1. Какое уравнение называется
а) общим уравнением плоскости;
б) уравнением плоскости в отрезках?
2. Какие уравнения называются параметрическими уравнениями плоскости?
3. Каков геометрический смысл коэффициентов каждого из перечисленных в пунктах 1-2 уравнений прямой?
4. Какое уравнение называется
а) векторным уравнением плоскости;
б) векторно-параметрическим уравнением плоскости?
5. Любую ли плоскость можно задать
а) общим уравнением;
б) уравнением в отрезках;
в) параметрическими уравнениями?;
6. Сколько существует для заданной плоскости
а) общих уравнений;
б) уравнений в отрезках;
в) параметрических уравнений?
7. Пусть плоскость задана одним из уравнений, перечисленных в пунктах 1-2. Как перейти для этой плоскости к другим из этих уравнений?
8. Как установить, лежит ли заданная точка М 0(х0;y0;z0) на заданной плоскости (рассмотрите различные способы задания плоскости)?
9. Найдите угол между плоскостями:
а) A 1 x + B 1 y + C 1 Z+D 1=0 и A 2x+ B 2y+ C 2 Z+D 2=0;
б) Ax + By + C Z+D =0 и x = x 0+ lu+ 
, y = y 0+ mu+ 
; z=z0+nu+ 
в) 
и x = x 0+ lu+ , y = y 0+ mu+ , z=z0+nu+ .
10. Запишите условия
а) совпадения двух плоскостей;
б) параллельности двух плоскостей;
в) пересечения двух плоскостей;
г) перпендикулярности двух плоскостей.
(Рассмотрите различные сочетания способов задания двух плоскостей).
11. Как вычислить расстояние от точки М 0(х0;y0;z0) до заданной плоскости (рассмотрите различные способы задания плоскости с помощью уравнений из пунктов 1–2)?
12. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты уравнения плоскости, которая
а) параллельна координатной плоскости 0xz
б) параллельна оси ординат;
в) проходит через начало координат?
13. Пусть плоскость задается уравнением Ax + By + Cz+D =0. Запишите условие принадлежности двух точек М 1(х1;y1;z1), М 2(х2;y2;z2) одному полупространству, определяемому этой плоскостью.
| Примеры: |
1. Запишите общее уравнение плоскости, содержащей точки М 1(1;2;3), М 2(0;4;1), М 3(3;1;1)
Р е ш е н и е: Векторы 
, 
являются направляющими для данной плоскости. Значит, точка М(х;у;z) принадлежит искомой плоскости тогда и только тогда, когда векторы 
, 
, 
компланарны, что эквивалентно тому, что
их смешанное произведение равно нулю, т. е. 
. Отсюда получаем 
или 
(рис.3).
О т в е т:
2. Запишите параметрические уравнения плоскости, содержащей точки 
.
Р е ш е н и е: При таком способе задания плоскости сразу записывается ответ в виде параметрических уравнений: берем в качестве начальной точки этой плоскости, например, точку 
, в качестве направляющих векторов, например, векторы 
и 
Тогда получим (рис.3).
О т в е т: 
.
3. Запишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М 0(1;–2;3) и отсекает на координатных осях отрезки одинаковой величины.
Р е ш е н и е: Уравнение искомой плоскости удобно здесь находить в виде уравнения в отрезках: . Исходя из геометрического смысла коэффициентов этого уравнения и условия задачи, имеем, что a = b = c. Учитывая, что точка М 0 лежит на этой плоскости, находим а: 
. Таким образом, получим
О т в е т: 
.
4. Запишите общее уравнение плоскости 
, 
, 
.
Р е ш е н и е:: Из геометрического смысла коэффициентов параметри ческих уравнений плоскости получаем, что точка М0(1;2;1) принадлежит этой плоскости, а векторы 
, 
параллельны ей. Но тогда вектор
будет ортогонален этой плоскости. Поэтому общее уравнение этой плоскости можно задать в виде:
. Подставляя в это уравнение координаты точки 
, вычислим 
:
. Отсюда 
. Следовательно,
О т в е т: 
(рис.4).
5. Выясните, которая из координатных плоскостей принадлежит пучку, определяемому плоскостями 
и 
.
Р е ш е н и е: Как известно, уравнение любой плоскости этого пучка может быть записано в виде: 
или 
(**),
где 
и 
одновременно не равны нулю.
Так как любая из координатных плоскостей проходит через начало координат, то должно быть, что 
. Отсюда 
, но тогда из уравнения (**) получаем 
или 
, так как 
.
О т в е т: .
6. Напишите уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы между плоскостями 
и 
.
Р е ш е н и е: Искомые плоскости – множество точек, равноудаленных от заданных плоскостей.
Пусть 
- точка этих искомых плоскостей.
Тогда 
, что эквивалентно
. Раскрывая модуль, получим два линейных уравнения: 1) 
или 
; 2) 
или 
. Эти уравнения и задают искомые плоскости.
О т в е т: и .
по теме “ПЛОСКОСТЬ ”
1. Дана плоскость 
.
1) Укажите какой-либо нормальный вектор этой плоскости.
2) Укажите какой-либо направляющий вектор этой плоскости.
3) Принадлежит ли точка 
заданной плоскости?
4) Найдите величины отрезков, отсекаемых этой плоскостью на координатных осях.
5) Выпишите какие-либо параметрические уравнения заданной плоскости.
6) Вычислите расстояние от точки М(2;0;1) до заданной плоскости.
7) Лежат ли точки 
и 
в одном полупространстве, определяемом заданной плоскостью?
8) Вычислите косинус угла между заданной плоскостью и плоскостью
x+3y+2z-7=0.
2. Вычислите значение параметра D, при котором плоскость
x- 3y+4z+D=0 проходит через точку М(4;1;0).
3. Вычислите значение параметров А и С, при которых плоскости x+5y-7z+1=0 и Аx-10y+Cz-7=0 параллельны
4. Запишите множество, задающее все плоскости, параллельные вектору 
.
5. Дана плоскость x=2-u+3v, y=u+v, z=3-u.
1) Укажите два какие-либо неколлинеарные направляющие векторы этой плоскости.
2) Укажите какой-либо нормальный вектор этой плоскости.
3) Установите, лежит ли на этой плоскости точка М(4;2;2).
4) Запишите какое-либо общее уравнение этой плоскости.
5) Запишите какие-либо параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку 
параллельно заданной плоскости.
6) Запишите для заданной плоскости уравнение в отрезках.
7) Вычислите расстояние от точки 
до заданной плоскости.
8) Вычислите косинус угла между заданной плоскостью и плоскостью
4x+y+3z-1=0.
6. Запишите какие-либо параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку 
параллельно векторам 
и 
.
ПРЯМАЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
