Попереднє опрацювання результатів польових вимірювань у полігонометрії

11.4.1. Попереднє опрацювання лінійних вимірів

Загальна формула обчислення довжини ліній траверсної полігонометрії має вигляд:

(ПАЇ)

де п - кількість укладень мірного дроту в лінію, що вимірювалась; /₀ - довжина дроту між нулями шкал; п,, з,- - передній та задній відліки шкал; AS_k - поправка за компарування дроту; AS_h - поправка за перевищення між задньою та передньою шкалами дроту (під час кожного його вкладання); AS_t - поправка за різницю температур дроту під час вимірювання та компарування; d - домір,

Планові геодезичні мережі

частина лінії (d < /₀), виміряна рулеткою; Ad_k - поправка за компарування

рулетки; Ad_h - поправка за перевищення між кінцями доміру; Ad_t - поправка за

різницю температур рулетки під час вимірювання та компарування; AS_H -

поправка за редукування (приведення) лінії до рівня моря; AS_r__K - поправка за

редукування на площину проекції Гаусса-Крюгера.

Якщо лінія виміряна світловідцалеміром, то загальна формула її довжини має вигляд:

(ІІ.4.2)

де S_t - середнє арифметичне значення відліків у режимі "точно" із урахуванням

відомої кількості кілометрів; AS_h - поправка за приведення нахиленої лінії до

горизонту; AS_n - поправка за середні температуру Т та тиск повітря Р

вздовж лінії; AS,- поправка за дрейф частоти кварцового генератора від

номінальної частоти; AS_y - поправка за циклічну похибку; AS_H та AS_r__K, як і у

(П.4.1) - поправки за редукцію лінії S на рівень моря та на площину проекції Гаусса-Крюгера.

11.4.2. Редукування довжин ліній на рівень моря і на площину Гаусса-Крюгера

Відповідно до рис. П.4.1 лінія S між точками А та В розташована на земній поверхні. Середня висота лінії:

(П.4.3)

S₀ - проекція цієї самої лінії на рівні моря; О - центр Землі; R₃ - радіус Землі. Необхідно знайти AS_H - різницю між S та S₀:

(П.4.4)

Виконаємо просте, але достатньо точне розв'язання цієї задачі. Проведемо через точку В_х пряму, паралельну до АА_Х. Тоді відрізок В'В = AS_H.

Трикутники АБО та В'ВВ_Х - подібні. З їхньої подібності можемо записати:

AS_H S

сер J сер ЗВІДКИ

ASH=Hcep.——-. (ІІ.4.6) К3 + Нсер

(11.4.5)

Розділ II

Враховуючи, що R₃ у багато разів більший за Н_сер, тобто R₃»Н_сер. отже, Н можна знехтувати, тоді:

S

(П.4.7)

Рис. 11.4.1. Редукування лінії S на рівень моря

Отже,

S₀=S-AS_H. (II.4.8)

Розглянемо, з якою точністю необхідно знати Н та R₃. Продиферен-ціюємо (И.4.7) за змінними Н_сер та R₃:

d(AS_H) S MA$_H)

Квадрат середньої квадратичної похибки поправки становитиме:

(П.4.9)

Нехай 5_тах = 3000 м, m_R = 300 м, Н_сер= 3000 м, т_н = 1 м. Тоді

отримаємо w^ = 0,47 мм. Другий член формули (П.4.9) дає 0,066 мм. Отже, радіус Землі можна знати з похибкою 300 м, але Н_сер потрібно знати з точністю 0,5 м, тоді похибка поправки т^ становитиме 0,24 мм при величині поправки

AS

Н

-1,4126 м.

Планові геодезичні мережі

Перейдемо до редукування лінії S на площину проекції Гаусса-Крюгера. Як відомо, суть цієї проекції можна зобразити геометрично, якщо Землю вважати сферою й частинами (6°-градусними зонами) проектувати на циліндр, радіус якого дорівнює радіусу Землі R₃ (рис. П.4.2). Циліндр, як відомо, розрізавши по твірній, можна розгорнути у площину.

На цьому рисунку ZAZ' - осьовий меридіан шестиградусної зони, який дотикається до циліндра. Від осьового меридіана через 3° показано пунктирами ще два меридіани. Ці меридіани не дотикаються до циліндра. Між осьовим та лівим і правим (пунктирними) меридіанами показана пунктиром лінія S₀ на сфері, яка також (окрім точки А) не дотикається до циліндра. Меридіани, показані пунктиром, спроектуємо на циліндр; вони видовжаться, дотикатимуться циліндра та показані суцільними лініями. Вся зона у проекції дещо збільшилася. Лінія S₀ спроектувалася на циліндр, видовжилась, і дорівнює S. Вона показана суцільною, потовщеною кривою. Лінія S на всій довжині дотикається до циліндра. Під час проектування сфери на поверхню циліндра Гаусе поставив умову, щоб зображення малої ділянки на циліндрі було подібне до відповідної ділянки на кулі. Кути між відповідними напрямками на кулі та циліндрі повинні бути однаковими. Таку проекцію називають конформною (рівнокутною), а всі лінії такої проекції - довші, ніж на сфері. На рис. П.4.2 для наочності показано ще одну лінію S^ у меридіані, що становить з осьовим кут в 90° і розміщена у перетині сфери площиною XOY. Ця лінія S'₀ не розміщена у шестиградусній зоні. Спроектуємо її радіусами-векторами на твірну циліндра, отримаємо лінію S', кінці якої мають ординати Y_x та Y₂. Оскільки лінія S₀ не у шестиградусній зоні, то її проекція S значно довша. У різних точках меридіана ZQZ', з віддаленням від полюса Z, спотво­рення зростають, а в точці Q (на екваторі) спотворення сягають нескінченності. Рис. И.4.2 дає тільки геометричне уявлення суті проекції, що вже зазначалось.

Насправді, оскільки Земля не сфера, то завдання проектування ускладнюється й розв'язується в курсі сферичної геодезії. Формула видовження ліній AS_r__K складна, але видовження можна виразити доволі точно першим членом цієї формули:

(П.4.10)

де

(ПАН)

Розділ II

Рис. 11.4.2. До пояснення геометричної суті проекції Гаусса-Крюгера

Зауважимо, що поправки за редукування ліній на рівень моря на території України завжди від'ємні; навпаки, поправки редукування ліній на площину Гаусса-Крюгера завжди додатні. Завжди від'ємними є також поправки за приведення нахилених ліній до горизонту.

11.4.3. Опрацювання результатів кутових вимірювань на окремому геодезичному пункті

Нехай на деякому пункті кути вимірювали способом кругових прийомів. Припустимо, на цьому пункті було k напрямків, а під час вимірювання вико­нано п прийомів. Завданням попереднього опрацювання результатів вимірю­вань є встановити точність вимірювань. Визначимо середню квадратичну похибку вимірювання кутів на цьому пункті. Звернемося до рис. ІІ.4.3.

Можемо записати матрицю виміряних кутів:

Планові геодезичні мережі

 

Рис. 11.4.3. До вимірювання кутів на пункті Т (для k напрямків ma n прийомів)

Оскільки кутів на один менше ніж напрямків, то матриця кутів матиме (к -1) стовпчиків та п рядків. Усіх кутів буде (к - 1) • п. Визначимо середні значення одних і тих самих кутів, кожний з яких виміряний п разів, та знайдемо їхні найімовірніші похибки 5^.

Лг—1

Матриця похибок також матиме п ■ (к -1) похибок. Проте виміряти всі кути одним прийомом необхідно. Тому надлишкових прийомів буде (п -1), а надлишкових вимірювань (п - 1)(к -1). Тому формула (формула Бесселя) серед­ньої квадратичної похибки, обчислена за найімовірнішими похибками вимірю­вання 5,₇, матиме вигляд:

(ПА 12)

11.4.4. Оцінка точності лінійних вимірювань за результатами польових робіт

Припустимо, що під час польових робіт створена мережа поліго-нометричних ходів, які за формою близькі до витягнутих та мають поздовжні зсуви t\. Кількість ходів./V, їхні довжини L_i. Тоді маємо:

Розділ II

Поздовжні зсуви /,' викликані як випадковими, так і систематичними похиб­ками. Виключимо систематичні похибки. Для цього спочатку визначимо коефіці­єнт систематичного впливу X, тобто систематичну похибку на одиницю довжини:

(П.4.13)

Тепер знайдемо поздовжні зсуви, викликані тільки випадковими похибками:

(ПА 14)

Будемо мати ряд таких (випадкових) похибок t_{, t₂, t₃,...t_n. Для кожного з ходів характерний певний коефіцієнт випадкового впливу Щ, тобто випадкова похибка на одиницю довжини. Можемо записати:

Випадкові похибки /, матимуть різні знаки. Щоб позбутися різних знаків, піднесемо останні рівняння до квадратів:

Якщо ходи прокладають однаковими за точністю приладами, а лінії вимірюють однаковими методами, тоді значення ц, можна вважати рівно-точними. Знайдемо найімовірніше значення д²:

або

(ІІ.4.15)

Тепер ми знаємо коефіцієнти випадкових \і та систематичних X впливів на результати лінійних вимірювань. Це дає змогу розрахувати сумарну похибку m_s. будь-якої лінії S_t або похибку m_L будь-якого ходу Ц:

(ІІ.4.16)

Планові геодезичні мережі

Зауважимо: ми виконали оцінку точності за результатами польових робіт, так звану постеріорну оцінку. Для підвісних мірних приладів та для світловіддалемірів заздалегідь (до виконання вимірювань) відомі значення коефіцієнтів (J. та X. Це дає змогу наперед, до вимірювань, підрахувати очіку­вані похибки, тобто виконати апріорну оцінку. Останнє, своєю чергою, дає змогу підібрати такі прилади та методи для виконання вимірювань, щоб мати мінімальні матеріальні затрати й задовольнити всі вимоги замовника робіт.

11.4.5. Оцінка точності кутових вимірювань за результатами польових робіт

Оцінку точності кутових вимірювань виконаємо аналогічно, як і оцінку лінійних вимірювань. Нехай маємо./V полігонометричних ходів, кутові не-в'язки яких fa., а кількість кутів у ході (и_г +1), де п_і - кількість ліній. Тоді

запишемо:

ходи: нев'язки:

кількість кутів у ході:

Будемо вважати, що кути містять переважно випадкові похибки, а сис­тематичні похибки зведені до мінімуму. Позначимо сумарну випадкову похибку окремого кута в ході mn.. Тоді можемо записати формули

/р, ^=тр, ■ \Ч ⁺¹!/р₂ ^=7Ир2 ■>/^и2 ^{+ 1};./рз ^=mh • V"3 +1;

або

і] ті «2 "^{г 1} "з +1 «дг

Знайдемо квадрат найімовірнішої похибки вимірювання кута, вважаючи, що кути вимірювались рівноточно:

(11.4.17) Або:

(П.4.18)

Розділ II

Для теодолітів (тахеометрів) також відомі середні квадратичні похибки вимірювання кута одним прийомом. Тому можна виконувати апріорну та постеріорну оцінки точності вимірювань. Проте зауважимо, що остаточну оцінку точності вимірювання кутів та ліній здійснюють на основі зрівнова­ження мереж.

11.5. Прив'язувальні роботи у полігонометрії

11.5.1. Види та завдання прив'язувальних робіт. Способи прив'язування

Розрізняють два види прив'язувальних робіт:

I. Прив'язування пунктів полігонометрії до пунктів тріангуляції, трила-
терації, космічних мереж або до пунктів полігонометрії старших класів.

II. Прив'язування пунктів полігонометрії до постійних предметів на
місцевості.

Задача І виду прив'язування - передати координати та напрямки з уже наявних, раніше закладених геодезичних пунктів, на пункти полігонометричних мереж, що створюються.

Задача II виду прив'язування - відшукування полігонометричних пунктів на місцевості. Існує багато способів прив'язування І та II видів. Проте найтиповішими прив'язуваннями І виду є:

1. Безпосереднє поєднання пунктів полігонометрії з раніше закладеними пунктами тріангуляційних мереж або старших пунктів полігонометрії. Центри знаків наявних пунктів одночасно стають і центрами знаків нових поліго­нометричних мереж. Зрозуміло, що координати цих нових пунктів такі самі, як і координати раніше закладених.

2. Прив'язування до близьких пунктів, але недоступних або важко-доступних пунктів тріангуляції. Такі пункти зазвичай розташовані на високих спорудах. Наприклад, основи хрестів на церквах є такими пунктами (мають відомі координати). Прив'язування до таких пунктів називають "знесенням координат".

3. Прив'язування до далеких пунктів тріангуляції (виконуються прямими, оберненими та комбінованими засічками).

Прив'язування II виду виконуються в кожному конкретному випадку різними способами, залежно від наявності постійних (фундаментальніших, ніж пункти полігонометрії) предметів та споруд на місцевості. Від стабільних споруд вимірюють віддалі до пунктів так, щоб за цими вимірюваннями можна

Планові геодезичні мережі

оуло з контролем знайти ту точку на місцевості, де закладався полігоно-метричний знак. У забудованих територіях такими місцевими предметами є бу­динки, перехрестя вулиць, опори дротів тощо; отже, прив'язування не викликає ускладнень. У малоконтурній місцевості таке прив'язування ускладнюється, доводиться виконувати прив'язування до значно віддаленіших предметів.

11.5.2. Передавання координат із високих (недоступних) точок на Землю (знесення координат)

Щоб виконати таке прив'язування, необхідно, щоб для точки, координати якої визначаються, було видно не тільки високу (близьку) точку з відомими координатами, але, як мінімум, ще одну точку (зазвичай пункт тріангуляції, також з відомими координатами).

 

Рис. 11.5.1. Знесення координат із недоступної (високої) точки Т_х на пункт полігонометрії Ру

Задачу знесення координат поділимо на три частини:

1. Визначення горизонтальної віддалі S (рис. ІІ.5.1) між точками 7j та Р_х.

Виміряємо два базиси в_х та в₂ ■ Базиси є сторонами трикутників 7J/J1,

Виміряємо горизонтальні кути а, Р, у, \|/ та ф. Для вищеназваних три­кутників за теоремою синусів можемо записати:

(П.5.1)

На підставі (П.5.1) знаходять два значення S_: та S₂. Виводять середнє значення S.

2. Визначення дирекційного кута а_г п лінії 7J-/J.

Розділ II

Для трикутника Т{Г₂Р\ запишемо теорему синусів:

(П.5.2)

sin ф sin \і S ■ sin ф

За (ІІ.5.2) знаходимо кут ц: ц = arcsin

(П.5.3)

в S

(ІІ.5.4) (П.5.5)

Із цього самого трикутника визначимо кут А,:

Далі знаходимо дирекційний кут щ ■ п:

і 3. Визначення координат Id, ї».

Знаючи координати точки 7] (X_х, Y_]), довжину лінії 5^і та її дирекційний кут <х,_т _р ч і, розв'язавши пряму геодезичну задачу, знайдемо шукані

координати точки Хп, Y_p.

АХ = S ■ cos a

(П.5.6)

(П.5.7)

//.5.3. Пряма одноразова та багаторазова засічки

Нехай для визначення координат точки Р (рис. ІІ.5.2) з кожного з відомих пунктів 7], Г₂, Т₃,..., T_N (координати всіх цих пунктів відомі) було зроблено ві­зування на шукану точку Р та виміряні кути р^, Р₂ > Рз > •••> Р; ^м>^ж лініями з відо­мими дирекційними кутами а^, а_в, а_с,..., a_N та напрямками на точку Р.

Маючи координати всіх чотирьох точок, чотири дирекційні кути та чотири виміряні кути, можна визначити по шість значень Х_Р та Y_P, комбінуючи точки з відомими координатами по дві: 1,2; 1,3; 1,4; 2,3; 2,4; 3,4. Визначення найімовірніших координат точки Р(х_Р,ї_Р) ^за 4^ими вимірюваннями називають прямою багаторазовою засічкою. Проте, як зрозуміло з тільки що сказаного, достатньо мати дві відомі точки, наприклад, 7] та Т₂, щоб знайти

координати шуканої точки Х_Р та Y_P. Справді, розглянемо рис. П.5.3. У

Планові геодезичні мережі

трикутнику Ту Т₂ Р відомі три елементи. Це означає, що трикутник можна

розв язати та знайти інші три елементи.

(II. 5.8)

Рис. 11.5.2. Пояснення суті прямої багаторазової засічки

Рис. 11.5.3. До пояснення суті прямої одноразової засічки

З (II.5.8) знайдемо довжини ліній 5, та S₂ ■ Далі визначимо дирекційні кути цих ліній:

^а(Ту-р) ^=а(Ту-т₂) ~Рі' ^а{т₂-Р) ^=а(т₂-Ту) ⁺Р2 ■ (П.5.9)

Координати точки P(x_p,y_p) можна визначити два рази (із контролем): один раз - користуючись точкою 7j, а другий раз - точкою Т₂.

(II. 5.10) (ІІ.5.11)

Розділ II

Визначення координат точки Р за двома відомими точками та виміря­ними в цих точках кутами pj та Р₂ називають одноразовою прямою кутовою засічкою. Якщо виконані польові вимірювання необхідні для прямої багато­разової засічки, тоді ця задача розв'язується так. Вибирають дві точки з відомими координатами, бажано так, щоб лінії візування на шукану точку Р перетиналися під кутом, близьким до прямого. Розв'язують одноразову пряму засічку й знаходять наближені координати точки Р - Х₀ та Y₀. Потім за спосо­бом найменших квадратів визначають найімовірніші поправки Ь_х та 5_Y до наближених координат, тобто знаходять

(ІІ.5.12)

Зрозуміло, що таке розв'язання задач позбавляє необхідності декілька разів розв'язувати пряму одноразову засічку.

11.5.4. Обернена одноразова кутова засічка (задача Потенота)

Розглянемо суть цієї задачі. Нехай маємо три точки 7j, T₂ та Г₃ з

відомими координатами (рис. П.5.4), а координати четвертої точки необхідно визначити. Теодоліт встановлюють тільки в шуканій точці Р і вимірюють два кути між напрямками на відомі точки, тобто кути (3j та р₂ • Така задача нази­вається оберненою одноразовою кутовою засічкою.

 

Рис. 11.5.4 Обернена одноразова засічка (задача Потенота)

Розв'яжемо цю задачу. Припустимо, що координати точки P(X,Y) знай­дені. Тоді для визначення дирекційного кута а напрямку Р-Т_{ можемо запи­сати формулу

_{/ga =} JLZL. (II.5.13)

Хх-х

Планові геодезичні мережі

Далі знайдемо дирекційні кути двох інших напрямків (рис. ІІ.5.4):

(II. 5.14)

(ІІ.5.15) (П.5.13) запишемо дещо в іншому вигляді для кожного із трьох напрямків:

(II. 5.16)

Маємо систему із трьох рівнянь. У цій системі три невідомі коорди­нати X, Y та дирекційний кута. Отже, система рівнянь може бути розв'язана і визначені невідомі X, Y та а. Не вдаючись у подробиці перетворень рівнянь системи (ІІ.5.16), подамо тільки кінцеві формули для обчислення дирекційного кута а та координат X, Y.

(ІІ.5.17)

Знаючиа, визначимо дирекційні кути (Xj та а₂ за (II.5.14) та (II.5.15). Формула визначення X має вигляд:

(П.5.18)

Знаючи X, знайдемо Y, скориставшись одним з рівнянь системи (II.5.16). Візьмемо друге рівняння цієї системи і запишемо його так:

(ІІ.5.19)

Обернена одноразова засічка (задача Потенота) дуже широко застосо­вується у геодезичній практиці, оскільки для визначення координат точки достатньо виміряти 2-3 кути на одній точці, на що витрачається не більше від 10 хвилин. Існує більш ніж сто методів аналітичного та графічного розв'язання цієї задачі. Студентам відомі з курсу "Топографії"" графічні методи розв'язання цієї задачі, запропоновані Бесселем, Леманом. Відомо також, що ця задача не має розв'язку, якщо шукана точка розташована на колі, на якому розміщені також три точки з відомими координатами. Уже цей факт вимагає візувати з шуканої точки не на три, а мінімум на чотири відомі точки. Одноразова обернена засічка перетворюється на багаторазову обернену засічку. Така засічка, як і багаторазова пряма засічка, уможливлює кількаразове визначення координат шуканої точки, тобто також постає питання визначення найімо­вірніших поправок 5^ та 5_У до наближених координат Х₀, Y₀. Визначають 8^

Розділ II

та b_Y за методом найменших квадратів, і широко застосовують диференційні

формули дирекційних кутів. Ці формули виведені в наступному параграфі. Зауваження: у попередніх параграфах розглядалися кутові засічки, характерні для методу тріангуляції. Аналогічно можуть виконуватися лінійні засічки, характерні для трилатерації, коли вимірюються не кути, а лінії.

11.5.5. Диференційні формули дирекційних кутів

Допустимо, що лінія АВ має координати її кінців А(Х_А, Y,), В(Х_в, Y_B), а її дирекційний кут - а. Нехай точка А не змінює свого розміщення ("тверда" точка). У цій точці стоїть теодоліт. На "твердих" точках стоїть теодоліт, коли виконується пряма засічка. Припустимо далі, що точка В дещо змінила своє положення, а її координати стали X_в + dX_в; Y_B + dY_B. Тоді дирекційний кут також змінить своє значення на da. Потрібно знайти зв'язок між змінами координат та змінами дирекційних кутів. Формули, що виражають такий зв'язок, називаються диференційпими формулами дирекційних кутів.

Можливий інший випадок, коли, навпаки, точка А дещо змінила коор­динати. Нехай ця точка "шукана" (шукаємо її найімовірніші координати). Точка В - відома ("тверда"). Теодоліт встановлено в точці А. Цей випадок відповідає оберненій засічці.

(XB+dXB) (YB+dYB)

(YA+dYA)

пряма засічка В

((теодоліт)
А відома

(Хл> YjO "тверда'

11

обернена засічка

відома В "тверда " Р

a Nda

1

шукана (теодоліт)

III

мережа точок що визначається
В (X_B,Y_B) _В'

(Хл+dXj) (YA+dY,

шукана (теодоліт)

(XaJa)

шукана (теодоліт)

Рис. 11.5.5. До пояснення суті диференційних формул дирекційних кутів

Нарешті, загальний випадок, коли змінюються, уточнюються координати як точки А, так і точки В або усієї мережі точок. Теодоліт може встанов­люватись у будь-якій із цих точок. Нам потрібно вивести формули для двох

Планові геодезичні мережі

випадків (пряма та обернена засічки), а також загальну формулу. Скориста­ємося відомою формулою, аналогічною до (ІІ.5.13):

т= l^B~^Y* ■ (П.5.20)

Продиференціюємо цю формулу, вважаючи, що змінними є координати тільки точки В (випадок І):

1 da' (X_B-X_A)-dY_B-{Y_B-Y_A)-dX_B

(ІІ.5.21)

cos² a p' (Х_в - Х_А f

Оскільки: Х_в -Х_А = Scosa;Y_B -Y_A =5sina, то, враховуючи це (П.5.21), запишемо так:

1 da' _ S cos a d Y_B - S sin a dX_B

(II.5.22)

cos² a P* S² cos² a

Помноживши рівняння (ІІ.5.22) на cos a, матимемо для da':

» ff rr COS CX _ ff Sin OC._. _ _.

⁼ P --j-^dYB-p ~Y'^dXB- (П.5.23)

Введемо позначення:

(a) = -p"sinal
.J; ■ (И.5.24)

(o) = p cosa J

З урахуванням цих позначень (П.5.23) набуде кінцевого вигляду:

da = ^-dX_B+^-dY_B. (ІІ.5.25)

Для другого випадку, коли змінюються координати точки А, якщо розглядати (П.5.20), неважко зауважити, що координати точки А у цій формулі відрізняються від координат точки В знаками. Тому для другого випадку кін­цеву формулу можна записати за аналогією до (ІІ.5.25):

(а) (Ь)

da~-—dX_A-—dY_A. (II.5.26)

Відповідно для загального випадку матимемо формулу

fa) lb) (a) (b)

da = -^-dX_A - — dY_A + — dX_B +^-dY_B. (II.5.27)

J О О О

Як бачимо з цих формул, щоб знайти малі зміни дирекційних кутів da, необхідно, крім зміни координат точок, ще знати довжини ліній 5_; та кое­фіцієнти (а), і (Ь)..

Розділ II

11.5.6. Обернена багаторазова кутова засічка

Суть оберненої багаторазової кутової засічки пояснена у п. ІІ.5.4. Для складання рівнянь, на основі яких можна буде знайти поправки Ь_х та 5_У у наближені координати точки, скористаємось рис. II.5.6, на якому зображено дві вихідні ("тверді") точки 7] та 7]₊₁; точка Р₀, наближені координати якої Х₀ та Y₀, та точка Р, найімовірніші координати якої X та Y поки що невідомі.

На підставі рис. ІІ.5.6 можемо записати очевидні, наведені нижче рівнян­ня. Віднімемо від першого рівняння друге:

Р,=а,₊₁-а,. (1)

Р₀/=«₀,-₊і-«₀/ ___________________ (2). (И.5.28)

Р,-Рш= «;+!-«,-а₀;+і+а₀;

da,...ЛТі.-■$■■■'

------- (ІССіХТі-..

.... ^х-'^:-'Ат_і+1

Рис. 11.5.6. Зміни дирекційних кутів та координат під час елементарного переміщення шуканої точки Р

Рівнянь (ІІ.5.28) можна записати стільки, скільки виміряних кутів (3_/. З цього самого рисунка, своєю чергою, можна записати:

a_M=a_oM+da_M (3)

a,.=(x_o;+<ta_; (4)'

У (И.5.28) сс₍₊₁ та а, замінимо їхніми значеннями, відповідно до (3) та (4) отримаємо:

Р,- " Ро/ = ^ао/₊і ^{+ da}M ~ ^aoi ~ ^«, - сс₀₍₊₁ + a_oi, або, після скорочення, матимемо:

р\-|З_о/=с/ос_/+1-</сх_г.. (П.5.29)

Планові геодезичні мережі

Це рівняння можна було б записати також на основі рисунка, оскільки під час переміщення точка Р₀ в точку Р кут Р₀ • перетвориться на (3,-, а різниця зміни дирекційних кутів doij та da_j+i перетвориться на нуль. У (П.5.28) (З_о/ знаходять як різницю відомих дирекційних кутів а_ш+1 та a_oj; Р, поки що невідома величина. У рівнянні (II.5.29) немає виміряного кута. Позначимо вимі­ряний кут (3; і введемо його у (П.5.29), віднявши і додавши його. Одержимо:

Р,.-р;+р;-Р₀,.=</(х,.₊₁-</а,.. (И.5.30)

Позначимо відому різницю Р_о; - Р- = /,, а невідому різницю Р, - Р/ = vj, тоді (ІІ.5.30) набуде вигляду рівняння похибок:

v, = da_M - ddj + /,-. (П.5.31)

Замінимо у (П.5.31) зміни дирекційних кутів da_i+l та da_i змінами коор­динат відповідно до отриманої диференційної формули (П.5.26) (обернена засіч­ка): під час зміни координат точки Р₀ змінюються дирекційні кути сх_о;+1 та а₀₍-:

М (Ь,) (а_м) (Ь_м)

v^^dX + ^dY-^y-dX-^-t-dY + li, (II.5.32)

$оі $оі $оі+\ $оі+\

або

М K.)U ₊ j(M_(WU _{+ /i}. (И.5.33)

$оі+1 $оі *оі+1

Позначимо

А.= nZ_J!Ј±L ; ві = \V21_V2111 1 (Ц.5.34)

$оі+1

Тоді отримаємо скорочений, остаточний вигляд рівнянь похибок:

v_i=A_idx + B_idy + l_i. (ІІ.5.35)

Таких рівнянь можна записати стільки, скільки виміряних кутів:

Vj = A_ldx + B_xdy + l_x

v₂ = A₂dx + B₂dy +1₂

v₃ = A₃dx + B₃dy + /₃

(II.5.36)

v_n=A_ndx + B_ndy + l_n

Нормальних рівнянь буде стільки, скільки невідомих. У нас невідомі dx та dy. Тому буде два рівняння:

\AA]dx + \AB]dy + \Al] = 0 I

>. (II 5 37)

[AB]dx + [BB]dy+ [Bl] = 0\

Розділ II

Знайдемо невідомі dx та dy.

dx —

[АВ] [Bl]-[BB] [Al]

(II.5.38)

[AA] [BB]-[AB] [AB] [AB] [A1]-[AA] [Bl]

dy =

[AA] [BB]-[AB] [AB]

Оскільки S_t у km, a p" приймемо таким, що дорівнює 20 6265, тоді dx та dy буде виражено в десятих частках метра (у дециметрах). Тому:

(ІІ.5.39)

Х = Х_о+0,\ dx\ У = У_о+0,1 dy У

11.5.7. Точність прямої та оберненої багаторазових кутових засічок Для оцінки точності таких засічок необхідно знайти середні квадратичні

т.

похибки вимірювання кутів т$ та середні квадратичні похибки т_х та визначення координат точки Р. Як відомо, з теорії похибок, та обчислюється за формулою

"Р

Ша =

п-2

(П.5.40)

Похибки v_; =р_г-(З,' (Р,- виправлені, Р-- виміряні кути) знаходять за системою рівнянь похибок (II.5.36). У знаменнику формули (П.5.40)(я-2)-кількість надлишкових виміряних кутів (два необхідні). Квадратичні похибки т_х та т_у визначаться за формулами

т_г =

та

\т_у =

та

(II. 5.41)

де Р_х та Р_у - ваги вимірів. Як відомо,

РУ=[ВВІ] = [ВВ]-

або

[АВ] [АВ]

[АА] [АА] [ВВ]-[АВ] [АВ]

(П.5.42)

 

Планові геодезичні мережі

Як бачимо, чисельник (II.5.42) дорівнює знаменникам системи рівнянь (ІІ.5.38). Позначимо:

D = [AA][BB]-[AB][AB]. (II.5.43)

Тоді формула ваги Р скорочено запишеться так:

^г>^шщ- ^(,L5'⁴⁴⁾

D- вже відома величина, і її не потрібно розраховувати, як і суму [АА]. Своєю чергою, вагу Р_х знаходять за формулою

[АА]

Р_х=\ ----- \-Р_у. (ІІ.5.45)

* [ВВ] ^у

З урахуванням (II.5.44) для Р_х маємо:

D

(ІІ.5.46)

^х [ВВ]'

У табл. II.5.1 подано приклад розв'язання оберненої багаторазової засічки з оцінкою точності обчислення найімовірніших координат.

11.5.8. Точність прямої та оберненої одноразових кутових засічок

Для кожної з таких засічок вимірюються два кути: для прямої - по одному куту на двох точках, а для оберненої - два кути на одній точці (див. рис. ІІ.5.7).

Р Я

/г\

Т,

А

 

Г2__/Щ-	5г	-Л
	-^	-й
б

Рис. II. 5.7. Визначення точності одноразових засічок: а - прямої; б - оберненої

Для таких засічок можна скласти тільки по два рівняння похибок виду (ІІ.5.35).

Розділ II

Відповідно до (П.5.41) можемо записати формулу похибки у визначенні координат точки Р:

або

(П.5.47)

Підставляючи в (П.5.47) значення обернених ваг, будемо мати після деяких перетворень:

(И.5.48)

Якщо , а у ⁼ 90°, то (ІІ.5.48) набере вигляду:

(ІІ.5.49)

Як бачимо, похибка координат точки Р прямо пропорційна до довжини ліній та похибки вимірювання кутів. Якщо т"р = 5", S = 3000 м, тоді М =

0,10 м. Для оберненої одноразової засічки оцінити точність визначення коор­динат значно складніше. Професором О.С. Чеботарьовим запропонований такий метод [28]. Будують так званий "зворотний" трикутник (рис. II.5.7). Для цього обчислюється

(II. 5.50)

Значення г_і відкладають у напрямках від точки Р. Отримують на лініях

S_l, S₂, S₃ точки 1, 2, 3, що є вершинами "зворотного" трикутника. Довжини

сторін цього трикутника СГ,, (7₂, (7₃ вимірюють графічно. Вираховують площу

МР =—Л°?+°22+°ї)-т»апр, (П-5.51)

трикутника F також графічно, або за формулою Герона. Похибка М_р у поло­женні точки Р визначається за формулою

т^р=^=' (п-5-52)

де

Шр - похибка вимірювання кутів; т_тпр - похибка вимірювання напрямків.

 

Розділ II

11.5.9. Лінійна геодезична засічка

Визначення координат точки Р за координатами двох вихідних (відомих) пунктів А і В та двома виміряними віддалями d_x та d₂ від шуканої точки до вихідних пунктів називають лінійною геодезичною засічкою.

Розв'язавши обернену геодезичну задачу, за координатами точок А (X_А, Y_A) та В (Х_в, Y_B), знайдемо довжину сторони АВ =d, та її дирекційний кут (Х_А__В. Тоді в трикутнику АВР будуть відомі усі три сторони. Трикутник розв'язується.

 

Рис. 11.5.8. Лінійна геодезична засічка

За формулами тригонометричних функцій косинусів (або тангенсів) поло­винних кутів обчислимо кути трикутника:

C0SA= PiRZ^A. (п.5.53) 2 їй, ~і-П?!

2 \ dd₂

Знаючи всі шість елементів трикутника АВР, за формулами прямої та оберненої засічок можна обчислити координати точки Р два рази: за коор­динатами точки А та за координатами точки В. Контролюють обчислення за збігом координат. Проте, якщо зроблено похибку під час польового вимірю-

Планові геодезичні мережі

вання лінії d_x або d₂, то ця похибка не виявиться. Тому для контролю польових вимірювань потрібно мати не дві, а три вихідні точки та виміряти ще одну, третю лінію.

Розв'язання може бути виконане і без обчислення кутів трикутника АВР [8]. Покажемо це. Знайдемо основу перпендикуляра точки Р на лінії АВ. Залежно від того, тупий чи гострий кут /З, отримаємо основу перпендикуляра

(точку D) на продовженні лінії ВА або на лінії АВ.

Відрізок q - проекція d_x на d; . Кут /З поки що невідомий.

Якщо кут /З гострий, матимемо:

(П.5.56) Якщо кут /З тупий, то:

(ІІ.5.57) У нас /3 гострий кут. Тому маємо:

(ІІ.5.58)

З прямокутного трикутника APD можемо записати:

(ІІ.5.59) Оскільки h — d_x sin /3, то

(ІІ.5.60)

Дирекційний кут ОС_А__в буде дорівнювати

(П.5.61)

Знак кута /3 вибирають залежно від того, ліворуч чи праворуч розта­шована точка Р відносно лінії АВ. Праворуч "+ [3 ", ліворуч "-/З ". У нашому випадку - ліворуч.

Прирости координат точки Р відносно пункту А, координати якого відомі, обчислимо за формулами

(ІІ.5.62) (П.5.63)

Розділ II

11.5.10. Визначення координат двох точок за відомими координатами двох інших точок (задача Ганзена)

Допустимо, координати точок полігонометрії і| та?₂ необхідно одночасно визначити щодо координат пунктів Т_х та Т₂ тріангуляції. Існує багато розв'язків такої задачі. Одним із найдоцільніших серед них є розв'язок, який можна назвати методом умовного базису.

Суть цього методу полягає в тому, що довжину лінії Р_х-Р₂ умовно прий­мають за одиницю. Потім, за виміряними кутами Д, (3₂, Д, Д, ^та> вважаючи лінію Р_х-Р₂ відомою, такою, що дорівнює Ь₀, розв'язуванням трикутників Т_х Р₂ Р_х та Т₂ Р₂ Р^ визначають сторони S^, S₂, S'₃, S'₄.

Планові геодезичні мережі

Оскільки у кожному з двох трикутників 7J Т₂ Р_х та Т_х Т₂ Р₂ відомі дві сторони та кути між ними Д та Д,, то ці трикутники розв'язуються. Можна знайти третю сторону та два інші кути. Знайдемо також кути (р та Я. Тепер у нас є можливість два рази, з контролем, знайти довжину b в цій умовній одиниці довжин. Позначимо цю умовну довжину Ь'. З трикутників Г, Т₂ Р_х та Т_х Т₂ Р₂ відповідно маємо:

(П.5.65)

Отже, справді Ь визначено з контролем (двічі). Два результати b повинні сходитися у межах точності обчислень. Але фактичну довжину цієї лінії b та її дирекційний кут ми можемо визначити за координатами пунктів Т_х та Т₂.

З відношення b до Ь' ми знайдемо дійсну довжину лінії Р_х—Р₂. Позна­чимо цю довжину S:

(И.5.66)

Тепер у нас є всі необхідні дані, щоб знайти дирекційні кути і фактичну довжину усіх чотирьох ліній:

Залишається за довжинами ліній та дирекційними кутами визначити прирости координат, а потім і координати точок Р_х та Р₂. Координати кожної з цих точок будуть обчислені двічі, що і буде їхнім кінцевим контролем.

Розглянутий спосіб є дуже простим та природним. Найдоцільнішим випадком визначення координат двох точок буде той, коли форма, створена двома заданими та двома шуканими точками, близька до квадрата. Потрібно уникати дуже гострих кутів у чотирикутнику.

11.5.11. Прив'язування пунктів полігонометрії до постійних об'єктів місцевості. Відшукування полігонометричних пунктів

Від прокладення полігонометричної мережі до її використання для топознімання може пройти декілька років, і, як би фундаментально не закріплювались пункти, все ж знайти їх на місцевості буває дуже важко. Головна мета прив'язування пунктів до постійних предметів, як вже

Розділ II

відзначалося - забезпечити їх знаходження. Способи такого прив'язування різноманітні. Суть їх стане зрозумілою після ознайомлення з типовими прик­ладами прив'язування.

О ^6^ о

Рі РМ Р,₊2

Рис. 11.5.10. Прив'язування до фасаду будинку

Якщо полігонометричний хід проходить біля постійних предметів, то прив'язування виконують переважно лінійними вимірюваннями - рулетками. Наприклад, якщо маємо LMNS - цегляну або кам'яну споруду (будинок), а точка ходу Р_м розташована біля стіни MN, тоді доцільно опустити на лінію

MN фасаду перпендикуляр з точки Р_п+Х та виміряти довжину перпендикуляра

a. Крім того, доцільно виміряти віддалі b і с від основи перпендикуляра, тобто від точки К, до кутів будинку. Цих вимірів достатньо, щоб знайти точку Р_п+{, але безконтрольно. Прив'язування необхідно виконувати так, щоб обов'яз­ково був контроль. Тому необхідно ще виміряти віддалі d та є від кутів бу­динку М та N до точки Р_м. Тепер точку Р_м можна знайти з контролем лінійними засічками, використовуючи довжини a, d та є.

Прив'язування до кута будинку

Якщо хід проходить біля кута будинку, то прив'язування можна виконати методом створів, а саме: продовження стіни AN дає на стороні ходу точку L, а продовження стіни BN - точку М.

Крім того, потрібно з точки tV опустити, за допомогою екера, перпен­дикуляр на цю саму лінію ходу. Точки М, R та L необхідно зафіксувати. Для цього необхідно виміряти відрізки с, a, Ь, а також частини 5, та S₂ сторони ходу P_t—P_M. Цих даних достатньо, щоб з контролем, якщо необхідно, відно­вити положення точок М, L та R. Якщо ж продовжити створ відрізка ML, то

Планові геодезичні мережі

зможемо знайти точки Р_і та Р_м. Для точнішого встановлення напрямку сто­рони полігонометричного ходу корисно виміряти на одній з точок М, R або L кут є між напрямком сторони ходу та напрямком на віддалений, стійкий предмет Q. Оскільки дирекційний кут лінії Р₁ та Р_м відомий, тоді буде відомий і дирекційний кут ліній RQ та RN. Отже, у результаті прив'язу-вальних вимірювань можна отримати на місцевості координати додаткових точок R та N. Це може виявитись корисним, наприклад, під час поновлення пунктів Р_і та Р_м.

Рис. 11.5.11. Прив'язування двох пунктів P_t та Р_м до кута будинку

Рис. 11.5.12. Прив'язування до залізниці

Прив'язування до залізниці

Розділ II

Якщо полігонометричний хід перетинає залізницю, необхідно на осі дороги визначити точку А - перетин осі з лінією ходу; виміряти віддалі 5, та S₂ від цієї точки до початку та кінця лінії, а також виміряти кут Є між нап­рямком лінії та осі залізниці та виміряти віддаль від точки А до найближчого кілометрового стовпа, ліворуч чи праворуч, відносно лінії P_t-P_M ■

Контролями прив'язувальних вимірювань у такому разі є те, що сума S_Y + S₂ повинна дорівнювати довжині сторони ходу P_t-P_M. Відома також віддаль до наступного кілометрового стовпа.

Прив'язування до далеких предметів

У малонаселених районах близькі стійкі предмети місцевості просто відсутні. Одночасно часто трапляються випадки, коли з полігонометричних пунктів видно далекі предмети місцевості: поодинокі дерева, перехрестя доріг, чіткий край лісу тощо. У такому разі необхідно виміряти кути Д і Д (рис. II.5.13), як це робиться в задачі Потенота та, крім того, виміряти кути 7] та £ для орієнтування сторін ходу. Під час пошуку пункту Р_{ треба встановлювати теодоліт послідовно в такі точки, щоб вимірювані кути наближалися до відомих Д і Д. Контролем будуть кути У] та Є. Доволі корисно для такого прив'я­зування використовувати метод створів.

Під час прив'язування необхідно дотримуватися одного загального пра­вила: кількість елементів прив'язування повинна бути необхідною і достатньою для того, щоб поновити хоча б два сусідні пункти полігонометричного ходу.

Рис. 11.5.13. Прив'язування до далеких предметів

Зрозуміло, що для відшукування пунктів можна використовувати не тільки прив'язування цих пунктів до предметів місцевості, але й прив'язування до пунктів тріангуляції, трилатерації чи полігонометрії старших класів.

Планові геодезичні мережі

Відшукування пунктів за прив'язками до інших пунктів геодезичних мереж застосовують найчастіше для поновлення пунктів полігонометрії. Якщо, наприклад, було виконане прив'язування пункту Р до пунктів тріангуляції Г_р Т₂ та Г₃ (рис. П.5.14) розв'язанням задачі про четверту точку (задачі Потенота), то для відшукування втраченого пункту потрібно, ставши на місцевості там, де передбачається, розмістити цей пункт (наприклад, у точці М), визначити координати точки М, користуючись пунктами тріангуляції Т_х, Т₂, Т_г.

Тепер, знаючи координати точки М і координати точки Р, ми можемо поновити точку Р. Для цього за координатами обчислюється довжина та напрямок лінії MP. Далі, знаючи дирекційний кут лінії (МТ₃), знаходять кут Ц за формулою:

Рис. 11.5.14. Відшукування пункту полігонометрії, прив'язаного до пункту тріангуляції

Додамо кут 7] до відліку лімба теодоліта, який встановлено в точці М і труба якого наведена на точку Т₃, отримаємо новий відлік, який необхідно вста­новити на лімбі, відкріпивши алідаду і повертаючи трубу в горизонтальній площині. Далі, користуючись вертикальною ниткою сітки, виставляють віху у напрямку візирної осі труби. Залишається за цим напрямком відкласти довжину обчисленої лінії MP, і місце точки Р на місцевості буде знайдено.

Розділ II