Формула Стокса.
Пусть 
- векторное поле, заданное в конечной области G с гладкой (или кусочно-гладкой) границей σ и 
- единичный вектор внешней нормали к σ в точке M. Вектор-функция 
называется циркуляцией поля по границе области G.
Если существует предел при стягивании объёма V, заключённого внутри 
в точку 
:
,
то вектор 
называется ротором или вихрем поля в точке и обозначается символом 
. По определению:
.
это плотность циркуляции векторного поля по границе области.
Пусть в области G задано векторное поле . Пусть 
- внутренняя точка области G, π –некоторая плоскость, проходящая через эту точку. - единичный вектор внешней нормали к π, L- замкнутый контур, лежащий в плоскости и ограничивающий область Ф, такую, что - внутренняя точка области Ф. Тогда принимают 
(24)
В правую часть формулы (24) входят величины, инвариантные относительно выбора системы координат (циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура и площадь плоской области).
Если компоненты 
поля 
имеют непрерывные частные производные по 
, то вектор ротора поля вычисляется по формуле:
. (25)
В частности, для плоского поля 
: 
.
Определение 12. Если в каждой точке области выполняется равенство 
, то поле называется безвихревым.
Теорема. В односвязной области всякое безвихревое поле потенциально.
.
Это является необходимым и достаточным условием потенциальности поля в поверхностно односвязной области. Если область не является поверхностно односвязной, то условие не достаточно для потенциальности поля.
Формула Стокса.
Пусть в области G определено векторное поле 
. L – замкнутый контур, расположенный в области G. σ – поверхность, ограниченная контуром L, гладкая или кусочно-гладкая. 
- единичный вектор нормали на выбранной стороне поверхности σ. Пусть функции непрерывны вместе со своими частными производными. Тогда справедлива формула Стокса:
. (26)
Ориентация контура L согласована с ориентацией поверхности σ по правилу правого винта. Или:
. (27)
Левая часть формулы Стокса – это циркуляция векторного поля вдоль контура L, а правая представляет собой поток через поверхность σ векторного поля 
. В векторной форме формулу Стокса можно записать так: 
. (28)
Физический смысл формулы Стокса: циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого поля через произвольную поверхность, натянутую на этот контур.
Формула Стокса остаётся справедливой и в случае, когда поверхность σ является плоской областью, параллельной какой-нибудь координатной плоскости. Тогда формула Стокса превращается в формулу Грина:
.
Пример 22. Найти ротор векторного поля 
и убедиться, что новое поле 
является соленоидальным.
Решение. По формуле (25) имеем:
.
Вычислим 
по формуле (29): 
.
Ответ: Так как 
, поле является соленоидальным, ч.т.д.
Пример 23. Проверить, является ли потенциальным векторное поле 
.
Решение. По формуле (25) имеем:
Ответ: данное поле является потенциальным, т.к. 
.
Пример 24.
Вычислить циркуляцию векторного поля 
по эллипсу 
. Обход контура против часовой стрелки, если смотреть из точки M(0,0,3). Ответ проверить по формуле Стокса.
Решение. 1) По формуле (7): Ц 
.
Примем: 
, тогда 
, 
. Ц 
.
2)По формуле Стокса: Ц 
.
Вычислим по формуле (25): 
.
В качестве σ выберемплоскость z=1, тогда 
и 
.
Тогда Ц 
. Площадь эллипса с полуосями a и b равна 
.
Ответ: Ц 
.
Пример 25. Вычислить циркуляцию векторного поля:
по контуру треугольника ABC, где A(1,1,0), B(0,0,2), C(3,0,1), двумя способами: 1) с помощью криволинейного интеграла, 2) по формуле Стокса.
Выяснить, как зависит циркуляция от расположения контура в данном поле.
Решение.
1) По формуле (7): Ц 
(см. рис.17)
Составим уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.
Ц 
2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса: Ц 
. В качестве поверхности σ выберемплоскость треугольника ABC. Тогда 
. Единичный вектор нормали, составляющий острые углы с осями координат: 
.
Найдём по формуле (25): 
, 
.
Тогда Ц 
, ч.т.д.
3) Исследуем поведение циркуляции при перемещении нашего контура в пространстве. Для этого используем определение скалярного произведения.
Ц 
, где 
– угол между векторами и 
.
Видим, что циркуляция зависит от этого угла . Отсюда следует, что если треугольник ABC перемещается в пространстве параллельно своему исходному положению, то угол не меняется, и циркуляция по контуру остаётся равной 9, а при повороте контура меняется направление вектора , что влечёт изменение циркуляции.
Циркуляция достигнет максимального значения, когда 
, т.е. когда 
. В этом случае Ц 
.
Если 
, то Ц=0.
Ответ: Ц=9, Ц 
.
Пример 26. Вычислить циркуляцию векторного поля 
вдоль линии L пересечения поверхности 
и цилиндра 
, используя формулу Стокса, если нормаль к поверхности образует острый угол с осью OZ.
Решение.
По формуле Стокса: Ц 
.
Найдём по формуле (25): 
.
|
. Перепишем это уравнение в неявном виде 
: 
. Нормаль к ней получим по формуле: 
, где 
. Т.е 
. Данный вектор образует острый угол с осью OZ, что и требуется по условию задачи. Тогда
, т. к. из уравнения поверхности. Получаем Ц 
- поверхностный интеграл первого рода.
Для его вычисления спроектируем на плоскость XOY. Проекцией является круг 
.
Имеем 
.
Тогда: Ц 
.
Ответ: Ц= 0.
Контрольное задание 9.
1. Вычислить криволинейный интеграл 
, где L – линия пересечения верхней полусферы 
с цилиндром 
. L пробегает против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (0,0,3R).
2. Найти циркуляцию векторного поля 
вдоль замкнутого контура L, составленного из части винтовой линии 
и отрезка прямой, соединяющей точки B(a,0,2π) и A(a,0,0). Движение происходит от точки B к A и далее к B.
3. Для векторного поля 
вычислить , циркуляцию поля 
вдоль окружности 
и выяснить, является ли поле потенциальным в области 
; в области 
?
4. Найти циркуляцию поля 
вдоль контура треугольника OABO c координатами вершин O(0,0,0), A(1,1,2), B(0,1,2). Ответ проверить с помощью формулы Стокса. Найти максимальное значение циркуляции по данному контуру.
