Факультет естественных наук
Р.Т. ГАЛУСАРЬЯН
Сборник задач и упражнений
по курсу «Высшая математика»
(1-й семестр, часть II)
Обнинск 2008
УДК 51(076)
Галусарьян Р.Т. Сборник задач и упражнений по курсу «Высшая математика», ч. II. 
Обнинск: ИАТЭ, 2008. 76с.
Во второй части сборника включены вопросы, связанные с элементами комбинаторики, математической индукции и комплексными числами. В сборнике приведены индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по темам: 1)Предел функции и непрерывность; 2)Производная. К задачам ИДЗ: Предел функции и непрерывность приведены ответы
Рецензенты: д.ф.-м.н. Е.А.Сатаев,
к. ф.-м. н. А.Г.Слесарев
Темплан 2008, поз 17
© Р.Т.Галусарьян, 2008г.
© Обнинский государственный технический университет атомной энергетики, 2008 г.
Содержание
Предисловие.............................................................................. 4
Глава 3. Введение в анализ
§3.1. Комбинаторика и бином Ньютона ……………………… 5
§3.2. Комплексные числа …………………………………… 13
Глава 4. Индивидуальные домашние задания
§ 4.1. ИДЗ «Предел функции и непрерывность» ………….. 20
§ 4.2. ИДЗ «Производные» ………………………………… 40
Глава 5. Семинары
§5.1. Применение производной при исследовании функции.. 61
§ 5.2. Неопределенный интеграл …………………………… 65
Ответы...................................................................................... 69
Литература................................................................................. 76
Предисловие
Вторая часть сборника задач по курсу «Высшая математика» содержит введение в математический анализ (Глава 3) и индивидуальные домашние задания по теме: «Предел функции и непрерывность» и по теме: «Производная»
Глава 3 содержит следующие темы: комбинаторика, бином Ньютона, математическая индукция и комплексные числа Приведены основные формулы и методы решения задач.
Глава 4 содержит индивидуальные домашние задания по основным темам курса математического анализа, изучаемым в первом семестре
Глава 5 посвящена семинарским занятиям. Приводится перечень основных вопросов, рассматриваемых на семинаре, задачи, которые необходимо решать на семинаре и задачи для самостоятельной работы.
К задачам главы 3 и к задачам ИДЗ «Предел функции» приведены ответы. Для наиболее сложных задач приводятся решения.
Глава 3. Введение в анализ
Комбинаторика и бином Ньютона
Комбинаторика
1. Число перестановок из n элементов равно произведению n последовательных натуральных чисел от 1 до n.
Число перестановок обозначается так:
или n! (эн-факториал) и вычисляется по формуле:
n! = 
. (1.1)
Число размещений (без повторений) из n элементов по к
равно произведению к последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно n: 
, (1.2)
или 
. (1.3)
3. Число сочетаний из n элементов по к (
) определяется по формуле:
(1.4)
или 
(1.5)
Из формулы (1.5) следует 
. (1.6)
Размещения с повторениями
Пусть из множества Х, состоящего из n элементов, надо составить строку из к элементов, причем каждый элемент в
строке может быть любым элементом из х, т.е. в строке
элементы могут повторяться.
Общее число всех таких строк есть число размещений
из n по k с повторениями: А(n, k) = nk. (1.7)
В рассмотренном случае каждый элемент строки может принимать n значений. Если в строке 
элемент 
может принимать 
значений, элемент 
может принимать 
значений, то количество всех таких строк определяют по формуле:
. (1.8)
Размещения данного состава
Размещением данного состава 
из элементов
множества 
называется всякая строка длиной 
, составленная из элементов множества X так, что элемент повторяется 
раз, элемент 
повторяется 
раз,..., элемент 
повторяется 
раз.
Например, если 
то 
есть
один из вариантов состава 
Число различных размещений состава определяется по формуле:
. (1.9)
Бином Ньютона
Формула бинома Ньютона позволяет любой двучлен (бином) возвести в натуральную степень. Эта формула имеет вид:
(1.10)
или сокращенно 
В разложении бинома n + 1 членов. Так как 
, то
коэффициенты членов разложения, одинаково удаленных от начала и конца, равны между собой. При 
получаем формулу для суммы биномиальных коэффициентов:
(1.11)
Обобщением формулы бинома Ньютона является
полиномиальная формула:
(1.12)
где 
и суммирование ведется по всем наборам 
.
В частности:
Итак, 
. (1.13)
3. Формула разложения разностиn-ых степеней
(1.14)
