ─ К.: Либідь, 1996. ─ 288 с.

2. Інформатика. Комп’ютерна техніка. Комп’ютерні технології. Під ред.. проф. Пушкаря О.І. ─ К.: ВЦ „Академія”, 2003. ─ 704с.

3. А.И. Плис. Сливина MATHCAD 2000 математический практикум для экономистов и инженеров. ─ Москва: „Финансы и статистика», 2000. ─ 656с.

 

Зміст

ПРЕДМЕТ, МЕТА І ЗАВДАННЯ ДИСЦИПЛІНИ.. 3

Лабораторна робота №1. 4

Лабораторна робота №2. 5

Лабораторна робота №3. 14

Лабораторна робота №4. 16

Лабораторна робота №5. 26

Лабораторна робота №6. 34

Лабораторна робота №7. 41

Контрольні питання. 49

Додатки. 51

Література. 63

 

 

Навчальне видання