Метод комплексных амплитуд
Он состоит в том, что
1) все переменные – напряжения и токи задаются комплексными амплитудами Úm или действующими значениями – Ú;
- действующее значение.
Все расчёты проводят с комплексными величинами.
2) полученный результат в виде комплексной амплитуды умножается на оператор вращения - Úmejωt.
Мгновенное значение отклика определяется, как реальная часть от полученного решения:
u(t)= Re [ u(t) =Úmejωt ] = Um cos(ω t + φ).
Комплексное сопротивление и проводимость участков цепи
По закону Ома известно что:
Если применить метод комплексных амплитуд при гармоническом воздействии, тогда это отношение можно представить мгновенными комплексными величинами напряжения u(t) и тока i(t):
(сократим на 
, получим)
Эту величину называют комплексным сопротивлением.
Физический смысл комплексного сопротивления.
,
где φu – фаза комплекного напряжения, φi- фаза комплексного тока
- показательная форма комплексного сопротивления.
- модуль комплексного сопротивления.
- аргумент комплексного сопротивления.
- 
тригонометрическая форма записи комплексного сопротивления
- алгебраическая форма записи комплексного сопротивления
- 
резистивная часть,
- реактивная часть комплексного сопротивления.
- модуль комплексного сопротивления
Векторное представление комплексного сопротивления
Для представления комплексного сопротивления на комплексной плоскости можно воспользоваться и алгебраической и показательной формах.
Положение точки (сопротивления) зависит от знака действительной и мнимой частей сопротивления, т.е. от аргумента φZ. Угол отсчитывается от действительной оси.
Для первой четверти:
Для второй четверти
Для третьей четверти
Для четвёртой четверти
Комплексная проводимость участка цепи.
- комплексная проводимость участка цепи.
- тригонометрическая форма.
-алгебраическая форма
g - резистивная составляющая.
b – реактивная составляющая
- модуль комплексной проводимости.
- аргумент комплексной проводимости.
Необходимо знать связь между комплексным сопротивлением и комплексной проводимостью.
Схемы замещения комплексного сопротивления и проводимости
Действительную и мнимую части Z и Y можно на схеме изобразить прямоугольником. Сопротивления складываются при последовательном соединении, а проводимости – при параллельном. Следовательно, комплексное сопротивление Z можно представить последовательной схемой, а комплексную проводимость Y – параллельной схемой.
Так как между сопротивлением и проводимостью существует однозначная связь, то эти две схемы можно рассматривать как эквивалентные. Можно получить формулы преобразования действительных и мнимых частей Z в Y и наоборот.
Дано:
Подсчитаем проводимость
Следовательно,
Формулы преобразования последовательной схемы в параллельную можно получить на основе принципа дуальности.
Дано: 
Получим
Комплексные сопротивления и проводимости идеализированных элементов (R, L, C)
Сопротивление R
Составим цепь из генератора гармонических колебаний (ЭДС) и сопротивления R. Мгновенное комплексное значение тока равно
Комплексное сопротивление Z R равно
Таким образом, комплексное сопротивление Z равно самому сопротивлению R, фаза равна нулю. 
Вывод: в сопротивлении R ток и напряжение совпадают по фазе.
Индуктивность L
Пусть индуктивность находится при воздействии гармонического тока (источник тока)
Мгновенное комплексное напряжение на индуктивности равно
, 
.
Вывод: комплексное сопротивление индуктивности является чисто реактивным сопротивлением; сопротивление прямо пропорционально частоте, т.е. зависит от частоты.
При ω = 0 => ZL = 0 – индуктивность является короткозамкнутой цепью,
При ω = ¥ => ZL = ¥ - индуктивность является разомкнутой цепью. По формуле Эйлера: 
(т.к. 
и 
).
В индуктивности напряжение опережает ток на 900.
Емкость C
Проведем все вычисления, аналогичные индуктивности. К емкости подключен источник гармонического напряжения
.
Подсчитаем комплексное значение тока через емкость 
Вывод: комплексное сопротивление емкости чисто реактивное; оно обратно пропорционально частоте; напряжение на емкости отстает от тока на 900.
При ω = 0 => ZC =¥ т.е ёмкость не пропускает постоянный ток, представляет собой разрыв цепи.
При ω = ¥ => ZC =0 т.е ёмкость представляет собой замкнутую цепь т.е. хорошо пропускает высокочастотный ток.
Лекция 7. Резонанс в электрических цепях. Явление резонанса и его значение в радиотехнике и электросвязи. Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений. Частотные характеристики последовательного контура.
Явление резонанса в последовательном колебательном контуре
Рассмотрим цепь, состоящую из генератора гармонического напряжения Ė и последовательного колебательного контура. Цепь линейная, поэтому для определения тока воспользуемся методом комплексных амплитуд.
Мнимая часть сопротивления зависит от частоты и на определенной частоте ω0 она может обратиться в ноль
Решая это уравнение, определим частоту, которую называю резонансной
 |
Она определяется параметрами элементов контура L, C.
Ток в контуре на этой частоте достигнет максимальной величины, которая зависит от R.
В радиотехнике такой электрический режим в колебательном контуре называют фазовым резонансом, а частоту ω0 – резонансной частотой. Это название связано с тем, что разность фаз между напряжением и током на этой частоте, т.е. фаза комплексного сопротивления контура равно нулю
 |
Таким образом, условием резонанса в колебательном контуре является x(ω0) = 0.
Резонанс возникнет в том случае, если частота сигнала будет равна резонансной частоте контура ω = ω0.
Параметры контура. Характеристика резонанса.
1. Резонансное сопротивление контура – сопротивление контура на резонансной частоте. Оно равно сопротивлению потерь и является минимальным
2. Характеристическое сопротивление - это сопротивление реактивных элементов (индуктивности и емкости) контура на резонансной частоте
В реальных контурах оно имеет значение от сотен Ом до десятков кОм.
3. Добротность контура
 |
Определяется отношением сопротивления реактивного элемента на резонансной частоте к сопротивлению потерь.
4. Коэффициент затухания 
5. Расстройка – это отклонение частоты сигнала от резонансной частоты. Различают три типа расстройки
Абсолютная расстройка – Δω = ω – ω0 или Δ f = f – f0.
Относительная расстройка 
Обобщенная расстройка
 |
При ω = 0, a( 0) = –¥, ω = ω0, a (ω0) = 0, ω = ¥, a(¥) = ¥.
Резонанс в последовательном контуре характеризуется не только разностью фаз между напряжением и током, не только максимальным током, но и величиной напряжения на реактивных элементах.
Определим амплитуду напряжения на реактивных элементах на резонансной частоте ω = ω0.
ÚR = İ·R = E – напряжение на сопротивлении равно ЭДС.
Вывод: амплитуда напряжений на реактивных элементах в Q раз больше ЭДС источника. Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре называют резонансом напряжений.
По фазе напряжения ÚC и ÚL противоположны.
Основной задачей в радиотехнике является передача информации на расстоянии с помощью радиосигнала. Разделение сигналов т.е каналов связи между собой осуществляется по разным параметрам сигналов. Наиболее часто употребляемым параметром является частота, т.е. по частотному признаку.
ω н – несущая частота
S = ω2 - ω1 - ширина канала по частоте.
Для разделения каналов между собой в радиотехнике используются устройства “Электрические фильтры ” - цепь, способная пропускать сигналы в заданном диапазоне частот S. (селекция сигналов.)
Каждый фильтр должен обладать определённой избирательностью.
Избирательность- способность цепи выделить или пропустить сигналы в заданной полосе частот.
Полоса частот S, в пределах которой фильтр пропускает сигналы, называется полосой пропускания (ПП).
Электрические фильтры, как правило, выполняются в виде четырёхполюсников.
Два полюса 1-1` называются входными, к ним подводится входной сигнал. Клеммы 2-2` называются выходными, к ним подключается нагрузка, на них образуется выходной сигнал после фильтрации.
Основным параметром фильтра является коэффициент передачи по напряжению K u(j ω)
Он может быть записан в показательной форме, если U 1 и U 2 также записать в показательной форме:
- модуль коэффициента передачи.
Зависимость модуля от частоты K(ω) называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).
φk(ω) = φU2 - φU1 - фаза коэффициента передачи или разность фаз напряжений.
Зависимость аргумента коэффициента передачи или фазы от частоты называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).
АЧХ и ФЧХ являются частотными характеристиками параметра, например, коэффициента передачи.
К частотным характеристикам относится еще одна амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) – годограф. Годограф – это геометрическое место точек конца вектора параметра в комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до ¥.
Годограф можно построить двумя способами, либо в декартовой, либо в полярной системе координат.
На годографе стрелкой показывают изменение частоты. По годографу легко построить АЧХ и ФЧХ.
Вывод: АЧХ, ФЧХ, годограф образуют семейство комплексных частотных характеристик.
Принципиальная, упрощённая схемы и схема замещения последовательного колебательного контура
Последовательным колебательным контуром называется цепь, составленная из конденсатора и катушки, соединенные последовательно.
Для изучения свойств контура нужно катушку и конденсатор представить схемами замещения соответственно – (L – RL) и (C – RC). Для упрощения анализа свойств делают преобразования всей схемы в последовательную схему, где R – сопротивление потерь контура, зависящее от сопротивлений RL и RC.
