К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы

1. Какое уравнение называется

а) общим уравнением плоскости;

б) уравнением плоскости в отрезках?

2. Какие уравнения называются параметрическими уравнениями плоскости?

3. Каков геометрический смысл коэффициентов каждого из перечисленных в пунктах 1-2 уравнений прямой?

4. Какое уравнение называется

а) векторным уравнением плоскости;

б) векторно-параметрическим уравнением плоскости?

5. Любую ли плоскость можно задать

а) общим уравнением;

б) уравнением в отрезках;

в) параметрическими уравнениями?;

6. Сколько существует для заданной плоскости

а) общих уравнений;

б) уравнений в отрезках;

в) параметрических уравнений?

7. Пусть плоскость задана одним из уравнений, перечисленных в пунктах 1-2. Как перейти для этой плоскости к другим из этих уравнений?

8. Как установить, лежит ли заданная точка М ₀(х₀;y₀;z₀) на заданной плоскости (рассмотрите различные способы задания плоскости)?

9. Найдите угол между плоскостями:

а) A ₁ x + B ₁ y + C ₁ Z+D ₁=0 и A ₂x+ B ₂y+ C ₂ Z+D ₂=0;

б) Ax + By + C Z+D =0 и x = x ₀+ lu+ , y = y ₀+ mu+ ; z=z₀+nu+

в) и x = x ₀+ lu+ , y = y ₀+ mu+ , z=z₀+nu+ .

10. Запишите условия

а) совпадения двух плоскостей;

б) параллельности двух плоскостей;

в) пересечения двух плоскостей;

г) перпендикулярности двух плоскостей.

(Рассмотрите различные сочетания способов задания двух плоскостей).

11. Как вычислить расстояние от точки М ₀(х₀;y₀;z₀) до заданной плоскости (рассмотрите различные способы задания плоскости с помощью уравнений из пунктов 1–2)?

12. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты уравнения плоскости, которая

а) параллельна координатной плоскости 0_xz

б) параллельна оси ординат;

в) проходит через начало координат?

13. Пусть плоскость задается уравнением Ax + By + Cz+D =0. Запишите условие принадлежности двух точек М ₁(х₁;y₁;z₁), М ₂(х₂;y₂;z₂) одному полупространству, определяемому этой плоскостью.

Примеры:

1. Запишите общее уравнение плоскости, содержащей точки М ₁(1;2;3), М ₂(0;4;1), М ₃(3;1;1)

Р е ш е н и е: Векторы , являются направляющими для данной плоскости. Значит, точка М(х;у;z) принадлежит искомой плоскости тогда и только тогда, когда векторы , , компланарны, что эквивалентно тому, что

их смешанное произведение равно нулю, т. е. . Отсюда получаем или (рис.3).

О т в е т:

2. Запишите параметрические уравнения плоскости, содержащей точки .

Р е ш е н и е: При таком способе задания плоскости сразу записывается ответ в виде параметрических уравнений: берем в качестве начальной точки этой плоскости, например, точку , в качестве направляющих векторов, например, векторы и Тогда получим (рис.3).

О т в е т: .

3. Запишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М ₀(1;–2;3) и отсекает на координатных осях отрезки одинаковой величины.

Р е ш е н и е: Уравнение искомой плоскости удобно здесь находить в виде уравнения в отрезках: . Исходя из геометрического смысла коэффициентов этого уравнения и условия задачи, имеем, что a = b = c. Учитывая, что точка М ₀ лежит на этой плоскости, находим а: . Таким образом, получим

О т в е т: .

4. Запишите общее уравнение плоскости , , .

Р е ш е н и е:: Из геометрического смысла коэффициентов параметри ческих уравнений плоскости получаем, что точка М₀(1;2;1) принадлежит этой плоскости, а векторы , параллельны ей. Но тогда вектор

будет ортогонален этой плоскости. Поэтому общее уравнение этой плоскости можно задать в виде:

. Подставляя в это уравнение координаты точки , вычислим :

. Отсюда . Следовательно,

О т в е т: (рис.4).

5. Выясните, которая из координатных плоскостей принадлежит пучку, определяемому плоскостями и .

Р е ш е н и е: Как известно, уравнение любой плоскости этого пучка может быть записано в виде: или (**),

где и одновременно не равны нулю.

Так как любая из координатных плоскостей проходит через начало координат, то должно быть, что . Отсюда , но тогда из уравнения (**) получаем или , так как .