Метод дзеркальних зображень засновано на застосуванні наслідків теореми єдиності розв’язку. Поле електричних зарядів, що розташовані поряд з провідною поверхнею, можна знайти, якщо замінити вплив всієї провідної поверхні (вплив наведених на ній зарядів) полем дзеркального зображення даних зарядів з протилежним знаком.
Якщо заряд розташований в непровідному діелектричному середовищі з плоскою границею розділу середовищ, то розрахунок такого поля зводиться до розрахунку двох полів в однорідних середовищах. Вплив неоднорідності враховується введенням таких фіктивних зарядів, щоб виконувалися граничні умови.
Приклад 2.15
Поле одного провідника, що знаходиться над поверхнею землі
Нехай тонкий прямолінійний провідник радіуса 
знаходиться над поверхнею землі на висоті 
(рис.2.20), і має заряд лінійної густини 
.
Розв’язування: Земля є провідним тілом, тому її поверхня еквіпотенціальна і, відповідно, картина поля над поверхнею землі буде така сама, як ліва частина (рис.2.16) картини поля від еквіпотенціальної поверхні, потенціал якої дорівнює нулю. В нижній півплощині (рис.2.20), що представляє собою землю (провідне середовище), поле відсутнє.
Тому для знаходження величини напруженості або потенціалу довільної точки 
поля можна застосувати всі співвідношення прикладу 2.13, якщо в провідному середовищі на глибині розмістити дзеркальне зображення фіктивного провідника з зарядом, протилежним за знаком заряду дійсного провідника.
Потенціал точки визначається
, (2.41)
де 
– відстань від точки до фіктивного негативно зарядженого провідника, 
– відстань від точки до позитивно зарядженого провідника.
Рисунок 2.20 Потенціал провідника
.
В зв’язку з тим, що потенціал землі приймаємо рівним нулю (
), то напруга між провідником і землею становить
.
Ємність одиночного провідника на одиницю довжини
.
При 
, 
.
Приклад 2.16
Поле зарядженої осі, що знаходиться поблизу плоскої границі розділу двох діелектриків
Нехай заряджена вісь з лінійною густиною заряду 
розташована в діелектрику (
) паралельно площині, яка відділяє його від другого діелектрика (
), на відстані від площини розділу (рис.2.21).
Розв’язування: В зв’язку з тим, що границя розділу двох середовищ площина, то поле не володіє яким-небудь видом симетрії і застосувати безпосередньо теорему Гаусса для розрахунку поля неможливо.
Рисунок 2.21 Вплив зв’язаних зарядів, що з’явилися на границі розділу внаслідок неоднакової поляризації діелектриків, необхідно враховувати введенням фіктивних зарядів 
і 
. Отже, розв’язування цієї задачі зводиться до розв’язування двох більш простих задач.
В першій задачі необхідно розрахувати поле в однорідному діелектрику з проникністю і двома зарядженими осями з лінійною густиною і на відстані від границі розділу (рис.2.22, а).
Розв’язок цієї задачі визначає поле в першій області (
). Поле в другій області (
) (друга задача) визначається як поле в однорідному діелектрику з проникністю , що створене зарядженою віссю з лінійною густиною , яка знаходиться на відстані від границі розділу (рис.2.22, б).
Величини і невідомі і їх необхідно визначити за допомогою граничних умов.
Рисунок 2.22
Раніше показано (п.1.8), що на границі двох діелектриків повинні виконуватися такі умови:
- дотичні складові векторів електричного зміщення між собою рівні 
;
- нормальні складові векторів електричного зміщення також рівні між собою 
або 
.
З рис.2.22 видно, що для будь-якої точки, що знаходиться на границі розділу на відстані від зарядженої осі, можна записати
Позитивний напрямок нормалі до поверхні розділу вибрано від зарядженої осі .
Величини напруженостей визначимо з (2.11)
Підставивши ці значення в граничні умови, отримаємо
і
.
Звідки
.
Розв’язавши сумісно, отримаємо величини введених фіктивних зарядів
. (2.42)
Знаючи величини фіктивних зарядів з лінійною густиною і , не важко розрахувати електричні поля в однорідних середовищах, що показані на рис.2.22, а та на рис.2.22, б.
Знаки лінійних зарядів і завжди однакові. Знаки лінійних зарядів і однакові за умови 
і протилежні при 
.
2.5 Розподіл потенціалів і зарядів в системі заряджених тіл
Якщо електричне поле створюється декількома зарядженими тілами, то потенціал кожного тіла визначається і зарядом цього тіла, і зарядами інших тіл, що входять в систему заряджених тіл. Нехай система складається із тіл, кожне з яких має відповідні заряди 
. Згідно з принципом накладання потенціал будь-якої точки поля, що створене системою заряджених тіл, можна визначити як суму потенціалів, зумовлених зарядами першого, другого і т.д. тіл. Таким чином, потенціал першого тіла
,
причому кожна складова прямо пропорціональна відповідному заряду, тобто
.
Аналогічно записавши вирази для потенціалів інших тіл, отримаємо систему лінійних рівнянь, що однозначно пов’язують значення потенціалів і зарядів:
(2.43)
Коефіцієнти 
залежать як від форми і розмірів заряджених тіл, так і від їхнього взаємного розташування і називаються потенціальними коефіцієнтами.
Коефіцієнт 
називають власним потенціальним коефіцієнтом. Він дорівнює потенціалу тіла 
, якщо його заряд дорівнює одиниці, а всі інші тіла не заряджені (
).
Взаємний потенціальний коефіцієнт 
дорівнює потенціалу тіла , коли заряд тіла 
дорівнює одиниці, а всі інші тіла не заряджені.
Потенціальні коефіцієнти завжди позитивні, в зв’язку з тим, що в полі, створеному позитивним (негативним) зарядом, будь-яке внесене в нього тіло отримує також позитивний (негативний) потенціал.
Система (2.43) дозволяє безпосередньо розв’язати задачу про розподіл потенціалів в системі заряджених тіл, якщо відомі їхні заряди і потенціальні коефіцієнти.
Якщо в системі заряджених тіл задані їхні потенціали, а необхідно знайти розподіл зарядів, то систему (2.43) необхідно розв’язати відносно зарядів 
(2.44)
Отримана система називається системою рівнянь з ємнісними коефіцієнтами 
, які визначаються через потенціальні із розв’язку системи (2.43)
,
де визначник системи (2.43)
,
а алгебраїчні доповнення 
отримують із 
шляхом викреслювання -го рядка і -го стовпчика та помноження отриманого таким чином визначника на 
.
Перетворимо систему (2.44). Запишемо перше рівняння системи у вигляді:
В останньому співвідношенні заряд першого тіла виражено через різницю потенціалів між першим і другим тілами і між першим тілом і землею (перший доданок), якщо вважати потенціал землі рівним нулю. Аналогічно можна записати вирази для зарядів всіх інших тіл.
Якщо ввести позначення
, (2.45)
то систему (2.44) можна записати так:
. (2.46)
Постійні коефіцієнти 
, що входять в цю систему, називаються частковими ємностями.
Власна часткова ємність 
представляє собою ємність тіла відносно землі (рис.2.23).
Взаємна часткова ємність 
являє собою ємність між тілами і .
Зв’язок між коефіцієнтами і частковими ємностями визначають за (2.45).
Із рис.2.23 видно, що 
, тому що і 
є тільки різні позначення однієї і тієї ж ємності між тілами і .
Рисунок 2.23 Із цього випливає, що виконується рівність відповідних взаємних ємнісних коефіцієнтів
. (2.47)
Приклад 2.17
Визначити потенціальні коефіцієнти і часткові ємності двопровідної лінії з урахуванням впливу землі (рис.2.24).
Радіуси провідників 
, їхні заряди відповідно 
і 
, інші геометричні розміри показані на рисунку і мають такі значення:
довжина лінії 
Рисунок 2.24
Розв’язування: Для розрахунку поля в даній задачі зручно використати метод дзеркальних зображень (п.2.4).
Потенціал на поверхні першого провідника від власної пари заряджених провідників 
знаходимо за (2.41), врахувавши, що 
,
від сусідньої пари заряджених провідників 
,
тому що в цьому випадку 
.
Якщо врахувати, що 
, то
. (2.48)
Аналогічно знайдемо потенціал на поверхні другого провідника
. (2.49)
Звідси знаходимо потенціальні коефіцієнти
,
,
.
Величина 
визначена із рис.2.24
.
Розв’язавши сумісно рівняння (2.48) і (2.49) відносно зарядів провідників, отримаємо
,
,
де
,
,
Знаючи ємнісні коефіцієнти, знаходимо часткові ємності
,
,
.
2.6 Застосування рівнянь Пуассона і Лапласа
Приклад 2.18
Між двома плоскими пластинами, що знаходяться на відстані 
одна від одної, розподілений в діелектрику (
) об’ємний заряд з густиною 
. Розміри електродів набагато більші ніж відстані між ними (рис.2.25). Визначити закон зміни потенціалу і напруженості поля.
Розв’язування. Параметри поля будемо знаходити в двох областях – в області, що містить об’ємний заряд (між пластинами) і в області, де об’ємний заряд відсутній.
В першій області виберемо прямокутну систему координат і, врахувавши, що при великих розмірах пластин потенціал і напруженість поля залежать тільки від координати 
, запишемо рівняння Пуассона (1.46)
.
Проінтегрувавши дане рівняння один раз, отримаємо
.
Після другого інтегрування матимемо
. (2.50)
Рисунок 2.25
Напруженість поля пов’язана з потенціалом так
.
В прямокутній системі координат
.
Для нашого випадку
. (2.51)
Постійні інтегрування 
і 
знаходимо із граничних умов.
Оскільки точку з нульовим потенціалом можна вибрати довільно, приймемо, що нульовий потенціал має точка на початку координат (
), тобто при 
. Підставимо цю умову в (2.50) і отримаємо 
.
В зв’язку з симетрією поля відносно осі ординат наступна гранична умова буде рівність потенціалів пластин
.
Тоді
;
Звідки
.
Отже, в області, зайнятій об’ємним зарядом (
)
. (2.52)
Вектор напруженості поля
. (2.53)
Величина напруженості поля
.
В області, яка не зайнята об’ємним зарядом, використаємо рівняння Лапласа в прямокутній системі координат, знову ж врахувавши те, що при дуже великих розмірах пластин 
і 
залежать тільки від координати
.
Після інтегрування отримаємо
, (2.54)
. (2.55)
На межі розділу двох діелектриків (
) рівні потенціали
(2.56)
і нормальні складові векторів електричного зміщення
або 
. (2.57)
Підставивши в (2.57) значення 
і 
з (2.53) та (2.55), отримаємо
.
Звідки
.
Після підстановки (2.52) і (2.54) в (2.56) при отримаємо
.
Врахувавши, що
.
Отже, для 
.
.
Напруженість поля зовні пластин величина постійна.
Потенціал поля ()
.
На рис.2.26 наведені графіки зміни потенціалу і модуля напруженості поля в залежності від координати .
Рисунок 2.26
Приклад 2.19
В коаксіальному кабелі, радіус внутрішнього провідника якого 
, а зовнішньої провідної оболонки 
, потенціал змінюється за таким законом
,
де – відстань від осі циліндрів до довільної точки (рис.2.27);
.
Діелектрична проникність середовища всередині кабелю 
. Зовні кабелю діелектрична проникність середовища 
.
Знайти закон розподілу напруженості поля і об’ємної густини заряду всередині кабелю, напругу між внутрішнім провідником і оболонкою, а також
закон розподілу напруженості і потенці-
Рисунок 2.27 ала поля зовні кабелю.
Розв’язування. Для розв’язування задачі всередині коаксіального кабелю використаємо рівняння Пуассона в циліндричних координатах (1.48), врахувавши те, що і напруженість і потенціал в зв’язку з циліндричною симетрією залежать тільки від координати
.
Застосувавши послідовно операцію диференціювання, отримаємо
,
.
Звідси об’ємна густина заряду
або
є постійною величиною.
Напруженість електричного поля
.
В циліндричній системі координат, коли величина залежить тільки від координати
.
Звідси закон зміни напруженості поля всередині циліндра (
)
.
Напруга між внутрішнім провідником і зовнішньою оболонкою
.
Підставивши числові значення, отримаємо
.
Отже, всередині кабелю закон зміни напруженості поля в залежності від відстані матиме вигляд
.
Зовні кабелю заряди відсутні, тому застосуємо рівняння Лапласа
.
Після двократного інтегрування отримаємо
.
Запишемо граничні умови для знаходження постійних інтегрування. Зовнішня оболонка є еквіпотенціальною поверхнею і в силу неперервності потенціалу має місце рівність
або
.
В зв’язку з тим, що
то
і
.
Другою граничною умовою є рівність на межі розділу двох середовищ нормальних складових вектора електричного зміщення (
)
або
.
Знайдемо спочатку закон зміни напруженості поля зовні кабелю
.
В зв’язку з тим, що вектор напруженості нормальний до поверхні розділу середовищ, то друга гранична умова така
.
Звідси при 
.
Отже зовні кабелю (
)
,
.
На рис.2.28 наведені графіки зміни потенціалу і напруженості поля в залежності від відстані. При 
поле відсутнє, 
, потенціал 
.
Рисунок 2.28
Приклад 2.20
Поле сферичного конденсатора з двошаровим діелектриком
Визначимо закон зміни напруженості, потенціалу в залежності від радіуса та знайдемо ємність сферичного конденсатора.
Розв’язування. Нехай радіус внутрішньої провідної сфери 
, радіус зовнішньої сфери 
, радіус межі розділу діелектриків 
(рис.2.29). Заряд конденсатора 
і потенціал зовнішньої сфери дорівнює нулю. Поле внутрішньої сфери (провідне середовище) відсутнє.
Оскільки між обкладками конденсатора немає вільних зарядів, то використаємо рівняння Лапласа окремо для області з проникністю і для області з .
Застосовуємо сферичну систему координат, врахувавши те, що при сферичній симетрії потенціал і напруженість поля залежать тільки від координати .
Рисунок 2.29 Для першої області (
)
.
Після першого інтегрування
або 
.
Проінтегрувавши ще раз, матимемо
.
Напруженість поля
.
Для другої області (
)
. (2.58)
Знайдемо граничні умови. На поверхні внутрішньої сфери (
) електричне зміщення дорівнює поверхневій густині заряду
.
Звідки
і
. (2.59)
На межі розділу двох діелектриків рівні нормальні складові векторів електричного зміщення
.
В зв’язку з тим, що вектори електричного зміщення нормальні до поверхні розділу діелектриків, то
або
.
Звідси з урахуванням (2.58) і (2.59)
.
Отже
Потенціал зовнішньої сфери за умовою задачі дорівнює нулю, тому
і
.
В зв’язку з тим, що потенціал функція неперервна, то
або
.
Звідси
.
Отже, в першій області ()
,
в другій області ()
,
.
Напруга на обкладках конденсатора
.
Ємність конденсатора
. (2.60)
Приклад 2.21
Поле між двома зарядженими пластинами, що розташовані одна відносно одної під кутом
Дві квадратні металеві пластини великої довжини зі сторонами довжиною 
знаходяться в повітрі (
), утворюють, не доторкуючись одна до одної, двогранний кут (рис.2.30). Потенціал першої пластини 
. Напруга між пластинами 
. Найменша відстань між пластинами 
.
Рисунок 2.30
Розв’язування. Встановимо залежність зміни потенціалу і напруженості поля між пластинами від координат, не враховуючи поля на краях пластин.
Використаємо рівняння Лапласа в циліндричній системі координат. Із умов симетрії величина потенціалу залежить тільки від координати 
і не залежить від координат 
і . Вісь проведемо через уявну лінію перетину металевих пластин (точка О на рис.2.31).
Рисунок 2.31
При даних умовах для будь-якої точки 
.
Після першого інтегрування
.
Після другого
. (2.61)
Граничні умови:
.
Підставимо дані граничні умови в (2.61) і отримаємо
.
Отже,
. (2.62)
Еквіпотенціальні поверхні (
) мають вигляд півплощин (рис.2.32, пунктирні лінії) і сходяться на площині, слідом якої є лінія 
.
Рисунок 2.32
Далі еквіпотенціальні поверхні змінюють свою форму. Визначення вигляду цих форм проводити не будемо.
Напруженість електричного поля має тільки одну складову, що залежить від координати . В циліндричній системі координат
.
Отже,
.
Знак мінус показує на те, що напруженість поля направлена від позитивно зарядженої пластини до від’ємно зарядженої. Силові лінії представляють собою дуги кіл, які починаються на позитивно зарядженій пластині і закінчуються на від’ємно зарядженій, і перпендикулярні до них. Картина поля наведена на рис.2.32.
Знайдемо ємність 
. Для цього необхідно визначити заряд пластин. Відомо, що на провідній поверхні електричне зміщення дорівнює поверхневій густині 
. Тому поверхнева густина заряду на провідній поверхні, яка розташована на осі , визначається
.
В зв’язку з тим, що залежить від координати , то пластини заряджені не рівномірно.
Для визначення заряду всієї пластини використаємо вираз
,
в якому інтегрування повинно проводитися по всій поверхні пластини.
В прямокутній системі координат (рис.2.31) елемент поверхні 
, а межами інтегрування будуть значення 
і 
, тому
. (2.63)
Величину (відстань від початку координат до початку поверхні) зручно виразити через кут і відстань 
,
тому
.
Звідси визначимо ємність
. (2.64)
Наприклад, 
. В цьому випадку
.
При 
.
Якщо кут 
, то отримаємо плоский конденсатор. Безпосередня підстановка в (2.64) приводить до невизначеності. Розкривши цю невизначеність за правилом Лопіталя, отримаємо
,
що збігається з виразом, отриманим у прикладі 2.10.
При
.
III ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ ПОСТІЙНИХ СТРУМІВ
В ПРОВІДНОМУ СЕРЕДОВИЩІ
