Сутнісні начала природи, або чого навчає вчення про Трійцю. 10 страница

Два способи трансформації систем. Академік М. Моїсеєв (Мо-исеев, 1990) називає трансформаційні механізми еволюційними. Він виділив два основних класи еволюційних механізмів, які умовно можуть бути названі адаптаційними і біфуркаційними.

Примітка __________________________________________________

Термін «біфуркаційний» (від лат. bis - двічі, furca - вили) означає «роздвоєн­ня, розгалуження». Чому використовується саме цей термін, спробуємо пояснити нижче.

Адаптаційні механізми передбачають такий характер змін у системі, який дозволяє їй пристосовуватися до впливів зовні­шнього середовища без втрати системою її принципових відміт­них ознак. При адаптаційному механізмі, незважаючи на всі зміни, система продовжує зберігати свою цілісність, тобто зали-

124

шатися самою собою: біологічний організм (особа) залишається тим самим біологічним організмом, родина - родиною, фірма -фірмою, військовий підрозділ - військовим підрозділом, держа­ва - державою (як політичне утворення).

Біфуркаційні механізми передбачають такий характер змін у системі, за якого система втрачає принципові відмітні озна­ки і набуває нової якості, хоча й зберігає спадкоємний зв'язок з попереднім станом. При біфуркаційному механізмі система втрачає свою цілісність, набуваючи нової якості: біологічний вид зберігає своє існування внаслідок послідовної зміни поко­лінь; родина може роз'єднатися чи з'єднатися з іншою роди­ною, зберігаючи певні устої колишньої родини; фірма може бути реорганізована (укрупнена, розукрупнена, змінити свою назву, галузь, вид діяльності), при цьому співробітники, які залишилися, будуть носіями традицій старого підприємства; на території країни (у межах колишніх кордонів чи нових) може виникнути нове державне утворення (з новим політич­ним устроєм, новим адміністративним розподілом, новою на­звою), яке формально чи неформально (через своїх громадян) залишиться правонаступником або носієм національних рис колишньої структури.

Зазначені два класи механізмів М.М. Моїсеєв порівнює з двома різними режимами плину рідини в трубі - ламінарним і турбулентним.

Подробиці ___________________________________________________

Ламінарний, тобто плавний режим плину рідини, копи ЇЇ частинки рухаються паралельно осі труби, спостерігається при незначних витратах рідини. У цьо­му випадку спостерігається лінійна залежність напору (необхідного тиску в трубі) від обсягу рідини, який потрібно прокачати за одиницю часу. Однак при збільшенні цього обсягу (втрати рідини) до критичного значення попере­дній режим руху рідини існувати вже не може. Стара організація системи руйнується. Замість ламінарного руху рідини виникає турбулентний, тобто вихоровий. Він характеризується тим, що єдиний плавний потік розпадається на численні вихори різних розмірів, внаслідок чого їх гідродинамічні і термо­динамічні характеристики (швидкість, температура, тиск, густина) зазнають хаотичних (тобто стохастичних і невизначених) флуктуацій (змін). Це озна­чає, що дані параметри змінюються в просторі (від точки до точки) і в часі нерегулярно. Лінійна залежність необхідного напору прокачування питомого обсягу рідини порушується, і значення напору починає швидко зростати (Мо-исеев, 1990).

125

Цей приклад ілюструє один дуже важливий факт: фізичні системи можуть мати граничні стани, перехід через який веде до різкої якісної зміни процесів - до трансформації їх органі­зації. Цьому процесу притаманна дуже важлива, з погляду при­скорення процесів розвитку, властивість: він стрибкоподібно збільшує характеристики змінюваності системи. По-перше, піс­ля біфуркації (тобто розгалуження) система розпадається на без­ліч можливих структур (станів), у рамках яких може розвива­тися надалі (звідси і назва даного класу механізмів). По-друге, різко збільшується стохастичність і невизначеність кожного з цих станів. Передбачити заздалегідь, яка з цих структур реалі­зується, не можна в принципі, тому що це залежить від неми­нучих випадкових змін - флуктуацій системи.

Схематично шляхи реалізації адаптаційного (чи адаптивно­го) і біфуркаційного класів механізмів показані на рис. 5.1.

Наведені характеристики зазначених класів механізмів до­зволяють дати порівняльний аналіз можливого впливу цих ме­ханізмів на інтенсивність еволюційних процесів.

а)

4

/>

\

Рис. 5.1. Схеми реалізації адаптаційного (а) і біфуркаційного (б)

класів еволюційних механізмів

126

/

 

Ч

Адаптаційним механізмам притаманна відмітна властивість: ані зовнішні, ані внутрішні збурювання за допомогою цих меха­нізмів не здатні вивести систему за межі того, за словами М.М. Моїсеєва, «доступного для огляду каналу еволюції», того коридору, що приготувала природа для розвитку даної системи. Межі цього коридору обумовлені фізичними можливостями си­стеми пристосовуватися до змін зовнішнього середовища. Отже, параметри потенційних змін стану системи не можуть істотно відрізнятися один від одного. Таким чином, можливі стани си­стеми досить доступні в перспективі, а шляхи її розвитку пе­редбачувані з достатньою точністю.

5.3. Особливості біфуркаиійних механізмів

Біфуркаційним механізмам порівняно з адаптаційними прита­манний цілий спектр відмітних властивостей, які дозволяють колосально прискорити процеси розвитку. До таких властивос­тей можна віднести:

• максимальне збільшення варіантності станів і розкиду мож­ливих параметрів системи;

• невизначеність майбутнього, яке пояснюється високим сту­пенем випадковості та ймовірності флуктуацій (спонтанних змін) системи;

• необоротність розвитку; у силу імовірнісного і випадкового характеру змін імовірність повернення в попередній стан практично дорівнює нулю (!); час, як і еволюція, набуває спрямованості й необоротності,

Віфуркаційні зміни, при яких система «забуває» минулий стан, різко прискорюють темпи розвитку.

У світлі цього біфуркаційні механізми створюють майже іде­альні умови для розвитку. Повторимо ще раз його необхідні передумови.

Для розвитку потрібна пам'ять. Але потрібна для того, щоб закріпити зміни, які вже відбулися; щоб система знову не повер­талася до старого стану. Проте «дуже гарна пам'ять» перетво­рюється на гальмо розвитку, коли потрібно зробити нові зміни,

127

порушити стару рівновагу. Таким чином, щоб зміна відбулася, система повинна «забути» старий стан. При набутті нового ста­ну система знову повинна «повернути» пам'ять, щоб інформа­ційно закріпити нову якість.

Близькі до цього умови створюються в системі саме при бі-фуркаційних механізмах розвитку. Стан катастрофи, у якому час від часу опиняється система, дозволяє «забувати» (чи май­же «забувати») своє минуле. Коли біфуркаційний стан минає, відбувається розгалуження шляхів еволюції. Кожний із них при­рода може обрати як оптимальний напрямок для реалізації по­дальшого розвитку. При цьому нова якість міцно закріплюєть­ся необоротністю до попереднього стану.

Приклад _______________________________________________

Вперше в планетарному масштабі природа реалізувала біфуркаційні механізми, створивши біологічний тип еволюції. Народжуючи потомство, кожний організм створює розгалужений шлях розвитку біологічного виду. Нове покоління несе спадкоємні ознаки свого виду (від зайця може народитися тільки заєць, а від крокодила — крокодил), але разом з тим створює ті необхідні передумови, без яких немислимий процес розвитку. Потомство вносить значне різноманіття у стару систему, і це різноманіття забезпечується випадковими мутаціями систе­ми. З нового потомства виживуть тільки ті особини, що краще інших здатні пристосовуватися до навколишнього середовища. (А ми пам'ятаємо і конкрет­ний критерій добору: у кого інформаційна здатність зменшити дисипацію (роз­сіювання) енергії виявиться вищою.) Саме ці, більш живучі, здобувають можли­вість народити наступне потомство (тобто створити нову біфуркацію).

Можливо, природа і змогла б досягти існуючого на планеті біологічного різноманіття, використовуючи адаптаційні механізми перших прокаріотів (у цьому випадку кожна структура, зайнявши свою біологічну нішу, змогла б, поступово пристосовуючись, шукати свою долю), але для цього знадобили­ся б сотні мільярдів років, а не ті кілька мільярдів, за які відбулася еволюція живої природи. Саме цей факт дії біфуркаційних механізмів першим зміг розглянути Дарвін.

Таким чином, біфуркаційні механізми, діючи разом з адап­таційними, дозволили різко інтенсифікувати мутагенез (тобто виникнення випадкових, невизначених змін) на планеті, вна­слідок чого почали швидко змінюватися умови життя на Землі. Це, у свою чергу, стимулювало швидке вимирання старих видів і появу нових.

Трансформаційні механізми в живих системах. У світлі ви­кладеного стає зрозумілим колосальне значення смертності, яка

128

притаманна живим організмам. (Прокаріоти, як відзначав М.М. Моїсеєв (1990), були безсмертними.) Це ціна, яку запла­тила природа за різке прискорення темпів розвитку.

З виникненням живої природи набувають подальшого роз­витку обидва види еволюційних механізмів: як адаптаційні, так і біфуркаційні.

Вироблення рефлексів - це результат дії адаптаційних меха­нізмів. Будь-яка поступова зміна тих чи інших властивостей систем, що розвиваються (у тому числі засвоєння «правил пове­дінки» окремими членами популяції), відбувається під впливом подібних механізмів. Щоразу подібні механізми відшукують такий стан системи (організму), який відповідатиме мінімуму дисипації енергії, чи найменшому значенню ентропії.

У той же час набули колосального розвитку біфуркаційні механізми. Насамперед це пов'язано зі змінюваністю поколінь. Саме цей фактор, який так геніально побачив Ч. Дарвін, вияви­вся потужним прискорювачем еволюції і фактором значного збільшення різноманіття природи планети. Таким чином, бі­фуркаційні механізми починають відтворювати себе, адже осно­ва біфуркації - це різноманіття. Але, з іншого боку, і сама бі­фуркація є джерелом різноманіття.

5.4. Нелінійні трансформації стану системи

Хвильові властивості стану системи і середовища. Як це було

вже показане вище, будь-яка система може існувати, самоорга-нізовуватися і розвиватися тільки в тому випадку, якщо вона здатна бути стаціонарною, тобто підтримувати відносно постійні значення своїх параметрів. Ця сталість проте ніколи не буває абсолютною, тому що стани будь-якої системи піддаються коли­ванням. Коливальні зміни стану системи здебільшого мають упорядкований характер, завдяки чому коливання набувають форми хвильового (ритмічного) руху. Хвильові властивості не­одмінно мають і всі середовища, у яких знаходяться системи.

Хвильові властивості середовища і системи відіграють над­звичайно важливу роль у забезпеченні процесів метаболізму, самоорганізації і розвитку систем. Насамперед слід згадати про­цеси зародження систем, що починаються з явищ флуктуації,

129

тобто виникнення неоднорідності окремих елементів, з яких складається середовище. Подібні явища можуть виникати і зна­чно посилюватися завдяки хвильовим (коливальним) властиво­стям середовища.

Не менш важливу роль відіграють хвилі також у реалізації явищ синергетизму, тобто когерентності окремих елементів, що поєднуються в систему. Хвилі стають своєрідним засобом, за допомогою якого окремі елементи «узгоджують» свою поведін­ку. Інструментом такого «узгодження» стає синхронізація ко­ливань, чи хвильового руху, окремих елементів.

Синхронізація коливань - це встановлення і підтримання такого режиму коливань двох чи декількох сполучених систем, при якому їхні частоти рівні, кратні чи знаходяться в раціона­льному співвідношенні одна з одною. Розрізняють взаємну син­хронізацію коливань сполучених систем, коли кожна із систем діє на інші, і примусову (яку називають також захоплюванням частоти), коли зв'язок між системами такий, що одна з них (синхронізуюча) впливає на іншу (синхронізовану), а зворотний вплив неможливий. У цьому випадку встановлюється коливан­ня з частотою синхронізуючої системи (Физический, 1995).

У «динамічній матрьошці» світобудови всі шари взаємоза­лежні і взаємообумовлені. Частинки утворюють атоми, з яких складаються молекули; молекули є будівельним матеріалом для клітин, з яких складаються люди; люди створюють соціальні об'єднання, що формують людське суспільство...

Немає потреби обґрунтовувати об'єктивний характер перед­умов синхронізації всіх рівнів зазначеної «динамічної матрьош-ки». Будь-який рух людини можливий не інакше, як за допо­могою синхронного переміщення клітин, молекул, атомів, час­тинок, що формують організм даної людини. Відповідно, функ­ціонування будь-яких суспільних структур (підприємств, наці­ональних економік, трансграничних об'єднань) можливе тіль­ки на основі синхронізованої діяльності людей. У даних при­кладах верхній рівень є синхронізуючим, нижні - синхронизо-ваними. Питання в тому, якою мірою верхній рівень сам зазнає впливу ззовні. Зокрема, яку міру свободи людина має в реалі­зації своєї волі і якою мірою сама повинна рахуватися з факто­рами, що привносяться ззовні. До таких факторів можна відне­сти біоритми, добові і сезонні зміни погоди, інші циклічні ко­ливання, джерела яких - явища космічного характеру.

130

Хвильові зміни системи стосуються відразу кількох момен­тів: по-перше, теоретичні закономірності хвильового руху у фі­зичних середовищах (у числі основоположників хвильової теорії можна назвати С. Рассела, Дж. Максвелла, А. Пуанкаре, М. Планка, Л. де Бройля, А. Енштейна, Е. Шредінгера та ін.); по-друге, циклічність явищ природи (починаючи від молекуля­рно-клітинного рівня і закінчуючи рівнем мегакосмічних об'єк­тів); по-третє, вплив космічних явищ на природу Землі (у числі основоположників дослідження даного аспекту - О.Л, Чижев-ський, В.І. Вернадський, Л.М. Гумільов); по-четверте, ритміч­ний хвильовий характер подій, що відбуваються в людському суспільстві (серед класиків дослідження даного явища не мож­на не назвати М.Д. Кондратьєва).

Уже сам хвильовий характер змін системи визначає нелі-нійність залежності її стану від факторів зовнішнього середови­ща і внутрішніх параметрів системи. Ця нелінійність посилю­ється в міру віддалення параметрів системи від значень, що від­повідають стаціонарному стану.

Трансформація стану системи. Стани, у яких може перебу­вати система, умовно можна розділити на три види:

• стаціонарний стан (стан спокою); такий стан відповідає стій­кому підтриманню рівня гомеостазу;

• стан порушення (турбулентності); стаціонарність стану сис­теми порушується, і вона починає «шукати» новий рівень гомеостазу, що відповідає її новим енергетичним можливос­тям; імпульс збудження може приходити в систему ззовні чи зароджуватися всередині неї;

• стан рефрактерності (або стан заспокоєння); вийшовши на новий рівень гомеостазу, система поступово повертається до стану стаціонарності.

Описаний вище стан порушення системи характеризується тим, що система виходить зі стаціонарного стану і стрибкоподі­бно змінює значення своїх параметрів. Цей стан має ряд особли­востей. Серед основних можна виділити такі:

а) система переживає кризу (тобто різкий злам, важкий стан), за якої порушуються існуючі зв'язки між елементами сис­теми;

б) виникає багатоваріантність продовження стану системи (народження нового покоління біологічних особин; заміна продукції, що випускається на виробничому підприємстві,

131

вибори нового парламенту чи кабінету міністрів у країні, конкурсний характер використання коштів у НДІ, зміна поколінь у спортивній команді, ін.); нестійкість кризового стану системи в поєднанні з множинністю потенційно мож­ливих (віртуальних) варіантів продовження обумовлює імо­вірність різкої стрибкоподібної зміни траєкторії розвитку системи; в) створюються передумови необоротності розвитку системи; система не в змозі повною мірою повернутися до старого ста­ну (нове покоління біологічного виду не може зникнути без­слідно, воно займає простір і потребує їжі; підприємство де­монтувало стару технологічну лінію, тому що попит на ста­ру продукцію впав; новий склад парламенту на законних підставах не відмовиться від своїх повноважень на користь старого; витрачені на новий проект гроші вже не можуть бути повернуті для виконання старого проекту; старим гра­вцям команди не повернути молодість).

З математичної точки зору згаданий вище стан турбулент­ності системи описується нелінійними функціями, що мають при деяких характеристиках параметрів екстремальні значен­ня. Іншою особливістю, що має бути охарактеризована матема­тичним апаратом, є багатоваріантність поведінки функції. Це означає, що при тому самому значенні аргументу може бути кілька значень функції або що одному значенню функції може відповідати кілька значень (коренів) аргументу. Ще у XVIII-XIX століттях принципи варіантності були досліджені в мате­матиці й фізиці Мопертьюном, Гауссом, Ейлером. В другій по­ловині XX століття розрізнені дослідження феномену неліній-ності були систематизовані французьким математиком-тополо-гом Р. Томом у теорії катастроф.

Розробляючи свою, сьогодні всесвітньо відому теорію, Р. Том ставив перед собою мету створення універсального варіанта ма­тематичної теорії динамічних (еволюціонуючих) систем. Вона повинна була обслуговувати досить далекі від математики сфе­ри знань (біологію, медицину, інженерні й економічні розраху­нки, ін.), що традиційно вважалися менш точними (скажімо, ніж фізика і хімія) з погляду визначеності результуючих ефек­тів. Основна ідея Р. Тома полягала в тому, щоб застосувати те­орію динамічних систем для аналізу як структурно-стійких ста­нів системи (несприйнятливих до незначних збурювань, тобто

132

змін параметрів системи), так і різких (стрибкоподібних, розри­вних) змін у системі при плавній зміні її параметрів. Саме по­дібні якісні трансформації системи прийнято називати катаст­рофами.

Подробиці _________________________________________________

Подія, якою звичайно датується народження теорії катастроф, є публікація в 1972 році в Нью-Йорку книги Р. Тома «Структурна стійкість і морфогенез». («Морфогенез» походить від грец. morphe — вид, форма і genesis - похо­дження, виникнення; даний термін означає формоутворення, тобто виник­нення нових форм і структур).

Свою теорію Р. Том будував не на порожньому місці. Вже Існувапа теорія стійкості динамічних систем О.М. Ляпунова і теорія особливостей X. Уїтні. Вони узагальнювали відомі в класичному математичному аналізі до­слідження на екстремум. У свою чергу, останні спиралися на створені І. Ньютоном і Г.В. Лейбніцем диференціальні та інтегральні числення.

Сам Р. Том віддає пріоритет у винаході терміна «теорія катастроф» ан­глійському математику К. Зіману. Саме К. Зіману він присвятив свою моно­графію «Теорія катастроф та її додатки», переклад якої здійснено видавниц­твом «Мир» (1980). У присвяті, зокрема, сказано: «Кристоферу Зіману, біля ніг якого ми сидимо, і на плечах якого ми стоїмо».

Значні результати в дослідженні явищ біфуркації належать російському математику В.І. Арнопьду. Зокрема, ним доведені деякі теореми теорії ка­тастроф, з якими можна ознайомитися в опублікованій видавництвом «Нау­ка» (1990) книзі В.І. Арнольда «Теорія катастроф» (Чалий, 2000).

Для опису поведінки системи в процесах біфуркаційних транс­формацій створений значний теоретичний багаж, включаючи складний математичний апарат. Не наводимо його тут з двох причин. По-перше, тому, що більш-менш повний виклад навіть ілюстраційного прикладу матиме значний обсяг і при цьому на­вряд чи зможе розкрити глибинний зміст явищ (для математиків цей матеріал залишиться усього лише "знайомими формулами, для нематематиків його буде недостатньо, щоб зрозуміти систем­ну сутність явища). По-друге (і це головне), існують роботи, де на професійному рівні докладно і системно дається математична інтерпретація розглянутих питань. Зокрема, кожний, хто ціка­виться зазначеними аспектами, може звернутися до книг В.-Б, Занга (Занг, 1999) і О.В. Чалого (Чалий, 2000).

Багатофакторний характер зміни стану системи. Складність математичного апарату має бути адекватною описуваним ним процесам. їх коло нескінченно широке: від впливу сили

133

(чи системи сил) на матеріальну точку (зокрема, її швидкість може визначатися рівнянням з одним невідомим чи системою рівнянь з кількома невідомими) до найскладніших явищ у сис­темах, де усе пов'язано з усім. Настрій людини залежить від стану її здоров'я, а здоров'я - від настрою. Ціни впливають на попит, а попит впливає на рівень цін. Це лише два приклади. Але і вони достатньо характеризують багатофакторність проце­сів, що відбуваються в таких складних системах, як людина й економіка. Наприклад, надзвичайно складно навіть формалізу­вати такі явища, як настрій людини чи її здоров'я, не кажучи вже про їх кількісні оцінки. Подібні проблеми виникають при моделюванні вихідних процесів, що визначають рівень попиту чи цін на товари.

Однак у наведених прикладах проблема не обмежується кіль­кісною оцінкою факторів впливу. Важливо не тільки те, що існує безліч причин, які впливають на стан системи, але і те, що при­чини постійно міняються місцями з наслідками. Це означає, що в математичних моделях, покликаних описати зазначені проце­си, аргументи повинні мінятися місцями з функціями.

Незважаючи на зазначені проблеми, математичний апарат дозволяє вирішувати значну кількість практичних завдань у техніці, біології, медицині, економіці. Причому часто матема­тичні моделі надійно працюють не тільки в ситуаціях адапта­ційної поведінки системи, але й у біфуркаційних режимах, що характеризуються нелінійними залежностями стану системи від факторів впливу.

Успіх приходить там, де вміють, по-перше, грамотно сформу­лювати завдання математичного апарату, по-друге, правильно окреслити його можливості, по-третє, поєднати математичний інструментарій з іншими засобами моніторингу стану систем (тех­нічними, фізичними, хімічними, біологічними). Зокрема, безглу­здо очікувати від математичного апарату точного моделювання стану складних систем. Однак можна і потрібно використовувати його для вирішення окремих завдань: розрахунку меж фазових переходів, визначення меж стійкості чи нестійкості, моделюван­ня поведінки окремих параметрів, ін. Використання емпіричних даних чи інших згаданих засобів контролю дозволяє вводити коректувальні виправлення (наприклад, піднімаючи або зменшу­ючи рівень одержуваних даних), зберігаючи при цьому загаль­ний контур розподілу параметрів стану системи.

134

Примітка

Подібним чином, зокрема, можуть бути скоректовані розрахункові зони розсіювання шкідливих речовин в атмосфері за кількома фактичними виміра­ми концентрації в контрольних точках.

Основні поняття, пов'язані з явищами трансформації сис­тем. Можна виділити кілька ключових понять, що характери­зують явища трансформації систем і дозволяють глибше зрозу­міти природу самих трансформаційних процесів.

Стійкий характер стану системи спостерігається в тому випадку, коли значення параметрів системи несуттєво реагують (змінюються) у відповідь на зміну характеристик зовнішнього середовища. Це відбувається в тому випадку, якщо системі за допомогою механізмів негативного зворотного зв'язку вдається утримувати незмінний рівень гомеостазу.

Ті зміни, що відбуваються в системі при стійкому стані, як правило, описуються лінійними залежностями параметрів сис­теми між собою і факторами зовнішнього середовища (строго кажучи, зазначені залежності наближені до лінійних співвідно­шень). А сама динамічна система в такому стані називається стійкою лінійною системою.

Подробиці _________________________________________________

Властивості лінійних систем не залежать від процесів, що відбуваються в них. Лінійні системи мають також інші відмітні властивості. У числі найважливіших з них варто назвати: а) оборотність стану (найважливіших параметрів); б) безперервність (нерозривність) характеристик зміни найважливіших пара­метрів; в) відносну детермінованість (визначеність) змін у системі (вони ма­ють передбачуваний характер, тобто підкоряються фіксованим закономір­ностям); г) динамічна рівноважність; д) відносна симетричність взаємодії вну­трішніх І зовнішніх факторів (результат дії механізмів негативного зворотно­го зв'язку); є) незалежність значень ключових параметрів системи від часу і/чи простору; ж) відповідність суперпозиційному принципу. Останнє озна­чає, що результуючий ефект складного процесу впливу являє собою суму ефектів, що були викликані кожним впливом окремо за умови, що ці впливи не діють один на одного.

Хитливий характер стану системи спостерігається в тому випадку, якщо значення параметрів системи істотно змінюють­ся у відповідь на зміну характеристик зовнішнього середовища. Це відбувається в тому випадку, якщо система за допомогою

135

механізмів позитивного зворотного зв'язку трансформує рівень свого гомеостазу (адаптаційна трансформація) або змінює свій стан шляхом біфуркаційної трансформації (з утворенням двох чи кількох нових станів системи).

Зміни, що відбуваються в системі при її хитливому стані, описуються нелінійними залежностями параметрів системи між собою і з факторами зовнішнього середовища. Динамічна систе­ма в такому стані називається хитливою нелінійною системою.

Подробиці _________________________________________________

Властивості нелінійних систем залежать від процесів, що відбуваються в них. Основні властивості нелінійних систем можна сформулювати так: а) необо­ротність стану (найважливіших параметрів); Самуельсон якось зауважила: «Іспанія не могла б залишатися колишньою після Колумба...» (Занг, 1999); б) переривчастість характеристик зміни найважливіших параметрів; в) неви­значеність поведінки системи (розвиток того чи іншого сценарію часто може залежати від випадкової незначної події); г) динамічна нерівноважність; д) несиметричність взаємодії внутрішніх і зовнішніх факторів (результат ме­ханізмів позитивного зворотного зв'язку); є) змінюваність ключових параме­трів системи залежно від часу і/чи простору; ж) невідповідність суперпози-ційному принципу (див. подробиці до «Стійкого характеру стану системи»).

До сказаного варто додати, що системи можуть бути стійкі, хитливі й асимптотично стійкі залежно від поведінки їхніх па­раметрів. Доцільно зупинитися на деяких важливих поняттях, які характеризують трансформаційні процеси системи.

Фазовий перехід (фазове перетворення, фазова трансформа­ція) - у широкому розумінні перехід (трансформація) від стану з одним гомеостазом до стану з іншим гомеостазом (іншими го­меостазами - при біфуркаціиних трансформаціях); у вузькому значенні - стрибкоподібна зміна властивостей системи при бе­зупинній зміні зовнішніх факторів.

Примітка

Цікаво ознайомитися з деякими можливими властивостями (принципами), фазових переходів («переходів до гарного стану»), сформульованих В.І. Ар-нольдом: 1. «Принцип хитливості гарного (стійкого)»: системи, що знаходяться на межі стійкості, з більшою імовірністю переходять у хитливий стан. В Іншій інтер­претації це називається правилом Мерфі: «Якщо щось неприємне може статися, то воно обов'язково станеться», або «усе погане приходить саме собою, усе гарне потрібно готувати». Теоретичною основою даного прин-

136

ципу є другий початок термодинаміки, який обумовлює той факт, що імовірність безладдя завжди вище імовірності порядку.

2. «Принцип погіршення на шляху до кращого»: у процесі послідовної еволюції системи до кращого стійкого стану з поганого хитливого стану відбувається погіршення, до того ж на початковій стадії процесу перехо­ду до кращого стану швидкість погіршення може зростати. Максимум протидії на шляху до кращого реалізується до досягнення найгіршого стану. Далі в цьому найгіршому стані протидія зменшується і може ціл­ком зникнути при наближенні системи до найкращого стану.

3. «Принцип стрибкоподібного поліпшення»: якщо система стрибком, а не в процесі послідовної еволюції, переборює найгірший стан і опиняється поблизу гарного, то далі вона мимовільно рухається в напрямку до цьо­го гарного стану.

4. «Принцип еволюції до катастрофи»: зневажання основними законами

природи і суспільства, що спираються на ефекти зворотного зв'язку (у суспільному житті і політиці - це, насамперед, особиста відповідальність за прийняті рішення), веде до катастрофи (Чапий, 2000).

Фрактал - це система, що має масштабну інваріантність, тобто розгалужену можливість продовження своїх станів (свого розвитку), і здатна, таким чином, реалізувати біфуркаційний тип трансформації.

Точка біфуркації - це така критична точка, після якої по­чинаються біфуркаційні трансформації системи. З математич­ної точки зору, точкою біфуркації можна вважати таку точку (значення параметра), через яку проходять дві чи більше об­ласті розв'язання рівняння, що описує можливі стани системи.

Траєкторія еволюції системи - геометричне чи уявне зо­браження послідовної зміни з часом фактичних чи можливих (віртуальних) значень (положення в просторі) динамічних пере­мінних (фазових координат).

Фазовий портрет - еволюція в часі послідовних станів си­стеми у вигляді зображення траєкторії її динамічних змінних у фазовому просторі. У свою чергу, фазовий простір - це множи­на можливих значень параметрів системи.