Производная по направлению скалярного поля

Пусть - скалярное поле, заданное в области . - единичный фиксированный вектор. М – фиксированная точка, . - произвольная, отличная от М, точка из G, такая, что вектор коллинеарен . Пусть - величина направленного отрезка (равная , если и равная - , если ).

Определение 2. Число называется производной скалярного поля в направлении в точке М и обозначается символом .

Производная скалярного поля в направлении в точке М равна скорости изменения поля в этой точке в данном направлении. Если , то при перемещении из точки М в направлении значение поля (функция ) возрастает, если - убывает.

Пусть поле задано в декартовой системе координат и - единичный вектор данного направления. Тогда производная скалярного поля в направлении в точке M вычисляется по формуле: = + ,где α,β,γ – углы, образуемые вектором с соответствующими осями координат и .

Если , то , , ,

Для плоского поля производная по направлению вычисляется по формуле: = + = + .

Пример 3. Установить характер изменения поля, заданного функцией в точке в направлении от А к точке .

Решение. , , .

Значения производных в точке А:

= +

Ответ: Т.к. поле убывает в направлении .

Пример 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси ОХ.

Решение. Для плоского поля = + .

Значения производных в точке M: , . Ответ:

Контрольное задание 2.

Найти производную функции:

1) в точке в направлении вектора , составляющем угол с положительным направлением оси ОХ;

2) в точке в направлении вектора , где ;

3) в точке в направлении вектора ;

Градиент скалярного поля.

Определение 3. Градиентом скалярного поля называется вектор-функция , (1)

координатами которой являются соответствующие частные производные данной функции.

Если - единичный вектор данного направления, то из формулы (1) следует, что производная по направлению - это скалярное произведение векторов и ,т.е .

Но = . Тогда , т. к. .

Здесь - угол между вектором градиента в данной точке и вектором .

Отсюда следуют основные свойства градиента функции:

1. Вектор в данной точке указывает направление наибольшего роста поля (функции ) в этой точке. При этом - наибольшее значение производной по направлению в точке M. (Таким образом, вектор не зависит от выбора системы координат, а его модуль и направление в каждой точке определяются функцией ).

2. Градиент скалярного поля в точке М ортогонален к поверхности (линии) уровня поля, проходящей через точку М.

3. Если - поле постоянно, то его градиент равен 0.

4. Справедливы формулы:

а) ; б)

в) ; г)

д) , где U и V – скалярные поля.

е) .

Пример 5. Найти градиент электростатического поля , где е - заряд, - расстояние от данной точки до заряда.

Решение. Данному полю принадлежат все точки пространства за исключением начала координат, где U обращается в бесконечность.

По определению: . Вычислим частные производные:

Ответ: .

Пример 6. Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке .

Решение. Направление наибольшего возрастания поля указывает вектор градиента этого поля. .

Вычислим значения частных производных в точке M:

Наибольшая скорость возрастания равна наибольшему значению производной по направлению точке M

Ответ: Наибольшая скорость возрастания функции

Контрольное задание 3.

1)Найти градиент скалярного поля в точке .

2) Найти наибольшую скорость возрастания поля в точке .

3) Найти производную функции в точке в направлении, перпендикулярном к линии уровня, проходящей через данную точку.

4) В каких точках градиент скалярного поля :

а) параллелен оси OZ; б) перпендикулярен оси OZ; в) равен 0?

5) Найдите угол между градиентами скалярного поля в точках и

Векторные линии поля.

Определение 4. Векторными линиями векторного поля называются такие линии, у которых касательная в каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля.

В физике это понятие для конкретных полей имеет физический смысл, например, векторные линии поля тяготения, электрического и магнитного полей - это силовые линии, а поля скоростей – линии тока, т.е. линии, по которым движутся частицы поля.

Пусть векторная линия, проходящая через точку , описывается уравнениями , где t – параметр. Из условия коллинеарности касательного вектора и вектора поля в произвольной точке дифференциальное уравнение этой линии имеет вид: , (2)

где λ – некоторое число.

Уравнение (2) - это дифференциальное уравнение векторных линий в векторной форме.

В пространстве в декартовой системе координат: , . Тогда векторное уравнение (2) эквивалентно системе дифференциальных уравнений:

, (3)

Система (3) – это симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Для её решения применяются интегрируемые комбинации, с привлечением свойств равных дробей. Для плоского поля система имеет вид

. (4)

Определение 5. Поверхность, состоящая из векторных линий, проведённых через каждую точку некоторой замкнутой линии l, называется векторной трубкой.

В следующих примерах для данных векторных полей найдём уравнения векторных линий и построим их.

Пример 7. Векторное поле .

Решение. Поле, у которого , определено на всей плоскости XOY,следовательно, через каждую точку плоскости проходит хотя бы одна векторная линия. Составим дифференциальное уравнение векторных линий: (см. (4)). Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: , или - уравнения векторных линий. При С=0 это точка О(0,0), при С>0 – концентрические окружности.

Для определения направления движения по векторной линии материальной точки, попавшей в векторное поле, рассмотрим проекцию вектора на ось OX. Это . Там, где , составляет с осью OX острый угол, где - тупой. Учитывая, что вектор поля направлен по касательной к векторной линии, и векторные линии непрерывны, достаточно выяснить, что в первой четверти движение поля происходит по часовой стрелке (см.Рисунок 4).

Ответ: - уравнения векторных линий.

Пример 8. Векторное поле .

Решение. Поле, у которого , определено на всей плоскости XOY Составим дифференциальное уравнение векторных линий: . Решим его:

. Рассмотрим случай . Тогда , т.е. ось OY тоже является векторной линией. Определим направление движения поля. Т.к. то вектор в любой точке составляет острый угол с осью OY (см.Рисунок 5).

Ответ: - уравнения векторных линий.

Пример 9. Найти векторные линии поля .

Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий: (см. (3)). Из уравнения следует - первый интеграл системы. Получили семейство плоскостей, проходящих через ось OY. Вторую интегрируемую комбинацию составим следующим образом.