Измеренных величин.
В практике геодезических измерений определяемые величины обычно являются функциями других, непосредственно измеряемых величин. Рассмотрим функцию u независимых переменных x, y, z, …
u = f (x,y,z…). (5.5)
Продифференцируем функцию (5.5) по всем переменным и заменим дифференциалы du, dx, dy, dz, …. погрешностями D u, D x,D y,D z, ….
Получили выражение случайной погрешности D u в зависимости от случайной комбинации погрешностей D x,D y,D z, …. Положим, что имеем n таких комбинаций, которым соответствует n выражений:
(i = 1, 2, …, n)
Возведем полученные выражения в квадрат, сложим и разделим на n:
,
где квадратными скобками обозначены суммы.
Устремим число комбинаций в бесконечность (n ® ¥) и, воспользовавшись выражениями (5.4) и (5.3), получим: 
, 
, 
, 
, 
. И окончательно
(5.6)
Итак, квадрат средней квадратической погрешности функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждой переменной, умноженных на их средние квадратические погрешности.
Частные случаи.
1. Функция u является суммой переменных x, y, z:
u = x + y + z.
В этом случае 
=1, 
=1, 
=1. Следовательно
= 
+ 
+ 
.
2. Функция u является разностью переменных x и y:
u = x - y.
В этом случае 
=1, 
=-1. Следовательно
= + .
3. Функция u имеет вид:
u = k× x,
где k – постоянный множитель. Теперь = k, поэтому 
= k 2× 
и
mu = k× mx.
4. Функция u является линейной функцией от x, y, z, …:
u = k 1 x + k 2 y + k 3 z …,
где ki постоянные множители. Теперь частные производные равны 
= k 1, = k 2, 
= k 3. Поэтому
.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Определить среднюю квадратическую погрешность превышения, вычисленного по горизонтальному расстоянию d =124,16 м и углу наклона n=2°16´, если md = 0,06 м, а m n = 1´.
Превышение вычисляют по формуле
h = d tgν.
Продифференцируем формулу по переменным d и n:
, 
.
Используя формулу общего вида (5.6) получим
Подставляя исходные данные, найдем
где 3438¢ - число минут в радиане. И окончательно mh =0,036.м.
Пример 2. При геометрическом нивелировании (см. раздел 9.2) превышение вычисляют как разность отчетов по рейкам
h = a - b.
Отчеты берут с точностью ma = mb = 2 мм. Находим среднюю квадратическую погрешность превышения
= 2,8 мм
Пример 3. Выведем формулу допустимой угловой невязки замкнутого теодолитного хода (см. раздел 9.4). Невязку вычисляют по формуле
f b= b1+ b2+ ¼+ b n -180°(n -2),
где b i – измеренные углы (i = 1, 2, ¼, n) и n – их число.
Невязка - результат погрешностей в углах b i. Поэтому средняя квадратическая погрешность невязки равна
mf = 
= 
,
где m 1 = m 2 =¼ = mn = m – средняя квадратическая погрешность измерения угла. Примем ее равной m = 0,5¢.
Допуском угловой невязки (f b)доп служит предельная погрешность (f b)пред=2 mf. Получаем формулу
(f b)доп = 1¢ 
.
Математическая обработка результатов прямых
Равноточных измерений
Арифметическая средина результатов равноточных измерений. Пусть имеем результаты многократных равноточных измерений одной величины: l 1, l 2, …, ln. Рассмотрим их среднее арифметическое
. (5.7)
Из (5.1) следует li= Х + Δ i (i = 1, 2, … n). Поэтому напишем
= X - 
.
Согласно (5.2) с увеличением числа измерений сумма случайных погрешностей, деленная на их число, стремится к нулю, и, следовательно, среднее арифметическое L стремится к истинному значению Х. Поэтому значение определяемой величины принимают равным среднему арифметическому.
Средняя квадратическая погрешность арифметической средины. Пусть точность результатов измерений l 1, l 2, …, ln характеризуется средними квадратическими погрешностями
m 1 = m 2 = ¼ = mn = m
и требуется найти среднюю квадратическую погрешность M арифметической средины.
Представим формулу (5.7) в следующем виде:
L = 
.
Среднюю квадратическую погрешность арифметической средины найдем как погрешность функции измеренных величин по формуле (5.6)
или 
(5.8)
Формула (5.8) показывает, что погрешность арифметической средины с ростом числа измерений убывает пропорционально квадратному корню из этого числа. Так, чтобы погрешность среднего арифметического уменьшить в 2 раза, число измерений надо увеличить в 4 раза.
Обработка результатов равноточных измерений. Математическая обработка ряда результатов l1, l2, …, ln прямых равноточных измерений одной величины выполняется в следующей последовательности:
1. Вычисляют среднее арифметическое L
.
2. Вычисляют поправки к v i результатам измерений
(i = 1, 2, …, n)
Контролем правильности вычислений служит сумма поправок, которая должна быть близка к нулю.
3. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного измерения по формуле Бесселя:
.
Значение m вычисляют с двумя-тремя значащими цифрами.
4. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического
.
