Глава 6 Семинарские занятия

Cеминар: Применение производной при исследовании функции

Основные вопросы

1. Признаки монотонности функции.

2.Необходимое условие существования экстремума.

3. Критические точки на экстремум.

4. Достаточные условия существования экстремума.

5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

6. Выпуклость и вогнутость графика функции.

7. Точки, критические на перегиб.

8. Необходимое и достаточное условия существования перегиба.

9. Асимптоты графика функции.

Задания для семинара

№1 Доказать монотонность функции на всей числовой оси:

а) , б) ,

в) , г) .

№2 При каких а функции монотонны всюду:

а) , б) .

№3 Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:

а) , б) ,

в) , г) .

№4 С помощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследовать поведение функции в указанной

точке х _о:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

№5 Найти экстремумы, точки перегиба. Построить график.

а) , б) .

№6 Определить выпуклость или вогнутость графика функции

в окрестности указанных точек:

а) ,

б) .

№7 Найти асимптоты и построить график: а) ,

б) .

№8 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:

а) , б) .

Задания для самостоятельной работы

№9 Доказать монотонность функции на всей числовой оси:

а) , б) , в) .

№10 При каких а функции монотонны всюду:

а) , б) .

№11 Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:

а) , б) ,

в) .

№12 С помощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследовать поведение функции в указанной

точке х _о:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

№ 13 Найти экстремумы, точки перегиба. Построить график.

а) , б) .

№ 14 Определить выпуклость или вогнутость графика функции

в окрестности указанных точек:

а) ,

б) .

№ 15 Найти асимптоты и построить график:

а) , б) .

№16 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке: а) , б) .

Ответы

2. а) ; б) при , при .

3. а) при , при ,

;

б) ;

в)

;

г) )

4. а) , б) , в) нет экстремума, г) х _о не является критической точкой.

5. а) ,

; б) , , .

6. а) - выпуклый график, -вогнутый; б) - выпуклый график,

-вогнутый. 7. а) - вертикальные асимптоты, наклонная асимптота, ; б) горизонтальная асимптота, в) .

8. а) ; б) .

10. a) , в) .

11. а) , б) , в) .

12. а) , б) , в) нет экстремума, г) х _о не является критической точкой.

13. а) нет точек экстремума,

б)

14. а) - выпуклый график, -вогнутый; б) - вогнутый график,

- выпуклый.

15. а) горизонтальные асимптоты, ;

б) .

16. а) , б)

Семинар: Неопределенный интеграл

Вопросы к семинару:

1. Первообразная и неопределенный интеграл.

2.Таблица интегралов. Вычисление неопределенных интегралов с помощью таблицы интегралов.

3. Нахождение интегралов методом компенсирующего множителя или введением под знак дифференциала.

4. Нахождение интегралов с помощью замены.

5. Метод интегрирования по частям.

Таблица простых интегралов

(х – независимая переменная)

Таблица интегралов сложных функций

Формула интегрирования по частям

таблица выбора функции U(x)

Правила применения таблицы:

1. Если подынтегральное выражение является произведением функций из разных строк таблицы, то за U принимается функция, стоящая в таблице выше. Оставшееся выражение принимается за dV. При этом, выбирая U, следует всегда заботиться о том, чтобы dV было легко интегрируемым.

2. Если же подынтегральное выражение будет произведением функций из одной строки, то за U можно принять любую из этих функций. При этом интегрирование по частям, как правило, применяют дважды и получают равенство - уравнение, в котором неизвестным является искомый интеграл.

Задания для семинара

№1 Вычислить с помощью таблицы интегралов

а) , б) ,