К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы. 1. Какие уравнения называются

1. Какие уравнения называются

а) параметрическими уравнениями прямой;

б) каноническими уравнениями прямой?

2. Каков геометрический смысл коэффициентов

а) параметрических уравнений прямой;

б) канонических уравнений прямой?

3. Сколько существует для заданной прямой

а) параметрических уравнений;

б) канонических уравнений?

4. Запишите векторно-параметрические уравнения прямой.

5. Пусть прямая задана в виде пересечения двух плоскостей: и . Выпишите какой–либо направляющий вектор этой прямой.

6. Пусть прямая задана в виде пересечения двух плоскостей. Как перейти для этой прямой к

а) параметрическим уравнениям;

б) каноническим уравнениям?

7. Найдите угол между прямыми и

(Рассмотрите различные сочетания способов задания двух прямых).

8. Найдите угол между прямой и плоскостью (рассмотрите различные сочетания способов задания прямой и плоскости).

9. Вычислите расстояние от точки М ₀(x ₀; y ₀;z₀) до прямой

а) x = x ₀+ lt, y = y ₀+ mt, z=z₀+nt;

б) ;

в)

10. Запишите условия, при которых две заданные прямые

а) совпадают;

б) параллельны различны;

в) пересекаются;

г) скрещиваются

(Рассмотрите различные сочетания способов задания прямых).

11. Пусть прямые x = x ₁+ l₁t, y = y ₁+ m₁t, z=z₁+n₁t и x = x ₂+ l₂t, y = y ₂+ m₂t, z=z₁+n₁t скрещиваются.

а) Как вычислить расстояние между этими прямыми?

б) Опишите алгоритм нахождения общего перпендикуляра к этим прямым.

12. Пусть заданы прямая x = x ₀+ lt, y = y ₀+ mt, z=z₀+nt и плоскость Запишите условия, при которых

а) прямая лежит в плоскости;

б) прямая параллельна плоскости;

в) прямая пересекает плоскость;

г) прямая перпендикулярна плоскости.

(Рассмотрите такую задачу для других способов задания прямой и плоскости).

Примеры:

1. Запишите параметрические уравнения прямой, заданной в виде пересечения плоскостей

Р е ш е н и е: Вектор перепендикулярен плоскости (1), вектор перпендикулярен плоскости (2). Следовательно, вектор будет направляющим для данной прямой.Можно взять в качестве направляющего и вектор . Выбираем какое-либо частное решение исходной системы, например, (2;0;1), получаем точку на данной прямой. Таким образом, по точке М₀ (2;0;1) и направляющему вектору записываем (рис.5)

О т в е т:

2.Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку М₀(1;4;2) перпендикулярно плоскости 2х–5у–z–7=0.

Р е ш е н и е: Вектор перпендикулярен заданной плоскости и, следовательно, параллелен искомой прямой. Поэтому, например, каноническими уравнениями этой прямой будут уравнения

О т в е т: (рис.6).

3. Докажите, что прямые и скрещиваются.

Р е ш е н и е: Случай скрещивания двух прямых можно установить, проанализировав взаимное расположение направляющих векторов и вектора-мостика . Только в случае скрещивания прямых эти три вектора некомпланарны. Итак, выпишем направляющие векторы этих прямых , . Найдем какой-либо вектор-мостик прямых: , , отсюда . Векторы , некомпланарны, как известно, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение не равно нулю. В данном случае, . Таким образом, утверждение доказано (рис.7,8,9,10).

4. Запишите уравнения прямой, проходящей через точку и параллельной прямой

Р е ш е н и е: Любая прямая, параллельная данной, может быть за-

дана системой

Подберем таким образом, чтобы точка М ₀удовлетворяла

системе (*): , Получим

О т в е т: (рис.11).

5. Найдите угол между прямой и плоскостью

Р е ш е н и е: Направляющий вектор прямой– , нормальный вектор плоскости– . Поэтому

Тогда (а как записывался бы ответ в случае, если бы получили, что ?)

О т в е т: .(рис.12).

7. Вычислите расстояние от точки М ₀(1;2;–3) до прямой .

Р е ш е н и е:

1) Способ первый.

Через точку М ₀ проведем плоскость,

перпендикулярную данной прямой: .

Затем найдем точку пересечения этой плоскости с заданной прямой. Для этого решим систему

Отсюда . Поэтому решением рассматриваемой системы будет точка . Расстояние между точками M ₀, N ₀ и будет искомым: (лин. ед.).(см.рис.13).

2)Способ второй

Эту задачу можно решить векторным способом. Возьмем какие-либо точку и направляющий вектор на заданной прямой, например, М ₁(4;1;2), Затем построим параллелограмм на векторах . Очевидно, длина высоты h этого параллелограмма и будет искомым расстоянием (рис.14):

где , а (см. тему «Векторное умножение векторов»).

, поэтому .

Но тогда (лин. ед.).

О т в е т: (лин. ед.).

“ПРЯМАЯ
по теме В ПРОСТРАНСТВЕ”

1. Дана прямая х=1-3t, y=2t, z=5+t.

1) Укажите какой-либо направляющий вектор этой прямой.

2).Лежит ли точка на этой прямой?

3) Запишите какие-либо канонические уравнения заданной прямой.

4) Запишите какие-либо параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А(3;1;5) параллельно заданной

прямой.

5) Лежит ли данная прямая в плоскости x+y+z-6=0?

6) Будет ли прямая x=2t, y=1+t, z=5-t скрещиваться с данной прямой?

7) Вычислите косинус угла между заданной прямой и прямой x=5-t, y=4+3t, z=6+2t.

8) Вычислите расстояние от точки С(1;0;0) до заданной прямой.

9) Напишите какое-либо общее уравнение плоскости, проходящей через точку

перпендикулярно заданной прямой.

2. Дана прямая

1) Укажите какой-либо направляющий вектор этой прямой.

2) Лежит ли точка на этой прямой?

3) Запишите какие-либо канонические уравнения этой прямой.

4) Вычислите косинус угла между плоскостью 2x+y+3z+7=0 и заданной прямой.

3. Для прямой

1) укажите какой-либо направляющий вектор;

2) запишите какие-либо ее параметрические уравнения;

3) выясните, будет ли она совпадать с прямой

4. Запишите какие-либо канонические уравнения прямой, проходящей через точки и .

5. Запишите какие-либо канонические уравнения прямой, проходящей через точку А(2;1;3) параллельно оси Ох.

6. Запишите какие-либо параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А(3;0;-2)

перпендикулярно плоскости 4x-2y+z-25=0.

7. Запишите прямую в виде пересечения двух плоскостей,.одна из которых параллельна оси Ox, другая-оси Oy.

Лабораторная работа №6.

Вариант 1

1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

2. Вычислите координаты точки, симметричной точке относительно прямой

3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой на плоскость .

4. Известны координаты вершин треугольника ABC: , , . Запишите уравнение высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.

5. При каких значениях параметров l и D прямая , , лежит в плоскости ?

6. Даны две пересекающиеся плоскости: и , , . Выясните, лежат ли точки и в вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении данных плоскостей.

Вариант 2

1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .

2. Вычислите координаты точки, симметричной точке относительно плоскости , , .

3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой , , на плоскость .

4. Напишите уравнение перпендикуляра, проведенного через точку к прямой , , .

5. При каком значении параметра m прямые , , и пересекаются?

6. Даны две параллельные плоскости: и . Установите, лежит ли точка между этими плоскостями?

Вариант 3

1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через прямые , , и .

2. Вычислите координаты точки, симметричной точке относительно прямой

3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой , , на плоскость , , .

4. Известны координаты вершин треугольника ABC: , , . Запишите уравнение высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.

5. При каких значениях параметров l и с прямая , , перпендикулярна плоскости ?

6. Две грани куба лежат на плоскостях , . Выясните, может ли точка располагаться внутри такого куба?

Вариант 4

1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через прямые и , , .

2. Вычислите координаты точки, симметричной точке относительно плоскости , , .

3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой на плоскость .

4. Напишите уравнение перпендикуляра, проведенного через точку к прямой , , .

5. При каком значении параметра с плоскости и перпендикулярны?

6. Даны две пересекающиеся плоскости: и . Выясните, лежат ли точки и в смежных двугранных углах, образованных этими плоскостями?

Вариант 5

1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через прямую , , параллельно прямой .

2. Вычислите координаты точки, симметричной точке относительно прямой

3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проек цией прямой , , на плоскость , , .

4. Известны координаты вершин треугольника ABC: , , . Запишите уравнение высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.

5. При каких значениях параметров a и n прямая , , не пересекает плоскость .

6. Даны две параллельные плоскости: и . Выясните, расположена ли точка между этими плоскостями?

Вариант 6

1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки , и .

2. Вычислите координаты точки, симметричной точке относительно плоскости , , .

3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой на плоскость .

4. Напишите уравнения перпендикуляра, проведенного через точку к прямой , , .

5. При каких значениях параметров D и m прямая лежит в плоскости ?

6. Две грани куба лежат на плоскостях и . Выясните, может ли точка располагаться внутри такого куба?

Вариант 7

1. Напишите общее уравнение плоскости, содержащей точку и прямую .

2. Вычислите координаты точки, симметричной точке относительно прямой

3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой , , на плоскость , , .

4. Известны координаты вершин треугольника ABC: , , . Запишите уравнения высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.

5. При каком значении параметра l прямые , , и , , пересекаются?

6. Даны две пересекающиеся плоскости: и . Выясните, лежат ли точки и в одном двугранном угле, образованном этими плоскостями?

Вариант 8

1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через прямые и , , .

2. Вычислите координаты точки, симметричной точке относительно плоскости , , .

3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой на плоскость .

4. Напишите уравнения перпендикуляра, проведенного через точку к прямой , , .

5. При каких значениях параметров B и n прямая , , перпендикулярна плоскости ?

6. Даны две параллельные плоскости: и . Выясните, располагается ли точка между этими плоскостями?

Вариант 9

1. Напишите общее уравнение плоскости, содержащей прямые , , и .

2. Вычислите координаты точки, симметричной точке относительно прямой

3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой , , на плоскость .

4. Известны вершины треугольника ABC: , , . Запишите уравнения высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.

5. При каком значении параметра А плоскости и , , параллельны?

6. Две грани куба лежат на плоскостях и . Выясните, может ли точка располагаться внутри такого куба?

Вариант 10

1. Напишите общее уравнение плоскости, содержащей прямую , , и параллельной прямой .

2. Вычислите координаты точки, симметричной точке относительно плоскости , , .

3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой на плоскость .

4. Напишите уравнения перпендикуляра, проведенного через точку к прямой , , .

5. При каких значениях параметров l и a прямая , , не пересекает плоскость ?

6. Даны две пересекающиеся плоскости: и . Выясните, лежат ли точки и в вертикальных двугранных углах, образованных этими плоскостями?

Вариант 11

1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

2. Вычислите координаты точки, симметричной точке относительно прямой .

3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой , , на плоскость , , .

4. Известны координаты вершин треугольника ABC: , , . Запишите уравнения высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.

5. При каких значениях параметров A и m прямая , , лежит в плоскости ?

6. Даны две параллельные плоскости: и . Выясните, лежит ли точка между этими плоскостями?

Вариант 12

1. Напишите общее уравнение плоскости, содержащей точку и прямую .

2. Вычислите координаты точки, симметричной точке относительно плоскости , , .

3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой на плоскость .

4. Напишите уравнения перпендикуляра, проведенного через точку к прямой , , .

5. При каком значении параметра n прямые , , и , , пересекаются?

6. Две грани куба лежат на плоскостях , . Выясните, может ли точка располагаться внутри такого куба?

Вариант 13

1. Напишите общее уравнение плоскости, содержащей прямые и , , .

2. Вычислите координаты точки, симметричной точке относительно прямой .

3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой , , на плоскость , , .

4. Известны координаты вершин треугольника ABC: , , . Запишите уравнения высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.

5. При каких значениях параметров С и m прямая , , перпендикулярна плоскости ?

6. Даны две пересекающиеся плоскости: и . Выясните, лежат ли точки и в смежных двугранных углах, образованных этими плоскостями?

Вариант 14

1. Напишите общее уравнение плоскости, содержащей прямые и , , .

2. Вычислите координаты точки, симметричной точке относительно плоскости , , .

3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой на плоскость .

4. Напишите уравнения перпендикуляра, проведенного через точку к прямой , , .

5. При каком значении параметра В плоскости и перпендикулярны?

6. Даны две параллельные плоскости: и . Выясните, лежит ли точка между этими плоскостями?

Вариант 15

1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через прямую , , параллельно прямой .

2. Вычислите координаты точки, симметричной точке относительно прямой .

3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой , , на плоскость , , .

4. Известны координаты вершин треугольника ABC: , , . Запишите уравнения высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.

5. При каких значениях параметров С и А прямая , , не пересекает плоскость ?

6. Две грани куба лежат на плоскостях , . Выясните, может ли точка располагаться внутри такого куба?