Лекция 2. Принцип наложения. Метод контурных токов. Метод узловых потенциалов. Метод двух узлов

 

Метод наложения — применяется для расчета электрических цепей, имеющих несколько э. д. с. Сущность метода наложения состоит в том, что ток в какой-либо части цепи можно считать состоящим из ряда частичных токов, создаваемых отдельными э. д. с, действующими независимо друг от друга. Метод наложения используется как для расчёта цепей постоянного тока, так и для расчёта цепей переменного тока.

Найти ток I ₁ методом наложения в цепи, показанной на рисунке. E ₁ = 100 B, E ₂ = 50 B, R ₁ = R ₂ = R ₃ = 10 Ом.

При отключённом генераторе 2 ток I ₁' найдём по формуле:

 

.

При отключённом источнике 1, ток I ₂'' будет

 

,

а ток I ₁'' будет

 

.

Тогда ток I ₁ при обоих включённых источниках будет равен сумме токов I ₁' и I ₁'':

I ₁ = I ₁' + I ₁'' = 6,67 − 1,67 = 5 A.

В задаче за положительные направления токов I ₁' и I ₁'' приняты направления, совпадающие с направлением, показанным на рисунке для тока I ₁. То же самое для тока I ₂''

Метод узловых потенциалов — метод расчета электрических цепей путем записи системы линейных алгебраических уравнений, в которой неизвестными являются потенциалы в узлах цепи. В результате применения метода определяются потенциалы во всех узлах цепи, а также, при необходимости, токи во всех ветвях.

Методика:

1. Записывают уравнения для токов в ветвях схемы по обобщенному закону Ома.

2. Записывают для всех узлов, кроме одного, уравнения по 1 закону Кирхгофа.

3. В уравнения 1-ого закона Кирхгофа подставляют токи из уравнений обобщенного закона Ома, раскрывают скобки и проводят подобие относительно потенциалов узлов.

Переход к эквивалентной схеме

Метод узловых потенциалов применяется к эквивалентной схеме. Если изначально дана реальная схема, то для нее необходимо составить эквивалентную схему и дальнейший расчет производить с ней. Таким образом, схема, к которой применяется метод узловых потенциалов, не содержит никаких реальных элементов (транзисторов, диодов, ламп, гальванических элементов, пассивных элементов с паразитными параметрами и т.д.).

Составление системы уравнений

Перед началом расчёта выбирается один из узлов, потенциал которого считается равным нулю. Затем узлы нумеруются, после чего составляется система уравнений.

Слева от знака равенства записывается потенциал заданного узла, умноженный на сумму проводимостей ветвей, примыкающих к нему, минус потенциалы узлов, примыкающих к данному, умноженные на проводимости ветвей, соединяющих их с данным узлом.

Справа от знака равенства записывается сумма всех источников токов, примыкающих к данному узлу, если источник направлен в сторону рассматриваемого узла, то он записывается со знаком «+», если же он направлен от узла — то со знаком «−». Если это источник ЭДС, то он записывается как значение ЭДС, умноженное на проводимость ветвей, соединяющей их с данным узлом.

Метод применяется не к реальной схеме, а к её эквивалентной схеме, поэтому имеют силу те же ограничения, что и для применимости эквивалентных схем.

Метод контурных токов — метод сокращения размерности системы уравнений, описывающей электрическую цепь.

Построение системы уравнений

Для построения системы уравнений необходимо выделить в цепи P – У + 1 независимых контуров. По каждому из этих контуров будет составлено одно уравнение по 2-му закону Кирхгофа. В каждом контуре необходимо выбрать направление обхода (например, по часовой стрелке).

Ток во всех рёбрах схемы необходимо представить как сумму (с учётом знаков) контурных токов, которые протекают по этим рёбрам.

При наличии в цепи источников тока, их предварительно преобразовывают в источники напряжения.

Правило построения уравнения таково. Обходя контур в соответствии с выбранным направлением, записываем в левую часть уравнений сумму (с учётом знаков) токов в рёбрах, умноженных на сопротивление ребра. В правой части уравнения записываем все источники ЭДС, имеющиеся в контуре (со знаком «плюс», если направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС, и наоборот).

Составив уравнения для всех независимых контуров, получаем совместную систему P – У + 1 уравнений относительно P – У + 1 неизвестных контурных токов.

 

Метод двух узлов — метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем и токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы. Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов.

Формула для расчета напряжения между двумя узлами:

 

Пример

Найти токи в схеме, если E ₁=120 В, E ₃=50 В, R ₁=2 Ом, R ₂=4 Ом, R ₃=1 Ом, R ₄=10 Ом.

 

В;

А;

А;

I ₃ = − 55,4 А; I ₄ = − 0,54 А.