Теорема Остроградського-Гаусса

. (В.27)

Інтеграл від вектора по замкненій поверхні дорівнює інтегралу від дивергенції даного вектора по об’єму , що обмежений поверхнею .

 

Теорема Стокса

. (В.28)

 

Інтеграл від вектора вздовж замкненого контуру l дорівнює інтегралу від ротора вектора по поверхні , що обмежена контуром l.

 

 

I ЕЛЕКТРОСТАТИЧНЕ ПОЛЕ

Закон Кулона

Електричне поле, яке створене нерухомими і не залежними в часі зарядами, називається електростатичним. Будь-яке електричне поле володіє розподіленою в просторі енергією, за рахунок якої дане поле діє на розташовані в його межах інші заряди. Наявність електричного поля у просторі може бути виявлено за силою, з якою це поле діє на який-небудь інший заряд. Хоча всі заряджені тіла мають кінцеві розміри, проте, якщо розміри заряджених тіл малі порівняно з відстанями між ними, то можна вважати, що такі заряди зосереджені в точках, які збігаються з їхніми центрами. Такі заряди називають точковими.

Французький вчений Шарль Кулон дослідним шляхом отримав (1795р.) залежність сили взаємодії двох точкових зарядів від їхньої величини, відстані між ними і властивостей середовища, в якому вони знаходяться. Дану залежність називають законом Кулона і аналітично подають у вигляді

, (1.1)

де q₁ і q₂ – точкові заряди, одиниця вимірювання яких кулон [Кл];

r – відстань між зарядам в метрах [м];

– діелектрична проникність середовища, одиниця вимірювання якої фарада на метр [Ф/.м].

Сила взаємодії в даному випадку подається в ньютонах [Н].

Діелектрична проникність пустоти позначається і дорівнює

.

Для характеристики діелектричних властивостей середовища часто застосовують поняття відносної діелектричної проникності

.

Сила взаємодії направлена по прямій, яка з’єднує заряди і (рис.1.1).

Рисунок 1.1

 

У векторній формі закон Кулона можна записати у вигляді

, (1.2)

де – одиничний вектор відстані.

В зв’язку з тим, що , то (1.2) подають так

. (1.3)

Очевидно, що .

Сили відштовхування, якщо заряди однойменні, вважаються позитивними, сили притягання, якщо заряди різнойменні - негативними.

 

1.2 Напруженість електричного поля

 

Інтенсивність електричного поля можна характеризувати за механічною (силовою) взаємодією на пробне точкове позитивно заряджене тіло (пробний заряд), значення заряду якого (q_o) достатньо мале, щоб його внесення не викликало ніяких змін в досліджуваному полі.

Границя відношення сили, з якою поле діє на нерухомий пробний заряд, розміщений у будь-якій точці поля, до значення цього заряду, коли він прямує до нуля, називається напруженістю електричного поля і позначається буквою Е

.

В полі, створеному точковим зарядом q, сила, що діє на пробний заряд , розміщений в точці на відстані r від заряду q

,

а напруженість в даній точці визначається

. (1.4)

Напруженість поля – величина векторна і збігається за напрямком з вектором сили (рис.1.2),

тому

. (1.5)

Рисунок 1.2

Одиницею вимірювання електричного поля є вольт на метр .

Із (1.5) видно, що поле точкового заряду має сферичну симетрію, тобто рівномірно розподіляється по всіх напрямках. Якщо точковий заряд описати сферою радіусом r, то в будь-якій точці цієї сфери напруженість матиме одно і теж значення, але різне за напрямком.

Необхідно відмітити, що, хоча напруженість електростатичного поля характеризується силою взаємодії поля на пробний заряд, сама вона не є силою. Якщо в полі відсутній пробний заряд, то механічна сила взаємодії відсутня, але напруженість поля в кожній точці поля відмінна від нуля.

Розподіл вектора в полі зручно показувати силовими лініями. Силова лінія – це така лінія, в кожній точці якої дотична до неї збігається за напрямом з вектором напруженості поля. Для поля точкового заряду силові лінії являють собою радіальні прямі, що виходять з точки, в якій розташовано заряд (рис.1.3).

Дослідами підтверджено, що для електростатичного поля дієвим є принцип накладання. Кожний заряд створює своє поле незалежно від полів інших зарядів і воно накладається на поля інших зарядів. Тому, якщо поле створене декількома точковими зарядами q₁, q₂, q₃, … (рис.1.4), то результуюча напруженість поля дорівнює сумі векторів напруженостей,

Рисунок 1.3 які створені кожним окремим зарядом

, (1.6)

при цьому

.

В багатьох випадках розмірами зарядженого тіла нехтувати не можна, тобто не можна вважати заряд точковим. Відповідно не можна застосовувати (1.5) для визначення напруженості. В таких випадках визначають напруженість поля від окремих елементарних зарядів , приймаючи їх за точкові

Рисунок 1.4 (рис.1.5), і результуючу напруженість визначають як векторну суму усіх напруженостей.

Рисунок 1.5

 

Для характеристик зарядів тіл в таких випадках введено поняття об’ємної густини зарядів

. (1.7)

Тоді

і

. (1.8)

Із (1.7) можна зробити висновок, що якщо відома об’ємна густина заряду у всіх точках об’єму зарядженого тіла, то

. (1.9)

Якщо для всіх точок об’ємна густина заряду однакова (рівномірно заряджене тіло), то

. (1.10)

Якщо заряджена тільки поверхня тіла, то має місце поверхнева густина заряду

, (1.11)

де – елемент поверхні,

і напруженість поля визначають за формулою

. (1.12)

У випадках довгого і дуже тонкого зарядженого тіла користуються лінійною густиною заряду

(1.13)

і тоді

. (1.14)

Знаходження напруженості поля безпосередньо за (1.8), (1.12) і (1.14) можливо тільки в найпростіших випадках. Більш загальну залежність між напруженістю поля і зарядами, які створюють це поле, встановлює теорема Гаусса.

 

Теорема Гаусса

 

Введемо поняття потоку вектора через деяку поверхню. Розглянемо в електростатичному полі поверхню S, обмежену деяким контуром (рис.1.6).

Рисунок 1.6

 

Виділимо на цій поверхні елементарну площину , яку можна вважати плоскою. Таку елементарну площину характеризують вектором , значення якого чисельно дорівнює поверхні елементарної площини , а його напрямок збігається з напрямком нормалі до цього елементу. Для всіх точок елементарної площини будемо вважати напруженість поля постійною.

Скалярний добуток

називають елементарним потоком вектора через площину ( – кут між нормаллю і вектором ).

Потік вектора напруженості через всю поверхню S дорівнює

. (1.15)

Потік вектора напруженості поля величина скалярна.

Розглянемо в однорідному середовищі () замкнену поверхню, яка обмежена частиною простору, де знаходиться точкове тіло з зарядом q (рис.1.7).

Визначимо потік вектора через цю замкнену поверхню, маючи на увазі, що позитивні значення вектора направлені з замкненої поверхні.

Рисунок 1.7 Виділимо на поверхні елементарну площину і визначимо елементарний потік вектора через неї

.

В зв’язку з тим, що заряд точковий, то

і

.

З геометрії відомо, що

елементарний просторовий кут (рис.1.8), під яким розглянутий елемент поверхні видно з точки розташування заряду q.

Врахувавши попереднє, отримуємо

.

Рисунок 1.8 Потік вектора через всю замкнену поверхню визначається

.

В останній формулі інтеграл визначає повний просторовий кут, під яким видно всю замкнену поверхню з точки всередині цієї поверхні. Цей кут дорівнює , тому

. (1.16)

Отримане рівняння носить назву теореми Гаусса:

потік вектора напруженості електростатичного поля через замкнену поверхню в однорідному середовищі дорівнює відношенню величини електричного заряду, розміщеного всередині цієї поверхні, до діелектричної проникності середовища.

Якщо всередині досліджуваної поверхні є декілька точкових зарядів, то

. (1.17)

Коли всередині замкненої поверхні знаходиться заряджене тіло з заданою об’ємною густиною, то теорему Гаусса подають у вигляді

(1.18)

і називають теоремою Гаусса в інтегральній формі.

Якщо всередині замкненої поверхні заряди відсутні, то

.

Застосуємо до правої частини рівності (1.18) теорему Остроградського-Гаусса (В.27)

.

Оскільки в останньому виразі інтегрування ведеться по одному і тому ж об’єму, то можна записати

.

При виведенні теореми Гаусса в інтегральній формі (1.18) не вводилось ніяких обмежень на величину або форму замкненої поверхні і на об’єм, обмежений нею, тому остання рівність справедлива для довільного об’єму інтегрування V. Отже, підінтегральна функція повинна дорівнювати нулю.

Завдяки цьому

. (1.19)

Вираз (1.19) є теоремою Гаусса в диференціальній формі і її можна пояснити так.

Якщо в деякій точці простору дивергенція вектора не дорівнює нулю і позитивна (об’ємна густина заряду ), то в даній точці має місце джерело ліній вектора . Тут починаються лінії вектора (силові лінії). Якщо , то в даній точці поля сходяться лінії вектора . Лінії вектора завжди мають початкову і кінцеву точки.

Вирази для різних систем координат наведені у вступі.

Теорему Гаусса у вигляді (1.18) або (1.19) можна використовувати для розрахунку електростатичних полів тільки однорідних середовищ ().

 

1.4 Поляризація діелектриків

 

Систему, яка складається з двох, рівних за величиною але протилежних за знаком точкових зарядів q_o, розміщених на малій відстані h один від одного (рис.1.9) називають електричним диполем.

Диполь характеризується електричним моментом диполя

, (1.20)

Рисунок 1.9 який є векторною величиною і направлений від негативного заряду до позитивного.

Ідеальний діелектрик, на відміну від провідника, немає вільних зарядів, які під дією електричного поля можуть вільно рухатись. В діелектрику заряди зв’язані, тобто входять до складу атомів або молекул. Коротко розглянемо процеси в діелектрику при внесенні його в електричне поле. Під дією електричного поля елементарні заряджені частинки, що входять до складу молекул речовини, під дією механічних сил зміщуються одна відносно одної. Відбувається поляризація діелектрика.

В діелектрику можуть бути неполярні молекули, тобто молекули, в яких при відсутності зовнішнього поля центри дії позитивно заряджених нерухомих ядер і центри дії негативно заряджених електронів, які обертаються навколо ядер (рис.1.10, а), збігаються і не створюють власного електричного поля. Під дією зовнішнього поля в результаті зміщення зарядів молекул їхні центри дії не будуть збігатись (рис.1.10, б) і в зовнішньому просторі молекула сприймається як електричний диполь. Діелектрик знаходиться в поляризованому стані. Така поляризація називається деформаційною.

Існує клас діелектриків, в яких молекули є диполями навіть при відсутності зовнішнього електричного поля. Такі молекули називаються полярними.

Рисунок 1.10 Тепловий рух молекул приводить диполі в хаотичне розташування і електричне поле окремих диполів взаємно компенсується (рис.1.11, а). Під дією зовнішнього електричного поля окремі диполі будуть прагнути розташуватися своїми осями вздовж лінії поля (рис.1.11, б), що викликає орієнтаційну поляризацію.

Поляризація речовини може відбуватись не тільки під дією електричного поля, але й в процесі дії механічної напруги (п’єзоелектричнийефект).

Рисунок 1.11

Ступінь поляризації діелектриків в заданій точці характеризується вектором поляризації , який дорівнює відношенню суми електричних моментів окремих диполів, що знаходяться в деякому об’ємі речовини, до величини цього об’єму, коли він прямує до нуля

. (1.21)

Якщо позначити через кількість диполів в одиниці об’єму, то можна записати

. (1.22)

Для більшості діелектриків вектор поляризації пропорціональний напруженості зовнішнього електричного поля (ізотропне середовище)

. (1.23)

Коефіцієнт називають діелектричним сприйняттям речовини.

При поляризації загальна сума зарядів в діелектрику не змінюється, вона залишається рівною нулю, тому що заряди зв’язані і не можуть вільно рухатися. Разом з тим поляризація діелектрика вносить зміни в картину поля, тому що диполі створюють свої електричні поля, які накладаються на зовнішнє поле.

Розглянемо поле точкового заряду в діелектрику. Обмежимо точковий заряд довільною замкненою поверхнею . Під дією поля відбувається поляризація діелектрика, при цьому частина диполів перерізається замкненою поверхнею (рис.1.12.).

Дана обставина приводить до того, що всередині замкненої поверхні крім вільного заряду з’явиться від’ємний зв’язаний заряд , тому що частина позитивних зарядів “перерізаних” диполів залишилась за межами замкненої поверхні.

Рисунок 1.12 В зв’язку з цим можна розглядати поле в діелектрику як накладання двох полів у пустоті – поля від вільного заряду і поля від зв’язаного заряду .

Згідно з теоремою Гаусса

, (1.23)

яка вказує на те, що наявність діелектрика послаблює електричне поле.

Визначимо величину зв’язаного заряду . В цю величину входять заряди тих диполів, які перерізані замкненою поверхнею . Такі диполі знаходяться на відстані від цієї поверхні, яка не перевищує . Тому весь об’єм, в якому розміщені ці диполі, дорівнює . В зв’язку з тим, що в одиниці об’єму знаходиться диполів, то всього поверхнею буде перерізано

диполів. Позначимо заряд одного диполя через , тоді

.

Врахувавши (1.20) і (1.22) отримаємо

. (1.24)

В цьому випадку (1.23) прийме вигляд

або

.

В лівій частині цієї рівності інтегрування здійснюється по одній і тій же поверхні, тому

. (1.25)

Позначають підінтегральну функцію

(1.26)

і називають вектором електричного зміщення. Одиницею вимірювання вектора електричного зміщення , так само як і вектора поляризації є кулон на квадратний метр .

Для ізотропного середовища з урахуванням (1.23) можна записати

. (1.27)

Отже, діелектрична проникність ізотропного середовища

.

Теорему Гаусса (1.25) з урахуванням (1.27) можна записати у вигляді

. (1.28)

Якщо поле створено не точковим зарядом, то аналогічно (1.18)

. (1.29)

Останнє співвідношення встановлює рівність потоку вектора електричного зміщення через будь-яку замкнену поверхню величини вільного заряду, що охоплює цю поверхню. Вираз (1.29) називають узагальненою теоремою Гаусса в інтегральній формі, тому що її можна застосувати для будь-якого середовища, не тільки для однорідного.

Застосувавши до (1.29) теорему Остроградського-Гаусса, отримаємо узагальнену теорему Гаусса в диференціальній формі

. (1.30)

Таким чином встановлено, що в діелектрику, який розміщено у зовнішньому полі, за рахунок явища поляризації створюється внутрішнє поле, яке послаблює зовнішнє поле. Ступінь цього послаблення характеризує діелектрична проникність речовини .

При великих напруженостях зовнішнього поля внутрішні сили, які зв’язують заряди в молекулах діелектрика, можуть виявитися недостатніми. З’являться вільні заряди. Діелектрик втрачає свої властивості – відбувається пробій діелектрика. Значення напруженості електричного поля, при якому пробивається діелектрик називається пробійною напруженістю або електричною міцністю діелектрика.

 

 

1.5 Потенціал електростатичного поля

 

Напруженість електричного поля являє собою силову характеристику електричного поля в даній точці, але в зв’язку з тим, що електричне поле має здатність здійснювати роботу, то для характеристики поля вводять скалярну величину, яка зв’язана з енергетичним станом поля.

Припустимо, що є електричне поле, яке створене точковим зарядом (рис.1.13).

Розглянемо роботу сил поля на переміщення пробного заряду з точки 1 в точку 2 на деяку відстань. На пробний заряд діє сила

,

тому для його переміщення на відстань поле виконує роботу

Рисунок 1.13 ,

де через позначено вектор, який за величиною дорівнює елементарній відстані і направлений по дотичній до цієї відстані в сторону переміщення заряду . Кут – кут між векторами і .

В зв’язку з тим, що вектори напруженості і елементу відстані не збігаються, то робота визначається скалярним добутком цих векторів.

Вся робота, яку виконує поле, при переносі заряду з точки 1 в точку 2 визначається

.

Робота, яка витрачається силами поля на переміщення одиничного позитивного заряду, називається різницею потенціалів або напругою між точками 1 і 2

. (1.31)

Знайдемо потенціал точки 1

. (1.32)

Якщо прийняти потенціал точки 2 рівним нулю , то потенціал довільної точки поля можна визначити як роботу, яка витрачається силами поля, на переміщення одиничного позитивного заряду з даної точки поля в точку, потенціал якої прийнято рівним нулю. Часто за точку нульового потенціалу приймають точку, віддалену в нескінченність, або точку землі. Напруженість і потенціал вимірюють у вольтах .

Нехай в електростатичному полі переміщується точкове тіло з зарядом по замкненому контуру 1а2b1 (рис.1.14).

Рисунок 1.14

 

На тих ділянка шляху, де () робота позитивна, тобто виконується за рахунок сил поля. На ділянках шляху де () робота від’ємна, тобто виконується зовнішніми силами проти сил поля. Сумарна робота, яка витрачається на переміщення тіла з зарядом по всьому замкненому контуру повинна дорівнювати нулю.

В протилежному випадку завжди можна було б повторити обхід контуру будь-яку кількість разів і отримати при кожному обході кінцеву позитивну роботу, вертаючись кожен раз у вихідну точку, що суперечить закону збереження енергії.

Отже,

або . (1.33)

В електростатичному полі лінійний інтеграл від напруженості поля, взятий вздовж любого замкненого шляху, дорівнює нулю. Це означає, що різниця потенціалів між двома точками не залежить від шляху інтегрування. Дійсно (рис.1.14),

.

Звідки

.

Поля, для яких виконується співвідношення (1.33), називають потенціальними.

Застосуємо до (1.33) теорему Стокса (В.28)

.

В зв’язку з тим що поверхня, яка обмежує контур інтегрування не дорівнює нулю, то

. (1.34)

Якщо ротор деякої векторної функції відмінний від нуля в довільній точці, то ця обставина є ознакою існування навколо цієї точки вихрів вектора цієї функції, тобто замкненості його силових ліній. Оскільки ротор вектора в будь-якій точці поля завжди дорівнює нулю, то це свідчить про те, що силові лінії напруженості поля не замкнені. Раніше було показано, що силові лінії вектора завжди починаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних.

Знайдемо потенціал точки поля, що створене точковим зарядом, на відстані від місця знаходження заряду, прийнявши рівним нулю потенціал нескінченно віддаленої точки (рис.1.13). У відповідності з (1.32)

.

В зв’язку з тим, що різниця потенціалів не залежить від шляху інтегрування, інтегрування здійснимо вздовж радіуса . При цьому напрямок вектора напруженості поля і елементу відстані збігаються і тому скалярний добуток перетворюється у звичайний добуток . Отже

.

Напруженість поля точкового заряду (1.4)

,

тому

.

Звідки

. (1.35)

Якщо електричне поле створене декількома точковими зарядами, то згідно з принципом накладання, потенціал точки визначається як алгебраїчна сума потенціалів даної точки від кожного заряду окремо

. (1.36)

Якщо поле створене зарядженим тілом з об’ємною густиною , то

. (1.37)

В електростатичному полі завжди можна виділити поверхні, в яких потенціали точок мають однакові значення. Такі поверхні називаються еквіпотенціальними. Лінії, що отримуються при перерізі цих поверхонь будь-якою площиною, називаються еквіпотенціальними лініями. На рисунках еквіпотенціальні лінії проводять таким чином, щоб різниця потенціалів між сусідніми лініями залишалась постійною. Рівняння еквіпотенціальної поверхні має вигляд

.

Картина поля стає особливо наочною, коли разом зображені силові і еквіпотенціальні лінії. На рис.1.15 наведена картина поля, створеного точковим зарядом .

Суцільні лінії – силові лінії, пунктирні – еквіпотенціальні, які являють собою кола, тому що еквіпотенціальні поверхні такого поля є сферичними поверхнями.

Рисунок 1.15

Покажемо, що силові лінії завжди пересікають еквіпотенціальні поверхні під прямим кутом.

Візьмемо на еквіпотенціальній поверхні дві точки і , які знаходяться одна відносно одної на малій відстані , так що у всіх точках цього відрізку напруженість можна вважати величиною ста-

Рисунок 1.16 лою (рис.1.16).

Різниця потенціалів між точками і визначається

.

Потенціали точок і однакові за визначенням (поверхні еквіпотенціальні), тому

.

 

Ні , ні нулю не дорівнюють, тому

і .

 

1.6 Зв’язок між потенціалом і напруженістю поля

 

Потенціал електростатичного поля в конкретній точці можна знайти за (1.32). Визначимо потенціали різних точок поля як функції координат , прийнявши потенціал точки 2 за сталу величину (). В цьому випадку

. (1.38)

В зв’язку з тим, що верхня межа інтеграла змінна величина, а значення потенціалу можна розглядати як постійну інтегрування, то (1.38) зручно записати у вигляді невизначеного інтеграла

(1.39)

з наступним визначенням постійної інтегрування в залежності від умов конкретної задачі.

Отже, (1.39) дозволяє знайти потенціал поля як функцію координат, якщо відомий закон зміни напруженості поля від координат.

В багатьох випадках необхідно розв’язати обернену задачу, тобто за відомою потенціальною функцією необхідно знайти напруженість поля.

З цією метою розглянемо дві близько розташовані еквіпотенціальні поверхні на відстані одна від одної (рис.1.17).

Рисунок 1.17

 

Різниця потенціалів між цими поверхнями визначається

.

Виберемо найкоротший шлях інтегрування між точками 1 і 2 по нормалі до еквіпотенціальних поверхонь та приймемо, що напруженість поля при малих для всіх точок шляху інтегрування однакова. В цьому випадку числове значення приросту потенціалу

,

в зв’язку з тим, що напрямки шляху інтегрування і напруженості поля збігаються на протязі всього шляху інтегрування і .

Якщо перейти до нескінченно малих величин і ввести одиничний вектор нормалі (рис.1.17), який направлений в сторону зростання потенціалу (назустріч вектору ), то в векторній формі

. (1.40)

Швидкість зміни скалярної функції, взятої в напрямку її найбільшого зростання, називається градієнтом цієї функції (див. вступ), тому

або . (1.41)

В прямокутній системі координат (В.12)

.

Звідси визначаються проекції напруженості поля по осях координат

. (1.42)

Останній вираз показує, що потенціал поля як функція координат є неперервною функцією, тому що для іншого випадку в тих точках, де потенціальна функція мала б розрив, напруженість поля прийняла б нескінченне значення, що немає фізичного тлумачення.

 

1.7 Рівняння Пуассона і Лапласа

 

Якщо відомий закон розподілу об’ємної густини заряду в деякій області простору , то вираз (1.37)

принципово дозволяє знайти потенціальну функцію, а потім за (1.42) складові напруженості електричного поля, тобто повністю описати картину поля. Проте шлях прямого визначення потенціалу за (1.37) не завжди зручний, тому що необхідно виконувати дуже складні обчислення. Часто задача розв’язується значно простіше, якщо її звести до розв’язування диференціального рівняння.

Для отримання такого диференціального рівняння підставимо в диференціальну форму теореми Гаусса

,

вираз напруженості через потенціал (1.41)

.

Тоді отримуємо

. (1.43)

Запишемо отримане рівняння через оператор набла

або

. (1.44)

Рівняння (1.44) називають рівнянням Пуассона і воно є основним рівнянням електростатичного поля.

В областях поля, в яких відсутні вільні заряди () рівняння (1.44) матиме вигляд

(1.45)

і називається рівнянням Лапласа.

Оператор називають оператором Лапласа або лапласіаном і інколи позначають також символом .

Запишемо рівняння (1.44) в прямокутній системі координат. У вступі було показано, що

,

тому (1.44) подамо у вигляді

.

Виконавши почленно перемноження та врахувавши співвідношення (В.3) і (В.4), отримаємо рівняння Пуассона

(1.46)

та рівняння Лапласа

. (1.47)

Наведемо вирази для в циліндричній

, (1.48)

і сферичній

, (1.49)

системах координат.

Рівняння Пуассона і Лапласа, як будь-які інші диференціальні рівняння в частинних похідних, задовільняють множинам різних функцій, які представляють частинні розв’язки. В склад таких функцій входять невизначені постійні, які знаходять із граничних умов. Під граничними розуміють умови, яким підпорядковані поля на границях розділу середовищ з різними електричними властивостями.

 

1.8 Граничні умови на поверхні розділу двох діелектриків

 

Розглянемо границю двох діелектриків з діелектричними проникностями і відповідно (рис.1.18).

Для більш повного узагальнення припустимо, що вздовж поверхні розділу розташовано вільний заряд з поверхневою густиною . Проведемо замкнену циліндричну поверхню так, щоб вона пересікала поверхню розділу (рис.1.18) і вирізала на зарядженій поверхні площину з поверхневим зарядом на ній.

Згідно узагальненій теоремі Гаусса виконаємо інтегрування по циліндричній поверхні

.

Рисунок 1.18

 

Розділимо поверхню інтегрування на три частини – дві основи циліндра () і бокова поверхня (). Тому

.

Виберемо площину настільки малою, щоб вважати для всіх точок цієї площини вектор однаковим.

Висоту циліндра приймемо нескінченно малою величиною, такою, що третім членом в останньому рівнянні можна знехтувати.

В цьому випадку

, ,

де , – нормальні складові векторів і (рис.1.18).

Знак мінус біля другого інтеграла з’явився тому, що вектор елементу завжди направлений із замкненої поверхні. Тому вектори і направлені в протилежні сторони.

Отже

або

. (1.50)

При наявності вільних зарядів на поверхні розділу двох діелектриків нормальна складова вектора стрибком змінюється на величину поверхневої густини вільних зарядів.

Якщо на поверхні розділу вільні заряди відсутні (), то

, (1.51)

тобто на поверхні розділу двох діелектриків при відсутності вільних зарядів нормальні складові векторів електричного зміщення рівні між собою (неперервні).

Замінивши складові вектора на складові вектора напруженості , отримаємо

(1.52)

або

. (1.53)

Нормальні складові напруженості електричного поля на границі діелектриків обернено пропорціональні діелектричним постійним.

Для отримання ще однієї граничної умови, проведемо прямокутник перпендикулярно поверхні розділу (рис.1.19).

Візьмемо лінійний інтеграл від вектора напруженості вздовж замкненого контуру 1 – 2 – 3 – 4 за напрямком, який збігається з напрямком руху часової стрілки. Такий інтеграл згідно з (1.33) дорівнює нулю. Тому розіб’ємо контур інтегрування на чотири ділянки і отримаємо

.

 

Рисунок 1.19

Припустимо, що відрізки ділянок 1 – 2 і 3 – 4 такої малої довжини, що вектор напруженості можна вважати однаковим по його довжині. Відрізки 2 – 3 і 4 – 1 можна вибрати нескінченно малими. Тому перший і четвертий інтеграли дорівнюють нулю. Тоді

або

.

Знак мінус з’явився тому, що на ділянці 3 – 4 напрямок обходу і напрямок вектора протилежні. В зв’язку з тим, що і є дотичні (тангенціальні) складові векторів напруженості , то

. (1.54)

На границі розділу двох діелектриків дотичні (тангенціальні) складові векторів напруженості електричного поля рівні між собою (неперервні).

Співвідношення (1.53) і (1.54) дозволяють знайти ступінь зміни напрямку векторів напруженості поля при переході через границю розділу (заломлення поля).

Виділимо невелику плоску ділянку границі розділу (рис.1.20) діелектриків.

Рисунок 1.20

 

Позначимо кут між напрямом вектора напруженості і нормаллю до поверхні розділу символом .

Граничні умови при відсутності вільних зарядів

,

.

З рис.1.20 видно, що

, ,

, .

Підставимо ці значення в граничні умови і отримаємо

,

.

Поділимо перше рівняння на друге і матимемо

або

. (1.55)

Тангенси кутів падіння () і заломлення () відносяться як діелектричні проникності середовищ.

Зауважимо, що неоднакова кількість нормальних складових вектора напруженості електричного поля на межі двох середовищ означає, що кількість ліній поля вектора , яка приходиться на одиницю поверхні, неоднакова з однієї і з іншої сторони границі розділу. На поверхні розділу з’явились джерела ліній поля, які являють собою зв’язані заряди, що зумовлені неоднаковою здатністю середовищ до поляризації.

 

1.9 Граничні умови на поверхні розділу діелектрика

і провідника

 

Провідник відрізняється від діелектрика наявністю вільних зарядів, які під дією сил поля можуть вільно переміщатися. Внесемо незаряджений провідник в електростатичне поле з напруженістю . Під дією сил поля від’ємні заряди (електрони) переміщуються на поверхню провідника в сторону з більш високим потенціалом (рис.1.21).

Рисунок 1.21

Поверхня протилежної сторони провідника заряджається позитивно. Такий перерозподіл зарядів відбувається до тих пір, поки створюване внутрішніми зарядами поле всередині провідника не компенсує зовнішнє поле (). В результаті цього напруженість поля всередині провідника стане рівною нулю. Такий перерозподіл в провідниках під дією зовнішнього поля називається електростатичною індукцією.

Всі точки провідника будуть мати один потенціал. Якщо припустити, що між двома деякими точками провідника є різниця потенціалів, то під дією цієї різниці потенціалів почали би переміщуватися вільні заряди. В зв’язку з тим, що розглядається електростатичне поле (поле нерухомих зарядів), то таке припущення неможливе. Оскільки всі точки провідника мають однаковий потенціал, то його поверхня еквіпотенціальна. Тому вектор напруженості і електричного зміщення поля зовні провідника на його поверхні перпендикулярні поверхні провідника і не мають дотичних складових (рис.1.22).

Всередині провідника .

Рисунок 1.22 В результаті електростатичної індукції на поверхні провідника виявляється вільний заряд з поверхневою густиною . Тому з (1.50), врахувавши що , отримуємо

. (1.56)

Вектор електричного зміщення в довільній точці діелектрика, яка безпосередньо межує з поверхнею провідника, чисельно дорівнює поверхневій густині заряду цього тіла і направлений перпендикулярно до цієї поверхні.

Якщо провідник заряджений, то завдяки силам відштовхування однойменних зарядів вони розташовуються на поверхні так, щоб було відсутнє поле всередині провідника.

Якщо в провіднику, який знаходяться у зовнішньому електричному полі, видалити всю внутрішню частину, залишивши тільки тонку поверхню, то картина поля не зміниться. Поле, всередині провідника, що обмежена металевою оболонкою, відсутнє. Така провідна оболонка називається екраном. Вона екранує внутрішню частину провідника і все, що там знаходиться від зовнішніх електростатичних полів. Стіни такого екрана не обов’язково повинні бути суцільними, їх можна робити з металевої сітки.

 

1.10 Електрична ємність провідного тіла

 

Електричною ємністю тіла провідника називають його властивість накопичувати і утримувати на своїй поверхні електричний заряд при певній величині потенціалу .

Відношення величини заряду до потенціалу є мірою цієї властивості і позначається буквою С. Одиницею вимірювання ємності є фарада [Ф]. Отже,

, (1.57)

при цьому рівним нулю приймається потенціал точки, яка віддалена у нескінченість.

Електрична ємність ізольованого тіла залежить від геометричних параметрів цього тіла та від діелектричних властивостей середовища, в якому воно знаходиться.

Частіше кажуть про ємність між двома провідними тілами, які розмежовані діелектриком і несуть на собі рівні за величиною та протилежні за знаком заряди ( і ). В цьому випадку під ємністю між двома тілами розуміють відношення абсолютної величини заряду на одному з тіл до напруги між ними

, (1.58)

де .

Така ємність залежить від геометричних розмірів тіл, їхньої конфігурації, взаємного розташування та від діелектричних властивостей середовища.

Пристрій, який призначений для отримання певного значення ємності, називають конденсатором. Конденсатори можуть бути плоскі, циліндричні, сферичні та ін. Приклад розрахунку ємності наведено у другому розділі.

 

1.11 Енергія електростатичного поля

 

В електростатичному полі, створеному електричними зарядами, є певна кількість енергії, що розподіляється з різною густиною в об’ємі всього простору, на який розповсюджується дане поле. Ця енергія визначається роботою, яка витрачається зовнішніми силами на розподіл і переміщення зарядів. За рахунок цієї енергії електростатичне поле переміщує заряди і здійснює роботу. При цьому енергія поля зменшується. Якщо заряди переміщуються під дією зовнішніх сил, то енергія поля збільшується.

Для визначення кількості накопиченої в електростатичному полі енергії приймемо такі умови.

1. Потенціал поля і напруженість в нескінченно віддалених точках дорівнюють нулю.

2. Всі процеси створення електростатичного поля відбуваються досить повільно, так щоб можна було не враховувати магнітні поля, які виникають в процесі руху зарядів.

3. Величина енергії поля не залежить від того, яким шляхом воно створюється, тобто в якій послідовності переміщувались заряди.

Нехай система провідних тіл 1, 2, 3,...