Означення похідної
Нехай на проміжку (a, b) визначена деяка функція y = f (x). Візьмемо будь–яке значення x з цього проміжку і надамо йому приросту 
. Різницю
називають приростом функції в точці x. Приріст аргументу 
може набувати як додатних, так і від’ємних значень, але так, що значення 
не виходить за межі області визначення функції f (x).
Похідною функції y = f (x) в точці x називають границю (якщо вона існує) відношення приросту функції 
до приросту аргументу 
,коли останній прямує до нуля, тобто
Функцію, яка має скінчену похідну в точці x, називають диференційовною в цій точці. Обчислення похідної називають диференціюванням.
Позначення похідної: y ' (x), f ' (x) (за Лагранжем) або 
(за Лейбніцем).
З означення похідної випливає, що похідна y ' (x) в точці x є числом. Але якщо таке число існує для кожної внутрішньої точки проміжку (a, b), то похідну можна розглядати як функцію точки x з даного проміжку.
Запам’ятайте!
- Похідна функції у = x дорівнює одиниці;
- Похідна степеневої функції дорівнює показнику степеня, помноженому на основу в степені, на одиницю меншу; (похідна функції у = xn дорівнює добутку n і xn-1);
- Похідна функції у = 1/x дорівнює одиниці, поділеній на х2, узятій зі знаком мінус;
- Похідна функції у = √x для додатних х дорівнює 1/(2√x);
- Похідна функції синус х дорівнює косинусу х;
- Похідна функції косинус х дорівнює синусу х, взятому зі знаком мінус;
- Похідна функції тангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат косинуса х;
- Похідна функції котангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат синуса х, взятій зі знаком мінус;
- Похідна показникової функції у = ах дорівнює цій функції, помноженій на натуральний логарифм основи ах∙ ln а;
- Похідна функції у = ех дорівнює самій функції, тобто ех;
- Похідна логарифмічної функції у = logax на її області визначення дорівнює 1/(х∙ ln а);
- Похідна функції у = ln x на її області визначення дорівнює одинці, поділеній на х.
Можна визначити похідні вищих порядків. Похідною n-го порядку (n-ною похідною) називається похідна від похідної (п – 1) порядку.
Похідна оберненої функції.
Теорема.
Нехай функція 
строго монотонна і неперервна на відрізку [a;b]. Якщо в точці 
існує похідна 
, то обернена функція 
в точці 
має похідну, причому
Доведення.
Обернена функція 
визначена строго монотонна і неперервна на деякому проміжку [A;B ]. Оскільки 
то, 
тоді 
неперервна в точці y,причому 
внаслідок строгої монотонності.
Отримаємо
Перейдемо в цій рівності до границі
Для того щоб знайти похідну неявної функції y від x,визначеної рівнянням F(x,y) = 0 слід продеференціювати ліву і праву частини цього рівняння,розглядаючи yяк фунцію від x,і розв’язати одержаний вираз 
= 0 відносно y.
Якщо функцію задано параметричними рівняннями x=x(t), y=y(t),то її 
знаходимо за формулою:
= 
Якщо функція у=f(x) має в точці х похідну у 
то
З відси 
= 
Головну частину приросту ф-ції,лінійну відносно приросту аргументу 
,називають диференціалом цієї функції і позначають dy,df(x)^
dy = 
або dy = 
Має місце наближена формула 
або f(
яку застосовують для наближеного обчислення значень функції.
