Cеминар: Применение производной при исследовании функции
Основные вопросы
1. Признаки монотонности функции.
2.Необходимое условие существования экстремума.
3. Критические точки на экстремум.
4. Достаточные условия существования экстремума.
5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
6. Выпуклость и вогнутость графика функции.
7. Точки, критические на перегиб.
8. Необходимое и достаточное условия существования перегиба.
9. Асимптоты графика функции.
Задания для семинара
№1 Доказать монотонность функции на всей числовой оси:
а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
.
№2 При каких а функции монотонны всюду:
а) 
, б) 
.
№3 Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
.
№4 С помощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследовать поведение функции в указанной
точке х о:
а) 
,
б) 
,
в) 
,
г) 
.
№5 Найти экстремумы, точки перегиба. Построить график.
а) 
, б) 
.
№6 Определить выпуклость или вогнутость графика функции
в окрестности указанных точек:
а) 
,
б) 
.
№7 Найти асимптоты и построить график: а) 
,
б) 
.
№8 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:
а) 
, б) 
.
Задания для самостоятельной работы
№9 Доказать монотонность функции на всей числовой оси:
а) 
, б) 
, в) 
.
№10 При каких а функции монотонны всюду:
а) 
, б) 
.
№11 Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
а) 
, б) 
,
в) 
.
№12 С помощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследовать поведение функции в указанной
точке х о:
а) 
,
б) 
,
в) 
,
г) 
.
№ 13 Найти экстремумы, точки перегиба. Построить график.
а) 
, б) 
.
№ 14 Определить выпуклость или вогнутость графика функции
в окрестности указанных точек:
а) 
,
б) 
.
№ 15 Найти асимптоты и построить график:
а) 
, б) 
.
№16 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке: а) 
, б) 
.
Ответы
2. а) 
; б) при 
, при 
.
3. а) при 
, при 
,
;
б) 
;
в) 
;
г) 
) 
4. а) 
, б) 
, в) нет экстремума, г) х о не является критической точкой.
5. а) 
,
; б) 
, 
, 
.
6. а) 
- выпуклый график, 
-вогнутый; б) - выпуклый график,
-вогнутый. 7. а) 
- вертикальные асимптоты, 
наклонная асимптота, 
; б) 
горизонтальная асимптота, в) 
.
8. а) 
; б) 
.
10. a) 
, в) 
.
11. а) 
, 
б) 
, в) 
.
12. а) , б) , в) нет экстремума, г) х о не является критической точкой.
13. а) нет точек экстремума, 
б) 
14. а) - выпуклый график, -вогнутый; б) - вогнутый график,
- выпуклый.
15. а) 
горизонтальные асимптоты, 
;
б) 
.
16. а) 
, б) 
Семинар: Неопределенный интеграл
Вопросы к семинару:
1. Первообразная и неопределенный интеграл.
2.Таблица интегралов. Вычисление неопределенных интегралов с помощью таблицы интегралов.
3. Нахождение интегралов методом компенсирующего множителя или введением под знак дифференциала.
4. Нахождение интегралов с помощью замены.
5. Метод интегрирования по частям.
Таблица простых интегралов
(х – независимая переменная) 
Таблица интегралов сложных функций 
Формула интегрирования по частям 
таблица выбора функции U(x)
| |
| |
|
Правила применения таблицы:
1. Если подынтегральное выражение является произведением функций из разных строк таблицы, то за U принимается функция, стоящая в таблице выше. Оставшееся выражение принимается за dV. При этом, выбирая U, следует всегда заботиться о том, чтобы dV было легко интегрируемым.
2. Если же подынтегральное выражение будет произведением функций из одной строки, то за U можно принять любую из этих функций. При этом интегрирование по частям, как правило, применяют дважды и получают равенство - уравнение, в котором неизвестным является искомый интеграл.
Задания для семинара
№1 Вычислить с помощью таблицы интегралов
а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
.
№2 Найти интегралы методом компенсирующего множителя или введением под знак дифференциала
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
,
д) 
,
е) 
,
ж) 
,
з) 
,
и) 
.
№3 (Устно) Найти интегралы
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
,
д) 
,
е) 
,
ж) 
, з) 
.
№4 Найти интегралы с помощью замены переменной:
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
№5 Найти интегралы методом интегрирования по частям:
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
. д) 
е) 
, ж) 
