Похідна оберненої функції

Означення похідної

Нехай на проміжку (a, b) визначена деяка функція y = f (x). Візьмемо будь–яке значення x з цього проміжку і надамо йому приросту . Різницю

називають приростом функції в точці x. Приріст аргументу може набувати як додатних, так і від’ємних значень, але так, що значення не виходить за межі області визначення функції f (x).

Похідною функції y = f (x) в точці x називають границю (якщо вона існує) відношення приросту функції до приросту аргументу ,коли останній прямує до нуля, тобто

Функцію, яка має скінчену похідну в точці x, називають диференційовною в цій точці. Обчислення похідної називають диференціюванням.

Позначення похідної: y ' (x), f ' (x) (за Лагранжем) або (за Лейбніцем).

З означення похідної випливає, що похідна y ' (x) в точці x є числом. Але якщо таке число існує для кожної внутрішньої точки проміжку (a, b), то похідну можна розглядати як функцію точки x з даного проміжку.

Запам’ятайте!

- Похідна функції у = x дорівнює одиниці;

- Похідна степеневої функції дорівнює показнику степеня, помноженому на основу в степені, на одиницю меншу; (похідна функції у = xn дорівнює добутку n і xn-1);

- Похідна функції у = 1/x дорівнює одиниці, поділеній на х2, узятій зі знаком мінус;

- Похідна функції у = √x для додатних х дорівнює 1/(2√x);

- Похідна функції синус х дорівнює косинусу х;

- Похідна функції косинус х дорівнює синусу х, взятому зі знаком мінус;

- Похідна функції тангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат косинуса х;

- Похідна функції котангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат синуса х, взятій зі знаком мінус;

- Похідна показникової функції у = ах дорівнює цій функції, помноженій на натуральний логарифм основи ах∙ ln а;

- Похідна функції у = ех дорівнює самій функції, тобто ех;

- Похідна логарифмічної функції у = logax на її області визначення дорівнює 1/(х∙ ln а);

- Похідна функції у = ln x на її області визначення дорівнює одинці, поділеній на х.

Можна визначити похідні вищих порядків. Похідною n-го порядку (n-ною похідною) називається похідна від похідної (п – 1) порядку.

Похідна оберненої функції.

Теорема.

Нехай функція строго монотонна і неперервна на відрізку [a;b]. Якщо в точці існує похідна , то обернена функція в точці має похідну, причому

Доведення.

Обернена функція визначена строго монотонна і неперервна на деякому проміжку [A;B ]. Оскільки то, тоді неперервна в точці y,причому внаслідок строгої монотонності.

Отримаємо

Перейдемо в цій рівності до границі

Для того щоб знайти похідну неявної функції y від x,визначеної рівнянням F(x,y) = 0 слід продеференціювати ліву і праву частини цього рівняння,розглядаючи yяк фунцію від x,і розв’язати одержаний вираз = 0 відносно y.

Якщо функцію задано параметричними рівняннями x=x(t), y=y(t),то її знаходимо за формулою:

=

Якщо функція у=f(x) має в точці х похідну у то

З відси =

Головну частину приросту ф-ції,лінійну відносно приросту аргументу ,називають диференціалом цієї функції і позначають dy,df(x)^

dy = або dy =

Має місце наближена формула або f( яку застосовують для наближеного обчислення значень функції.