Основные теоретические положения. Для анализа линейных электрических цепей в установившемся синусоидальном режиме широко используется метод комплексных амплитуд (символический метод)

Для анализа линейных электрических цепей в установившемся синусоидальном режиме широко используется метод комплексных амплитуд (символический метод). В этом методе оперируют не реальными гармоническими напряжениями и токами, а их комплексными амплитудами:

(3.1)

или комплексными напряжениями и токами:

, (3.2)

где – амплитуды напряжения и тока;

U, I – действующие значения напряжения и тока;

– начальные фазы напряжения и тока.

В символическом методе комплексные сопротивления элементов R, L, С равны соответственно

(3.3)

Комплексное сопротивление Z линейного пассивного двухполюсника (рис.3.1,а) в общем случае содержит активную и реактивную составляющие:

(3.4)

где – полное сопротивление (модуль Z);

– угол сдвига фаз между напряжением и током двухполюсника (аргумент Z).

Комплексная проводимость Y пассивного двухполюсника, обратная комплексному сопротивлению Z:

(3.5)

где – полная проводимость (модуль Y);

Рис.3.1

g – активная проводимость;

b – реактивная проводимость.

Выражению (3.4) соответствует последовательная схема замещения двухполюсника (рис. 3.1,б), а выражению (3.5) – параллельная (рис. 3.1,в). Переход от последовательной схемы замещения к параллельной осуществляют по формулам

(3.6)

Для обратного перехода используют выражения

(3.7)

Для расчетов токов и напряжений в цепях с единственным источником энергии применяют метод эквивалентных преобразований (МЭП). Например, для цепи на рис.3.2 две параллельные ветви с комплексными сопротивлениями заменяют одной эквивалентной ветвью с сопротивлением

Рис.3.2 Рис.3.3

 

Тогда входное комплексное сопротивление цепи равно

Вычислив входной ток

токи целесообразно рассчитать, используя «правило плеч»;

(3.8)

Расчет токов и напряжений завершается построением топографической диаграммы (рис.3.3). Построение диаграммы следует производить, взяв в качестве исходной точки «отрицательный» зажим источника, т.е. узел 4. Двигаясь против токов ветвей, строят на диаграмме векторы комплексных напряжений всех элементов цепи. Координаты точек 3, 2, 1 равны значениям комплексных потенциалов соответствующих узлов цепи (предполагается ). Особенность диаграммы: вектор напряжения между любой парой узлов m и n направлен на диаграмме от узла n к узлу m. Для расчета цепи на рис.3.2, а также более сложных цепей лестничной структуры применяется метод пропорционального пересчета (МПП). В этом методе используется свойство линейной зависимости всех токов и напряжений цепи от амплитуды напряжения (тока) источника (в цепи единственный источник). Поясним суть метода для цепи на рис.3.2. Задается условно значение тока в наиболее удаленной и сложной ветви цепи. Пусть, например, . Затем, находя условное напряжение и условный ток сложив токи , находят ток .

Тогда

Разделив истинное напряжение на условное вычисляют комплексный коэффициент пересчета К:

Для получения истинных напряжений и токов цепи необходимо все найденные ранее условные напряжения и токи умножить на коэффициент К, т.е.

Для ориентировочных расчетов напряжений и токов применяется также графоаналитический метод расчета. Этот метод методологически связан с методом пропорционального пересчета, однако не использует алгебры комплексных чисел. Пусть, как и в предыдущем методе, Выбрав масштабы и для напряжений и токов, откладывают в произвольном направлении ток (например горизонтально). Затем строят вектор напряжения совпадающий по направлению с током ,и вектор напряжения отстающий по фазе от на 90°. Используя графические измерения, вычисляют напряжение Вычислив и откладывая ток параллельно графически определяют и т.д. В результате находят вектор условного напряжения U. Затем с помощью коэффициента пересчета K=U/U' вычисляют истинные токи и напряжения. Графические построения по ходу расчета дают в итоге условную топографическую диаграмму. Для получения истинной диаграммы следует, во-первых, увеличить линейные размеры всех векторов в К раз, во-вторых, повернуть против часовой стрелки условную диаграмму на угол , равный разности начальных фаз векторов и. Активная и реактивная мощности потребителей вычисляются по формулам

Комплексная мощность источника находится из

где – комплексное напряжение источника;

– сопряженный комплексный ток источника.

Из закона сохранения энергии вытекают условия баланса активных и реактивных мощностей:

Описание лабораторной установки

В состав лабораторной установки входят перестраиваемый генератор синусоидального напряжения, вольтметр, фазометр и лабораторный макет. На макете смонтированы три резистора конденсатор и катушка индуктивности. Для подключения генератора на макете имеется дополнительная пара зажимов.

Генератор. При установке частоты генератора следует ручку множителя частоты переключить в нужное положение и, вращая лимб генератора, установить требуемую частоту. Напряжение генератора устанавливается вращением ручки «Регулировка выхода».

Измерение напряжения генератора производится только внешним вольтметром, вольтметр, встроенный в генератор, в лабораторных работах не используется.

Вольтметр. В общем случае перед включением вольтметра переключатель пределов следует установить на предел 30 В и при небольших отклонениях стрелки прибора переходить на более низкие пределы. Цена деления вольтметра зависит от положения переключателя пределов и определяется как частное от деления установленного предела на число делений шкалы.

Фазометр. Фазометр позволяет измерить угол сдвига фаз между двумя напряжениями одинаковой частоты, называемыми «Сигнал» и «Опорное», причем показание фазометра равно углу фазового сдвига напряжения «Сигнал» по отношению к опорному напряжению, т.е.

.

Фазометром можно измерить непосредственно угол сдвига фаз напряжений ветвей (элементов), имеющих общий узел. К общему узлу подключается зажим «Земля» фазометра. К двум оставшимся узлам подключаются клеммы «Опорное» и «Сигнал» фазометра, причем не принципиально, какое из напряжений принять в качестве опорного. Однако нужно следить, чтобы напряжения «Опорное» и «Сигнал» были направлены к общему узлу (напряжения и на рис.3.4,а).

Из рис.3.4,б следует, что переход от напряжений к обратным им напряжениям не изменяет фазового угла между ними как по величине, так и по знаку. Из сказанного ясно, что в качестве напряжений «Сигнал» и «Опорное» можно принять не только напряжения , направленные к зажиму «Земля», но в равной мере и обратные им напряжения направленные от зажима «Земля». Назовем напряжения «Сигнал» и «Опорное» согласованными (по отношению к зажиму «Земля»), если они оба направлены к зажиму «Земля» или оба от зажима «Земля». Таким образом, показание фазометра на рис.3.4,а равно углу сдвига фаз между напряжением «Сигнал» и согласованным с ним напряжением «Опорное». Если же нас интересует угол а фазового сдвига между несогласованными напряжениями «Сигнал» и «Опорное», то из рис.3.4,б следует, что в этом случае к показанию фазометра следует добавить или вычесть 180°, причем выбор знака для слагаемого 180° определяется только удобством представления угла а.

 

 

Рис. 3.4.

Обобщая все сказанное выше, можно для рис.3.4,а записать

(3.11)

(3.12)

где показание фазометра;

начальная фаза напряжения .

Если начальная фаза опорного напряжения равна нулю, то из (3.10) видно, что в этом случае фазометр регистрирует начальную фазу напряжения «Сигнал».

Фазометр может применяться для измерения начальных фаз токов ветвей, однако в этом случае напряжение «Сигнал» должно сниматься с резистивного элемента ветви, фаза напряжения в котором совпадает с фазой тока.

В табл.3.1 заданы для шести вариантов параметры генератора и номиналы элементов исследуемых схем. Величины и задают резистивное сопротивление и индуктивность для последовательной схемы замещения реальной катушки индуктивности. Конденсатор заменяется идеальной емкостью С.

Домашнее задание

1. Для последовательной цепи на рис.З.5:

а) рассчитать согласно варианту сопротивления реактивных элементов, комплексное входное сопротивление цепи, комплексный ток f и комплексные напряжения элементов Параметры цепи и генератора заданы в табл.3.1 согласно варианту. Напряжение генераторе У=10 В. Начальную фазу напряжения генератора принять нулевой. Расчетные комплексные величины занести в табл.3.2 в графу «Расчет»;

б) по результатам расчетов построить топографическую диаграмму напряжений всех элементов с указанием вектора тока.

2. Для параллельной цепи на рис.3.6 и указанных в a параметров генератора:

а) рассчитать по закону Ома комплексные токи ветвей и входной ток как их сумму. Результаты занести в табл.3.3 в графу «Расчет»;

6) построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Таблица 3.1

200. Вариант 201.	202. Схема на рис. 203.	204.	205.	206.	207.	208.	209.	210.	211.
212. В 213.	214. Гц 215.	216. Ом 217.	218. Ом 219.	220. Ом 221.	222. мГн 223.	224. Ом 225.	226. мкФ 227.
228. 1 229.	230. 3.8 231.	232. 10 233.	234. 700 235.	236. 139	237. 139 238.	239. 139 240.	241. 44 242.	243. 58 244.	245. 0.93 246.
247. 2	248. 3.8 249.	250. 10 251.	252. 1200 253.	254. 139 255.	256. 139 257.	258. 139 259.	260. 42 261.	262. 60 263.	264. 0.93 265.
266. 3 267.	268. 3.9 269.	270. 10 271.	272. 1300 273.	274. 143 275.	276. 143 277.	278. 143 279.	280. 42 281.	282. 56 283.	284. 0.95 285.
286. 4 287.	288. 3.9 289.	290. 10 291.	292. 800 293.	294. 143 295.	296. 143 297.	298. 143 299.	300. 42.5 301.	302. 56 303.	304. 0.99 305.
306. 5 307.	308. 3.10 309.	310. 10 311.	312. 1000 313.	314. 157 315.	316. 137 317.	318. 157 319.	320. 44 321.	322. 57 323.	324. 0.96 325.
326. 6 327.	328. 3.10 329.	330. 10 331.	332. 500 333.	334. 142 335.	336. 142 337.	338. 142 339.	340. 45 341.	342. 57 343.	344. 1.0 345.

 

3. В разветвленной цепи, заданной согласно варианту в табл.3.1:

а) рассчитать, используя метод эквивалентных преобразований, комплексные токи ветвей и комплексные напряжения всех элементов. Результат занести в табл.3.4 в графу «Расчет» ( – напряжения на резисторах );

б) построить топографическую диаграмму напряжений всех элементов и совмещенную с ней векторную диаграмму токов. Для векторов напряжений и векторов токов желательно цветовое различие, масштабы для и взять достаточно крупными;

в) составить и рассчитать уравнения баланса активных и реактивных мощностей цепи. Вычислить коэффициент мощности цепи.