1. За формулою (17) знайти періоди крутильних коливань еталонного та досліджуваного тіла.
2. Вирахувати головні моменти інерції досліджуваного тіла за формулою (16).
3. Написати рівняння еліпсоїда інерції досліджуваного тіла в формі (1З).
4. За формулою (16) знайти моменти інерції досліджуваного тіла відносно вибраних інших центральних осей.
5. Знаючи Ix, Iy, Iz та розміри досліджуваного тіла, за формулою (9) знайти моменти інерції відносно цих же осей і співставити одержані результати.
6. Знайти похибки вимірювань.
Контрольні запитання
1. Фізичний зміст поняття моменту інерції тіла. Роль моментів інерції в техніці.
2. Знаходження моментів інерції окремих тіл правильної форми: стержень, диск, куля, кільце відносно різних осей.
3. Теорема Штейнера-Гюйгенса та її практичне застосування.
4. Еліпсоїд інерції тіла та його геометричний зміст. Динамічна еквівалентність тіл.
Лабораторна робота № 1-9
Балістичний крутильний маятник
л.1. §§ 31,32; 2.§§ 64,65
Мета роботи: вивчення законів динаміки обертового руху на прикладі вимірювання швидкості "снаряда" з допомогою балістичного крутильного маятника.
Прилади і матеріали: балістичний крутильний маятник з вмонтованим мілісекундоміром; досліджувальне тіло-”снаряд”.
Теоретичні відомості
Крутильний маятник у найпростішому варіанті являє собою горизонтальний стержень, підвішений на пружній нитці довжиною l. З допомогою крутильного маятника одержані фундаментальні результати в фізиці, а саме: виміряно гравітаційну сталу (Г.Кавендіш), вивчено закон взаємодії точкових зарядів (Ш.0.Кулон), виміряно тиск світла (П.І.Лебедєв). Крутильний маятник, являючись основним елементом прецезійних вимірювальних приладів, знаходить широке застосування і в сучасній дослідницькій практиці, наприклад, для вимірювання магнітної сприйнятливості, вивчення процесів внутрішнього тертя в твердих тілах і ін.
В даній лабораторній роботі з допомогою балістичного крутильного маятника вимірюється швидкість "снаряда" – тіла масою m, яке вистрілює стиснена пружина.
Схема досліду для визначення швидкості v "снаряда" зображена на рис. 1. Нехай плече імпульсу, тобто віддаль від осі обертання Z (вісь співпадає з ниткою) до лінії, вздовж якої рухається "снаряд", дорівнює r. Попадаючи в мішень, "снаряд" застрягає в пластиліні і рухається разом з мішенню. Таким чином, має місце абсолютно непружний удар. Обертання маятника відносно z описується рівнянням динаміки обертового руху:
(1)
де Lz – проекція моменту імпульсу системи на вертикальну вісь z;
Mz – проекція результуючого моменту сил на цю ж вісь.
До удару і безпосередньо після нього всі діючі сили (тяжіння, реакції) напрямлені вздовж осі z, тому проекція моменту цих сил рівна нулеві. Враховуючи це, з рівняння (1) одержуємо:
(2)
Звідки слідує, що Lz = const.
До удару маятник знаходився в стані спокою, а момент імпульсу "снаряда" був рівний mvr. Після удару маятник разом з "снарядом" обертається з початковою кутовою швидкістю w. Якщо в указаному на рис.1 положенні вантажів М (на віддалі R2 від осі обертання) момент інерції маятника позначити через I2, то момент імпульсу його безпосередньо після удару буде:
(3)
На основі закону збереження моменту імпульсу (2) можемо записати:
(4)
Маючи початковий момент імпульсу L2Z, маятник повертається відносно осі Z, але внаслідок деформації кручення виникають пружні сили, момент яких M(j) залежить від кута повороту маятника j, що приводить до зменшення моменту імпульсу, а також кутової швидкості обертання. У той момент часу, коли кутова швидкість стає рівною нулю, кут повороту досягає максимального значення a, яке піддається безпосередньому вимірюванню. У процесі удару механічна енергія системи не зберігається, бо частина її перетворюється у внутрішню енергію тіл, які стикаються. Але після удару рух відбувається під дією пружних сил, а дисипативними силами, внаслідок малих значень лінійних швидкостей елементів маятника, можемо знехтувати. Тому надалі правомірне застосування закону збереження механічної енергії:
(5)
причому, безпосередньо перед ударом W1П= 0, а при j = a W1К = 0.
Кінетична енергія системи як енергія тіла, що обертається відносно нерухомої осі, визначається за формулою:
(6)
Врахувавши всі ці висновки, закон збереження (5), приводить нас до співвідношення
(7)
де WП(a) – є потенціальна енергія деформації при максимальному відхиленні маятника.
Тепер необхідно цю енергію явно виразити через кут a. При повороті на безмежно малий кут dj силами пружності виконується елементарна робота:
(8)
де знак "мінус" враховує, що момент сили протидіє зростанню кута повороту. Оскільки dWП= – dA, то проінтегрувавши (8), одержуємо:
(9)
Вважаючи, що деформація має пружний характер, згідно з законом Гука запишемо:
(10)
де к – коефіцієнт кручення, що залежить від пружних властивостей нитки, її геометричної форми та розмірів.
Підстановка (10) в (9) дає:
(11)
Таким чином, закон збереження енергії (7) набуває форми:
(12)
Розв'язуючи сумісно рівняння (4) та (12) відносно швидкості v, одержуємо:
(13)
Для доведення співвідношення (10) розглянемо більш детально деформацію кручення нитки, вважаючи що модуль зсуву матеріалу її дорівнює G, а радіус – r0. Виділимо в нижній основі частину кругового кільця радіусом x, товщиною dx з відповідним центральним кутом db (рис.2). Нехай в результаті кручення основа нитки повернулась на кут j, тоді твірна AC повернеться на кут g. При цьому виникне пружна напруга s, тобто дотична сила, що діє на одиницю площі нижньої основи, яка визначається за законом Гука:
З трикутників ОАВ та АВС (рис.2 ) знаходимо:
Враховуючи це, перепишемо закон Гука:
Знаючи механічну напругу s, можемо розрахувати силу, що діє на виділений елемент кільця площиною dS = x × dx × db:
Плече цієї сили дорівнює x, тому момент її дії буде:
Інтегруючи одержаний вираз по x від 0 до r0, а також по b від 0 до 2p, одержуємо:
що співпадає з виразом (10), причому
У співвідношенні (13) величини a, m, r доступні безпосередньому вимірюванню. Але величини k та I2 невідомі. Тому необхідно провести такі два незалежні досліди, з результатів яких ці невідомі можна було б визначити.
Звернемося до аналізу руху маятника під дією моменту пружних сил. Згідно з рівнянням динаміки обертового руху
Підставивши момент сили з (10), одержимо:
Таким чином, крутильний маятник здійснює гармонічні коливання, період яких визначається за формулою:
При віддаленні вантажів M від осі z на величину R2 період крутильних коливань буде:
(15)
а якщо змістити вантажі на віддаль R1, період зміниться і стане рівним
(16)
Використовуючи теорему Штейнера, визначимо моменти інерції маятника в цих випадках:
(17)
(18)
де I¢ – момент інерції важеля відносно осі z,
I0 – момент інерції вантажів відносно вертикальної осі, що проходить через центр їх мас.
Розв'язуючи сумісно систему рівнянь (15-18), знаходимо:
, (19)
, (20)
Підстановка виразів (19) та (20) в (13) приводить до одержання основної розрахункової формули швидкості:
, (21)
Таким чином, знаходження швидкості "снаряду" з допомогою балістичного крутильного маятника зводиться до безпосереднього вимірювання таких величин:
1. Маси вантажів М, маси "снаряду" m та плеча імпульсу "снаряда" r.
2. Максимального кута повороту маятника a після пострілу.
3. Періодів T1 і T2 гармонічних коливань при двох положеннях вантажів M відносно осі R1 і R2.
Порядок виконання роботи
1. Ознайомитись з будовою та принципом дії лабораторної установки. Підготувати її до роботи.
2. Розташувати вантажі M на мінімальній віддалі R2 від осі маятника та виміряти цю віддаль.
3. Встановити маятник так, щоб риска на мішені співпадала з нульовою поділкою кутової шкали.
4. Виконати постріл, виміряти кут a максимального відхилення маятника та віддалі r.
5. Клавішею "Сеть" ввімкнути лічильник часу.
6. Відхилити маятник на деякий кут j, клавішею "Сброс" деблокувати лічильник часу та відпустити маятник.
7. Після здійснення N =10 повних коливань клавішею "Стоп" зупинити відлік та заміряти час t цих коливань.
8. Розташувати вантажі М на максимальній віддалі R1 від осі маятника та заміряти цю віддаль.
9. Повторити вимірювання за пунктами 3 та 4.
10. Кожне з вимірювань за пунктами 3, 4 та 5, 7 виконати 3-5 разів. Результати вимірювань, а також значення мас вантажів M та "снаряда" m занести в таблицю.
Обробка результатів вимірювань
1. Вирахувати періоди T1 і T2 за формулою T = t / N.
2. 
Визначити середні значення T1 і T2 а також абсолютні похибки DT1 і DT2.
3. За робочою формулою (21) вирахувати швидкість "снаряда".
4. Користуючись методом розрахунку похибок непрямих вимірювань, знайти абсолютну та відносну похибки.
Додаткові та дослідницькі завдання
1. Дослідити залежність періоду коливань T від кута відхилення j.
2. Змінюючи віддаль R вантажів від осі маятника, дослідити залежність T від R. Результати зобразити графічно в координатах T2= f (R2).
3. Оцінити модуль зсуву G нитки маятника.
Контрольні запитання
1. Сформулюйте визначення понять моменту імпульсу, моменту сили, моменту інерції.
2. Виведіть рівняння динаміки обертового руху, закон збереження моменту імпульсу.
3. Які закони динаміки використовуються при виведенні робочої формули (21)? Обгрунтуйте їх застосування.
4. Виведіть робочу формулу (21).
5. Запропонуйте незалежний спосіб визначення швидкості “снаряда” в даній роботі.
Лабораторна робота №1-10
Визначення моментів інерції тіл на основі
закону збереження енергії
л.1. §§ 24, 32, 33
Мета роботи: експериментальна перевірка закону збереження енергії в механіці шляхом визначення моментів інерції тіл кочення.
Прилади і матеріали: установка для визначення моментів інерції тіл; набір тіл кочення; терези; штангенциркуль; лінійка.
Теоретичні відомості
Закон збереження та перетворення енергії є одним з фундаментальних законів природи, справедливим для систем як макроскопічних тіл, так і для елементарних частинок. Він є вираженням вічності й незнищуваності руху в природі, який лише переходить із однієї форми в іншу. Цей закон полягає в слідуючому: в ізольованій системі тіл енергія може переходити із одних видів в інші та передаватися від одного тіла до іншого, але її загальна кількість залишається незмінною.
Якщо в ізольованій системі діють тільки потенціальні (консервативні) сили, то взаємні перетворення механічної енергії в інші види (немеханічні форми) відсутні. Така система носить назву ізольованої консервативної системи і для неї дійсний закон збереження та перетворення енергії в механіці: механічна енергія ізольованої консервативної системи тіл не змінюється в процесі її руху:
Закон збереження механічної енергії не можна застосовувати до систем, в яких діють сили тертя або існує залишкова (пластична) деформація, так як частина механічної енергії в процесі руху розсіюється, перетворюється в немеханічні форми, наприклад, в теплоту. Такі системи називаються дисипативними.
Нехай тіло масою m скочується без тертя по похилій площині висотою h. Опором повітря знехтуємо. Так як в цьому випадку діє тільки сила тяжіння, яка є потенціальною (консервативною), то це тіло являє собою ізольовану консервативну систему, до якої можна застосувати закон збереження механічної енергії:
(1)
Потенціальна енергія вираховується за формулою:
(2)
Кінетична енергія тіла визначається як сума кінетичної енергії поступального та обертового рухів:
(3)
де I – момент інерції тіла,
w – його кутова швидкість.
З рівнянь (1)-(3) одержуємо:
(4)
Кутова швидкість обертання тіла зв'язана з швидкістю його поступального руху співвідношенням:
(5)
де R – радіус тіла.
Рух тіла рівномірноприскорений, тому
υ = at; (6)
(7)
де S – довжина похилої площини;
t – час скочування тіла.
З формул (6) і (7) одержуємо:
(8)
Підставивши вирази (5) та (8) в (4) і, розв’язавши рівняння відносно I, одержимо:
. (9)
Таким чином, визначення моменту інерції тіла кочення зводиться до вимірювання його маси, радіуса, висоти похилої площини, довжини шляху та часу скочування.
Але момент інерції тіл правильної форми можна розрахувати теоретично. Дійсно, момент інерції безмежно малого елемента з масою dm відносно осі виражається формулою:
(10)
де ri – віддаль елемента до осі обертання.
Для знаходження моменту інерції тіла його розбивають на безмежно велике число безмежно малих елементів, вираховують момент інерції кожного елемента, потім момент інерції тіла визначають сумою моментів інерції всіх його елементів. Ця операція зводиться до інтегрування:
. (11)
Вирахуємо момент інерції однорідного циліндра відносно осі z, що проходить через центр маси тіла (рис.1). Для цього виділимо елемент о6’єму циліндра в вигляді кільця завтовшки dr, його об’єм буде:
(12)
тоді:
(13)
Значення dm з формули (13) підставляємо в формулу (11) та інтегруємо:
де m – маса тіла;
R – радіус тіла.
Цим способом можна визначити момент інерції будь-якого іншого однорідного тіла правильної форми; результати для найбільш часто поширених тіл приводяться в таблиці 1.
Таблиця 1.
| Тіло | Момент інерції |
| Однорідний циліндр | 
|
| Однорідна куля | 
|
| Тонкостінний циліндр | 
|
| Диск з отвором | 
|
Порядок виконання роботи
Лабораторну роботу виконують на установці, що являє собою похилу площину, висоту якої можна змінювати. Після ввімкнення установки в мережу досліджуване тіло утримується в верхній частині похилої площини з допомогою електромагніта. Після вимкнення живлення електромагніта тіло починає скочуватись і одночасно вмикається секундомір, який вимикається автоматично тілом, що скочується в кінці похилої площини. При виконанні роботи необхідно:
1. Спочатку виконати кілька тренувальних пусків тіла; добитись, щоб тіло при скочуванні не торкалось бортиків похилої площини; переконатись у справності секундоміра.
2. За вказівкою викладача для кожного з досліджуваних тіл (куля, циліндр та ін.) виконати 3-4 вимірювання часу скочування. Знайти середній час скочування кожного тіла.
3. Заміряти довжину похилої площини та її висоту.
4. Зважити досліджуване тіло та виконати необхідні вимірювання. Всі результати занести в таблицю 2.
Таблиця. 2
| Тіло | t | m | h | s | R | r | Iексп | Iтеор |
| Куля | ||||||||
| Циліндр |
Обробка результатів експерименту та їх аналіз
1. За формулою (9) вирахувати момент інерції досліджуваного тіла експериментальним способом.
2. За формулою з таблиці 1 для відповідного тіла вирахувати момент інерції теоретично.
3. Результати експериментальні і теоретичні співставити між собою та зробити висновки.
4. Знайти абсолютну та відносну похибки експерименту.
Контрольні запитання
1. Тверде тіло як система матеріальних точок, його момент інерції і кінетична енергія.
Лабораторна робота № 1-11
Маятник Максвелла.
л. І. §§ 24, 32, 33
Мета роботи: експериментальне дослідження закону збереження енергії на прикладі визначення моменту інерції металічних кілець.
Прилади і матеріали: маятник Максвелла; набір кілець.
Теоретичні відомості
Закон збереження та перетворення енергії є одним з фундаментальних законів природи, що справджується як для систем макроскопічних тіл, так і для систем елементарних частинок. Він полягає в тому, що для ізольованої системи тіл енергія може переходити з одного виду в інший та передаватися від одного тіла до іншого, але її загальна кількість залишається сталою.
Якщо в ізольованій системі тіл діють тільки потенціальні (консервативні) сили, то взаємні перетворення механічної енергії в інші види (немеханічні форми) відсутні. Така система носить назву консервативної і для неї має місце закон збереження та перетворення механічної енергії: механічна енергія ізольованої консервативної системи не змінюється в процесі її руху
Закон збереження механічної енергії не можна застосовувати до ізольованих систем, в яких діють сили тертя чи існують залишкові (пластичні) деформації, бо частина механічної енергії розсіюється, перетворюється в немеханічні форми, наприклад, в теплоту. Такі системи звуть дисипативними.
Розглянемо закономірності перетворення енергії в системі, до складу якої входить масивне тіло, що обертається, падаючи з певної висоти h під дією сили тяжіння. Якщо знехтувати опором повітря, то дане тіло являє собою консервативну систему, до якої можна застосувати закон збереження механічної енергії, тобто його повна механічна енергія в процесі руху залишається величиною сталою:
(1)
Зростання кінетичної енергії тіла під час падіння відбувається за рахунок зменшення потенціальної. В нашому випадку кінетична енергія тіла складається з енергії поступального та енергії обертального рухів:
(2)
де m – маса тіла;
υ – швидкість поступального руху центра мас;
I – момент інерції тіла;
w – кутова швидкість обертання.
Частину потенціальної енергії яка перетворилась в кінетичну, можна визначити за формулою:
(3)
де h – висота падіння тіла;
g – прискорення вільного падіння.
Згідно з законом збереження механічної енергії запишемо:
(4)
Використовуючи цю формулу, можемо експериментально знайти момент інерції тіла:
(5)
В останній формулі виразимота w через величини, що піддаються безпосередньому вимірюванню.
Так як під дією постійної сили рух тіла рівномірно прискореним, можна записати:
(6)
(7)
де a – прискорення,
t – час падіння тіла.
З формул (6) та (7) одержуємо
(8)
Лінійна швидкість зв'язана з кутовою співвідношенням
(9)
Підставивши вирази (8) і (9) в формулу (5) та зробивши перетворення, одержуємо:
, (10)
де D – зовнішній діаметр вісі маятника;
m – маса тіла, що обертається і складається з вісі маятника масою mc, ролика масою mp та одного з змінних кілець масою mk,тому m=m0+mp+mk.
Зовнішній діаметр вісі маятника необхідно визначати разом з намотаною на нього ниткою підвісу.
D = D0 + 2 Dн,
де D0 – діаметр вісі маятника,
DH – діаметр нитки підвісу.
Таким чином, за формулою (10) можна експериментально знайти момент інерції маятника Максвелла, враховуючи зроблені зауваження відносно m та D і виконавши необхідні вимірювання.
Моментом інерції механічної системи відносно нерухомої вісі a звуть фізичну величину Ia, що рівна сумі добутків мас всіх n матеріальних точок системи на квадрати їх віддалі до вісі обертання:
Момент інерції тіла можна розрахувати за формулою:
,
де dm=rdV – маса малого елемента об'єму тіла;
r – густина;
r – віддаль від елемента dV до осі a.
Якщо тіло однорідне, тобто густина його скрізь однакова, то
Момент інерції тіла є мірою інертності його в обертовому русі навколо нерухомої вісі, аналогічно масі, що є мірою інертності в поступальному русі тіла.
Момент інерції тіла відносно якої-небудь осі залежить не тільки від маси, форми та розмірів тіла, але й від положення його відносно цієї осі. Згідно з теоремою Штейнера (теорема про паралельне перенесення осей) момент інерції тіла I відносно будь-якої осі обертання дорівнює сумі моменту інерції IC відносно осі, що паралельна даній і проходить через центр маси, та добутку маси тіла на квадрат віддалі між осями:
I=Ic+md2.
Моменти інерції деяких однорідних тіл найпростішої форми відносно певних осей наведені в слідуючій таблиці:
| Тіло | Положення осі а | Момент інерції Ia |
| Порожнинний тонкостінний циліндр радіусом R та масою m | Вісь циліндра | mR2 |
| Суцільний циліндр (диск) радіусом R та масою m | Вісь циліндра | 1/2(mR2) |
| Куля радіусом R та масою m | Вісь проходить через центр кулі | 2/5(mR2) |
| Cтержень довжиною l та масою m | Вісь проходить перпендику-лярно через середину стержня | 1/12(ml2) |
| Цей же стержень | Вісь проходить перпендику-лярно через кінець стержня | 1/3(ml2) |
Теоретично момент інерції маятника Максвелла можна визначити як суму моментів інерції його складових елементів, тобто:
(11)
де Iо – момент інерції осі маятника;
Ip – момент інерції ролика;
Iк – момент інерції змінного кільця.
Вісь маятника являє собою циліндр (диск), тому її момент інерції дорівнює:
(12)
де Dо – діаметр осі маятника.
Ролик являє собою диск з отвором, тому його момент інерції вираховується за формулою:
, (13)
де Dp – зовнішній діаметр ролика.
Змінне кільце, як і ролик, теж диск з отвором, тому:
(14)
де Dк – зовнішній діаметр кільця.
Таким чином, момент інерції маятника Максвелла, визначений експериментально та вирахований теоретично може служити основою дослідження справедливості закону збереження механічної енергії в умовах виконання лабораторної роботи.
Ця лабораторна робота виконується на приладі, загальний вигляд якого зображений на рис.1. До основи приладу прикріплена колонка 1 з верхнім нерухомим 2 та нижнім рухомим 3 кронштейнами. На верхньому кронштейні знаходиться електромагніт 4, фотоелектричний датчик 5 та корбочка 6 для закріплення і регулювання довжини біфілярного підвісу маятника.
Маятник 7 — це ролик, закріплений на осі і підвішений біфілярним способом, на нього накладаються змінні кільця 8, що змінюють момент інерції системи.
В верхньому положенні маятник утримується електро-магнітом. Довжина його визна-чається за міліметровою шкалою на колонці приладу. Для під-вищення точності вимірювань нижній кронштейн має червоний покажчик, що розташований на висоті оптичної осі нижнього фотоелектричного датчика.
Порядок виконання роботи:
1. Нижній кронштейн приладу зафіксувати в крайньому ниж-ньому положенні.
2. На ролик маятника накласти довільно вибране кільце.
3. Пересвідчитись, що край кільця при опусканні маятника перетинає оптичну вісь нижнього фотоелек-тричного датчика.
4. Натиснути клавішу "Пуск".
5. Намотати нитку підвісу на вісь маятника і зафіксувати його з допомогою електромагніта.
6. Повернути маятник в напрямку його руху на кут близько 50.
7. Натиснути клавішу "Сброс".
8. Натиснути клавішу "Пуск" і записати виміряний час падіння маятника.
9. Дослід повторити 5 разів.
10. З допомогою шкали на колонці приладу визначити довжину маятника.
11. Записати маси всіх елементів маятника: осі, ролика, кільця.
12.Виконати заміри діаметрів осі маятника, нитки, ролика і кільця.
13.Дані всіх вимірювань занести в таблицю:
| № п/п | m0, кг | mp, кг | mk, кг | D0, м | DН, м | t, c | h, м | DP, м | DK, м | I0, кг×м2 | IМ, кг×м2 |
Обробка результатів експерименту та їх аналіз
1. Визначити середнє значення часу падіння маятника за формулою
2. Використовуючи формулу (10) визначити момент інерції маятника за даними експерименту.
3. За формулою (11) визначити момент інерції цього ж маятника теоретичним способом.
4. Визначити абсолютну і відносну похибки.
5. Проаналізувати одержані результати роботи та зробити висновки.
Контрольні запитання
1. Сформулюйте закон збереження та перетворення механічної енергії.
2. Що таке момент інерції та від чого він залежить?
3. В чому полягає теорема Штейнера?
4. Доведіть вірність теореми Штейнера для стержня, використавши дані з таблиці.
5. Запропонуйте метод визначення втрат механічної енергії маятника Максвелла протягом одного періоду,
Лабораторна робота № 1-12
Визначення кінематичних характеристик гіроскопа
л.1.§§ 33,34,35
Мета роботи: поглиблене вивчення понять моменту сили та моменту імпульсу; практичне визначення кутової швидкості прецесії, моменту імпульсу і моменту інерції.
Прилади і матеріали: гіроскопічна установка з мілісекундоміром та тахометром; переміщуване тіло.
Теоретичні відомості
Слово "гіроскоп" із грецької мови означає буквально прилад для виявлення обертання. Гіроскопом називається тверде тіло, що швидко обертається, вісь обертання якого може змінювати свій напрямок в просторі.
Найбільше значення в науці і техніці мають симетричні гіроскопи. Симетричним називають гіроскоп, що має симетрію обертання відносно певної осі, яка називається геометричною віссю або віссю фігури гіроскопа. Здебільшого одна з точок осі фігури гіроскопа закріплюється і називається точкою опори гіроскопа.
Щоб вісь фігури гіроскопа могла вільно повертатися в просторі, гіроскоп закріплюється в так званому кардановому підвісі (рис. 1).
Рис.1 Рис.2
Маховик гіроскопа 1 закріплюється на осі фігури АА¢, що може обертатись з малим тертям в підшипниках, які утримують кінці діаметра внутрішнього кільця. Внутрішнє кільце, в свою чергу, може обертатись навколо перпендикулярної осі ВВ¢, яка проходить через підшипники на кінцях діаметра зовнішнього кільця. Нарешті, зовнішнє кільце може здійснювати рух навколо третьої осі ДД¢, що проходить через нерухомі підшипники підставки. Всі три осі перетинаються в одній точці, яка називається центром карданового підвісу. Гіроскоп у кардановому підвісі має три ступені вільності і може здійснювати любі повороти навколо центра підвісу. В елементарній теорії гіроскопа кінетична енергія та моменти імпульсу кілець не враховуються, як дуже малі в порівнянні з відповідними величинами маховика гіроскопа. Якщо центр карданового підвісу або точка опори співпадає з центром мас гіроскопа, то його називають зрівноваженим чи астатичним.
Гіроскоп має цікаві властивості, наприклад, має здатність чинити опір зовнішнім діям, що намагаються змінити напрямок його осі обертання. Якщо вдарити по кільцю карданового підвісу, то можна помітити, що гіроскоп практично не піддається дії цього удару, його вісь майже не змінює попереднього напрямку. У результаті удару виникають лише незначні коливання або дрижання осі гіроскопа, які швидко затухають. Ця властивість гіроскопа використовується в приладах орієнтації, та навігації авіаційних і космічних літальних апаратів, суден, підводних човнів та інших рухомих об’єктів. Слід звернути увагу, що така стійкість властива лише гіроскопам з трьома ступенями вільності, вона зовсім зникає, якщо гіроскоп позбавити хоч би однієї ступені вільності.
Ще одна властивість гіроскопа проявляється, коли на його вісь починає діяти сила чи пара сил, які намагаються привести вісь у рух. Під дією сили Р (рис.2) кінець А осі АА¢ гіроскопа буде відхилятися не в бік дії сили Р, а в напрямку, перпендикулярному цій силі. У результаті гіроскоп повернеться не навколо осі ВВ¢, а навколо осі ДД¢, причому не прискорено, а з постійною кутовою швидкістю. Це обертання називають прецесією. Звідси випливає висновок, що внаслідок прецесії гіроскоп розвиває певний момент, який зрівноважує повертаючий момент сили тяжіння. Виникнення гіроскопічного моменту,зв'язаного з прецесією гіроскопа носить назву гіроскопічного ефекту.
Властивості гіроскопа притаманні також елементарним частинкам, атомам та молекулам завдяки наявності в них моментів імпульсу орбітального і спінового обертання. Звичайно, ці та інші явища мікросвіту повинні розглядатись на основі законів квантової механіки, але між властивостями атомних і макроскопічних систем є багато спільного. Тому теорія гіроскопа виявляється корисною і при вивченні атомної фізики, фізики елементарних частинок і атомного ядра.
Розглянемо рух твердого тіла, що має одну закріплену точку. Основною характеристикою дії сили на таке тіло є момент сили -це векторний добуток радіус-вектора точки прикладання сили на вектор сили:
. (1)
Запишемо другий закон Ньютона для поступального руху:
. (2)
Домножимо векторно це рівняння, на радіус-вектор r:
.
або: 
. (3)
Вектор
, (4)
називають моментом імпульсу точки відносно вибраного початку координат. Тому вираз (3) запишемо в вигляді:
,
або 
. (5)
Співвідношення (5) є основним законом динаміки обертового руху тіла з однією закріпленою точкою. Він формулюється так: швидкість зміни моменту імпульсу абсолютно твердого тіла за величиною та напрямком рівна сумі моментів сил, які діють на тіло.
Теорія гіроскопа базується на рівнянні (5). Якщо момент зовнішніх сил М рівний нулеві, то гіроскоп називається вільним. Для вільного гіроскопа
,(6)
а це значить, що
(7)
Це рівняння виражає закон збереження моменту імпульсу вільного гіроскопа.
Розглянемо тепер рух гіроскопа, коли в якійсь точці А осі фігури гіроскопа АА¢ підвісити невеликий вантаж Р.
У цьому випадку на гіроскоп почне діяти момент сили М, що напрямлений вздовж осі ВВ¢ (рис. 2) і рівний
M = P ´ l. (8)
де l – плече сили Р.
Протягом часу dt момент імпульсу гіроскопа одержує приріст dL= Mdt
якийза напрямком співпадає з моментом сили М.
Тепер момент імпульсу гіроскопа буде дорівнювати результуючому вектору, L¢=L+dL, що лежить у площині, перпендикулярній площині рисунка (рис. 2). Напрямок цього вектора співпадає з новим напрямком осі гіроскопа, тобто, вісь гіроскопа протягом часу dt повернеться на кут dj. З рис. 2 видно, що
(9)
Звідси можна знайти кутову швидкість повертання осі гіроскопа:
(10)
Одержана формула виражає зв'язок кутової швидкості прецесії w гіроскопа з моментом зовнішніх сил, які діють на нього, та з моментом імпульсу гіроскопа. Звернемо увагу, що вектори М, l i w взаємно перпендикулярні.
Позначимо кутову швидкість обертання гіроскопа відносно осі АА¢ через W, а його момент інерції через I, тоді останню формулу можна переписати так:
(11)
звідки видно, що кутова швидкість прецесії гіроскопа обернено пропорційна кутовій швидкості обертання маховика гіроскопа.
Характерною особливістю прецесії гіроскопа є те, що вонабезінерційна, тобто прецесійний рух припиняється в момент припинення дії моменту сил. Тому поведінка прецесії подібна не швидкості, а прискоренню, так як прискорення теж припиняється одночасно з припиненням дії сили.
Слід підкреслити, що формули (10) та (11) справджуються при виконанні умови w<< W. У техніці застосовують гіроскопи з частотою обертання W =20000 ¸ 50000 обертів за хвилину, а величина w у мільйони разів менша.
Необхідно звернути увагу, що тут ми розглянули наближену теорію гіроскопа. Згідно із строгою теорією поряд з прецесією гіроскопа відбуваються коливання осі гіроскопа в вертикальній площині, які носять назву нутації. Із збільшенням частоти обертання гіроскопа амплітуда нутацій зменшується. Крім цього нутація гаситься тертям в опорах, тому в даній роботі вона не враховувалась.
Теорія гіроскопа сьогодні являє собою важливий розділ теоретичної механіки, який інтенсивно розвивається і є теоретичною основою найважливішої галузі сучасного приладобудування. Основи прикладної теорії гіроскопа розвинені в працях великої кількості видатних вітчизняних та закордонних вчених – М.Є.Жуковського, О.М.Крилова, Б.В.Булгакова, Г.Клейна, А.Зоммерфельда, М.Мулера та інших. Сучасний розвиток прикладна теорія гіроскопа одержала в роботах А.Ю.Ішлінського, Я.Н.Ройтенберга, В.І.Кошлякова, В.І.Назарова, М.А.Павловського та інших.
Опис лабораторної установки
Гіроскоп, що використовується в даній роботі, являє собою масивний диск, закріплений на роторі електродвигуна, На підставці з чотирма гвинтовими ніжками закріплена колонка з кронштейном, на якому розміщені фотоелектричний датчик та зовнішня втулка поворотного з’єднувача.
Поворотний з’єднувач дає можливість гіроскопу повертатись навколо вертикальної осі та забезпечує живлення струмом фотоелектричного датчика і електричного двигуна.
Електричний двигун змонтований на кронштейні таким чином, щоб була можливість повороту на обмежений кут в вертикальній площині.
На валу двигуна закріплений диск з екраном захисту. З корпусом двигуна з’єднаний важіль, з метричною шкалою, вздовж якої може переміщуватись вантаж для зрівноваження гіроскопа.
Кут повороту гіроскопа навколо вертикальної осі можна виміряти з допомогою лічильника, розташованого на передній панелі приладу. Диск має на ободі отвори для визначення частоти обертання вала електродвигуна фотоелектричним датчиком.
Порядок виконання роботи
1. Ввімкнути прилад в електричну мережу.
2. Натиснути клавішу "Сеть" і переконатись, чи всі індикатори висвічують цифру нуль та чи світяться лампочки фотоелектричних датчиків.
3. Повертаючи ручку потенціометра "Рег.скорости" переконатись, що двигун працює і стрілка вимірювача частоти обертання його вала відхиляється.
4. З допомогою переміщування вантажу встановити важіль гіроскопа горизонтально.
5. Ввімкнути двигун і встановити частоту обертання його вала біля 6000 об/хв.
6. Змістити вантаж на 2 см вліво чи вправо.
7. Натиснути клавішу "Сброс" і після повороту гіроскопа не менше, як на 300, натиснути клавішу "Стоп".
8. Записати покази лічильників кута j і часу t, а також масу переміщуваного вантажу.
Обробка результатів вимірювань
Завдання 1. Визначення кутової швидкості прецесії гіроскопа.
1. За формулою w=j / t вирахувати кутову швидкість прецесії гіроскопа.
2. Результат співставити зі швидкістю обертання вала двигуна.
3. Знайти абсолютну та відносну похибки вимірювання кутової швидкості прецесії.
Завдання 2. Визначення моменту імпульсу гіроскопа.
1. За формулою (8) знайти результуючий момент сил, що діє на гіроскоп.
2. Виходячи з формули (10) знайти момент імпульсу L гіроскопа.
3. Визначити абсолютну та відносну похибки вимірювання моменту імпульсу гіроскопа.
Завдання 3. Визначення моменту інерції гіроскопа.
1. Знаючи момент імпульсу гіроскопа L і частоту його обертання W, вирахувати момент інерції гіроскопа.
2. Вирахувати момент інерції гіроскопа за формулою (11). Результати співставити.
3. Визначити абсолютну та відносну похибки знаходження моменту інерції гіроскопа.
Контрольні запитання
1. Момент сили і момент імпульсу тіла відносно точки та відносно осі.
2. Основні властивості гіроскопа і їх використання в техніці.
3. В чому полягає суть гіроскопічного ефекту?
4. Рівняння обертового руху твердого тіла. Основний закон динаміки обертового руху.
Лабораторна робота № 1-13
Визначення коефіцієнта тертя кочення
л.1.§§ 11, 12, 13, 14
Мета роботи: експериментальне вивчення основних закономірностей тертя кочення.
Прилади і матеріали: спеціальна установка; набір досліджуваних тіл.
Опис установки
Установка для вимірювань являє собою похилий маятник, зображений на рис.1. До підставки 2, що має чотири гвинтових ніжки, прикріплені мілісекундомір 1 та труба 3 з змонтованим на ній корпусом 4, з’єднаним через черв’ячну передачу з кронштейном 5, який має дві шкали 6 та 7. До кронштейна прикріплена колонка 8, на якій підвішується з допомогою нитки куля з водилкою 9, та є пристрій 10 для закріплення досліджуванихзразків.Фотоелектричний датчик 12 служить для підрахунку коливань маятника.
Теоретичні відомості
Тертя кочення обумовлюється: а) втратами на пружний гістерезис, що зв’язаний з стисненням матеріалу під дією навантаження попереду тіла, яке котиться; б) затратами роботи на деформацію матеріалу при формуванні валика попереду тіла, що котиться; в) подолання "місточків зчеплення".
Причину виникнення тертя кочення можна проаналізувати на прикладі кочення кулі або циліндра на площині (рис. 2). При такому коченні в точці дотику виникають пружні або пластичні деформації. Тому точка А прикладання сили реакції Rn поверхні дещо зміщується вперед, а лінія дії сили відхиляється від вертикалі назад.
Нормальна складова реакції:
,
а дотична тертя кочення:
.
У першому наближенні для сили тертя кочення виконується закон Кулона:
, (1)
де r – радіус поверхні тіла, що котиться;
¦к – коефіцієнт тертя кочення.
Тертя кочення значно менше, ніж тертя ковзання. При ньому набагато менше зношуються поверхні, які труться, та в багато разів знижується дисипація механічної енергії. Тому скрізь, де це можливо, тертя ковзання замінюють тертям кочення.
У всіх реальних механічних процесах та системах мають місце сили тертя, дія яких призводить в своєму результаті до перетворення енергії в тепло.
При переміщенні одного тіла відносно іншого по його поверхні виникає опір, що характеризується цілим рядом явищ, в тому числі силою тертя. Розрізняють силу зовнішнього тертя, як силу опору, тангенціальну відносно переміщення двох твердих тіл при їх дотикові і силу внутрішнього тертя як силу опору, тангенціальну відносно переміщення шарів середовища один відносно іншого.
Характерною особливістю зовнішнього тертя є наявність сил тертя спокою, що визначається як гранична тангенціальна сила, під дією якої починається відносне переміщення тіл, які дотикаються.
Основним законом для сили зовнішнього тертя є закон Амонтона-Кулона, який доповнений В.В.Дерягіним:
, (2)
де ¦ – коефіцієнт тертя ковзання;
N – нормальне навантаження;
p0 – питома адгезія - сила прилипання, віднесена до одиниці площі;
S0 – площа дійсного контакту.
Сила тертя визначається коефіцієнтом тертя ¦. Спостереження показують, що його величина не є сталою, а залежить від матеріалу поверхні, від їх мікрогеометричного профілю, наявності мастила, газового середовища та багатьох інших факторів.
У даній роботі коефіцієнт тертя кочення кулі по площині визначається методом похилого маятника. Куля радіусом r (рис. 3), підвішена на нитці, спирається на похилу площину, кут нахилу якої b можна змінювати. Якщо кулю вивести з положення рівноваги, вона почне перекочуватись по площині, здійснюючи затухаючі коливання під дією зовнішнього тертя.
Вимірювання сили тертя з допомогою похилого маятника грунтується на вимірюванні зменшення амплітуди його коливань протягом певної кількості циклів. Формулу для розрахунку коефіцієнту тертя можна одержати, прирівнюючи роботу сил тертя втратам потенціальної енергії маятника.
За n циклів коливань при переході з положення В в положення В¢ (рис. 3) маятник втрачає енергію:
(3)
де m – маса маятника;
g – прискорення вільного падіння;
Dh – втрата висоти.
Втрата енергії рівна роботі сил опору вздовж пройденого шляху S:
(4)
де DA=Ftp ×S – робота сили тертя; (5)
DA1 – робота сил опору середовища та тертя в підвісі маятникa, якою в даному випадку можна знехтувати.
Таким чином:
(6)
Але
(7)
де П1 – потенціальна енергія маятника в положенні В,
П2 – потенціальна енергія маятника в положенні В¢.
З рисунка 3 видно, що
, (8)
де R – довжина маятника;
. (9)
Вирази (8) і (9) підставимо в (7):
, (10)
де a0 – відхилення маятника в початковий момент часу;
an – відхилення маятника після n коливань.
Враховуючи, що a0 та an кути малі, співвідношення (10) можна переписати:
(11)
З іншого боку 
де 
–сила тертя кочення;
– сила нормального тиску; (12)
S – шлях, пройдений маятником за n коливань:
(13)
де 
тому: (14)
(15)
Підставляючи (15) та (12) в формулу (5), знайдемо роботу:
враховуючи її та (11) з формули (6) одержимо:
, (16)
де a0 та an – кути відхилення першого та n- го коливань маятника в радіанах;
r – радіус кульки;
b – кут нахилу площини коливань маятника до горизонту в градусах;
n – число повних коливань.
Отже, при умові певних наближень коефіцієнт тертя кочення між кулькою та площиною досить просто може бути виражений через експериментальне вимірювальні величини a, b, r, n.
Порядок виконання роботи
1. Вибрати кульку певного матеріалу, заміряти її радіус та закріпити на підвісі.
2. Встановити відповідну плоску пластинку.
3. Похилий маятник встановити під кутом b1 =600 до горизонту.
4. Відхилити кульку на кут a0 =4¸50 від вертикалі і відпустити, даючи можливість їй здійснити n =10 (або 15 чи 20) коливань.
5. Заміряти кут an відхилення маятника після n коливань.
6. Всі дані занести в таблицю, виразивши кути a0 та an в радіанах.
7. Повторити всі заміри для даної пари матеріалів кулька-пластинка 3¸5 разів.
8. Встановити кут нахилу площини коливань маятника за п.3 b2 = 450 і проробити вимірювання за п.п. 4¸7, потім повторити те саме при b3 =300.
Обробка результатів експерименту
1. За формулою (16) вирахувати коефіцієнт ¦ тертя кочення для кожного вимірювання фіксованих значень кута b.
2. Вирахувати середнє значення ¦ в межах серії вимірювань, тобто при кожному фіксованому значенні кута нахилу b1, b2, b3.
3. Вирахувати загальне середнє значення коефіцієнта тертя кочення, абсолютну та відносну похибки експерименту.
4. Проаналізувати результати та зробити висновки про позитивні і негативні сторони даного методу вимірювання коефіцієнта тертя кочення і точність одержаних результатів.
Контрольні запитання
1. Опишіть фізичні причини, що призводять до виникнення сил тертя.
2. Запишіть та поясніть закони, які описують тертя ковзання, кочення.
3. Наведіть приклади корисного та шкідливого проявлення тертя з галузі Вашої майбутньої спеціальності.
Лабораторна робота №1-14
Визначення коефіцієнта в’язкості рідини методом Стокса
л.1.§§ 42, 43
Мета роботи: визначити коефіцієнт в’язкості досліджуваної рідини при кімнатній температурі.
Прилади і матеріали: прилад Стокса; стальні кульки; мікрометр; лінійка; секундомір; термометр.
Теоретичні відомості
Під час руху рідини між її шарами виникають сили внутрішнього тертя, які діють таким чином, щоб зрівняти швидкості всіх шарів.
Виникнення цих сил пояснюється тим, що шари, які рухаються з різними швидкостями, обмінюються молекулами. Молекули з більш швидкого шару передають більш повільному шарові певну кількість руху, внаслідок чого останній починає рухатись швидше. Молекули з більш повільного шару одержують у швидшому шарі відповідну кількість руху, що приводить до його гальмування.
Розглянемо ріди-ну, що рухається в напрямку осі X (рис.1). Нехай шари рідини мають різну шви-дкість. Виберемо на осі Z дві точки, які розташовані одна від одної на віддалі dZ. Потік рідини цих точок за величиною швидкості відрізня-ється на dυ.
Співвідношення 
характеризує зміну швидкості потоку в напрямку осі Z і носить назву градієнта швидкості.
Сила внутрішнього тертя (в’язкості), що діє між двома шарами за законом Ньютона, пропорційна величині площі їх дотикання та
градієнта швидкості:
(1)
Величина h називається коефіцієнтом внутрішнього тертя або коефіцієнтом динамічної в’язкості. Якщо в формулі (1) взяти 
і 
, тоді h=½f½, тобто коефіцієнт динамічної в’язкості чисельно дорівнює силі внутрішнього тертя, яка діє на одиницю площі двох шарів рідини, що дотикаються і рухаються один відносно другого з градієнтом швидкості, рівним одиниці. В системі СІ h вимірюється в одиницях кг×м- 1 ×с-1.
В системі СГС коефіцієнт динамічної в’язкості має розмірність г×см-1×с-1 і називається пуаз. Часто використовують одиницю в сто разів меншу —сантипуаз.
Коефіцієнт динамічної в’язкості залежить від природи
