Сравнительная характеристика объектов

При визуальной оценке кривых разгона в простых (скорее, - идеализированных) случаях возможный вид дифференциального уравнения определяется достаточно точно (табл. 3.1).

Характерным свойством статических объектов (рис. 3.1, а) является самопроизвольное стремление их выхода y ₀ к некоторому установившемуся значению. Этого свойства лишены астатические объекты (рис. 3.1, б). Из сравнения дифференциальных уравнений статических и астатических объектов, например (A) и (D) вытекает формальный признак астатизма – отсутствие свободного члена y ₀ (не содержащего производных выхода объекта) в левой части уравнения.

Передаточные коэффициенты статических объектов выражают отношение полных изменений выхода и входа в установившемся состоянии

 

При визуальной оценке кривых разгона в простых (скорее, - идеализированных) случаях возможный вид дифференциального уравнения определяется достаточно точно (табл. 2).

Характерным свойством статических объектов (рис. 4, а) яв­ляется самопроизвольное стремление их выхода у₎ к некоторому установившемуся значению. Этого свойства лишены астатические объекты (рис. 4, б). Из сравнения дифференциальных уравнений статических и астатических объектов, например (A) и (D) выте­кает формальный признак астатизма - отсутствие свободного члена у₀ (не содержащего производных выхода объекта) в левой части уравнения.

Передаточные коэффициенты статических объектов выражают отношение полных изменений выхода и входа в установившемся состоянии

(4)

Постоянная времени статического объекта первого порядка характеризует скорость изменения выхода в переходном процессе. Если вернуться к рассмотренной ранее кривой 1 на рис.4, а, то можно ознакомиться с графическим приёмом определения посто­янной времени по экспериментальной кривой разгона. Так, взяв произвольную точку А на этой кривой, построив в ней касательную АС и опустив из точки А перпендикуляр на линию конечного устано­вившегося значения выхода объекта, находим значение постоянной времени в виде отрезка подкасательной ВС = Т совершенно неза­висимо от положения точки А. Действительно, если рассмотреть лишь собственно экспоненциальную функцию

(5)

как главную часть формулы кривой разгона (табл.2),например, в диапазоне t = 0 … 15 при Т = 5 (рис.5), то в соответствии с данными рис.6 имеем

(6)

 

Рис.5. К определению постоянной времени статического объекта

В свою очередь,

(7)

 

При этом в составе треугольника АВС катет АВ есть текущее значение функции. Отсюда при произвольном положении точки A следует

(8)

Чем больше постоянная времени, тем медленнее совершается переходный процесс, и наоборот. Полная длительность переходного процесса на статическом объекте первого порядка составляет (3 … 5) Т.

В дифференциальном уравнении астатического объекта (D) параметр T называют условной постоянной времени из-за смешанной размерности, где присутствуют не только единицы време­ни, но также единицы входа и выхода объекта. Иногда пользуются обратной величиной K₀=1/T - условным передаточным коэффициентом. Величина T также характеризует скорость изменения выхода в переходном процессе, однако эта скорость зависит также от значения входа объекта (табл.2) согласно уравнению (D). Отсюда в графической форме следует, что скорость нарастания выхода объекта (при положительном значении входа) действительно определяется величинами T и А x ₀:

 

Рис.6. К определению условной постоянной времени астатического объекта

(9)

Что касается статических объектов второго (табл. 2, уравнение (B)), а также и более высокого порядка, то для них характерна 5 - образная форма кривых разгона (кривая 2 на рис. 4). В этом случае по виду экспериментальной кривой разгона точно определить порядок соответствующего дифференциального уравнения невозможно. Однако существуют расчетные методы идентификации объектов, среди которых известен интегральный метод Симою, называемый также методом площадей. В то же время, ограниченная точность эксперимента по снятию кривой разгона не позволяет определить порядок дифференциального уравнения выше третьего.

Металлургические объекты ввиду их сложности (часто нелинейности и присутствия распределённых параметров) обычно аппроксимируют (то есть приближенно представляют) в виде объектов первого порядка с переходным запаздыванием τ _п.

Так, для статических объектов на полученной экспериментальным путем кривой разгона отыскивают точку перегиба П (см.рис.4, а, кривая 2) и строят в ней касательную CD к данной кривой до пе­ресечения с линиями начального и конечного значений выхода объекта. Отрезки OC и ED соответственно принимают за переход­ное запаздывание τ _п и постоянную времени Т.

У астатических объектов второго и более высоких порядков переходное запаздывание определяют так, как показано на рис. 4, 6 (кривая 5). Для объекта второго порядка с дифференциальным уравнением (E) величина τ _п совпадает с постоянной времени «замедления» T *, описывающей начальную стадию переходного процесса. Однако при аппроксимации сложных астатических объектов с не всегда точно известным порядком дифференциального уравнения различия не делают и принимают τ _п = Т.

Если объекты обладают также и чистым запаздыванием τ ₀, обусловленным временем движения потока вещества по протяжённым коммуникациям, то при приближённом подходе, точность которого достаточна при решении инженерных задач, их суммарное запаздывание следует из выражения

. (10)