Лекция 7. Частотные характеристики. Определение частотных характеристик. Логарифмические частотные характеристики

Частотные характеристики. Определение частотных характеристик

Известно, что динамические процессы могут быть представлены частотными характеристиками (ЧХ) путем разложения функции в ряд Фурье. Предположим, имеется некоторый объект и требуется определить его ЧХ. При экспериментальном снятии ЧХ на вход объекта подается синусоидальный сигнал с амплитудой Авх = 1 и некоторой частотой ω, т.е. (рис. 1):

x(t) = Авхsin(ωt) = sin(ωt).

Тогда после прохождения переходных процессов на выходе мы будем также иметь синусоидальный сигнал той же частоты w, но другой амплитуды Авых и фазы φ:

у(t) = Авыхsin(ωt + φ)

При разных значениях w величины Авых и φ, как правило, также будут различными. Эта зависимость амплитуды и фазы от частоты называется частотной характеристикой. Виды ЧХ (рис. 2):

АФХ – амплитудно-фазовая характеристика - зависимость амплитуды и фазы выходного сигнала от частоты входного (изображается на комплексной плоскости);

АЧХ – амплитудно-частотная характеристика зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты входного: А(ω);

ФЧХ – фазо-частотная характеристика - зависимость фазы выходного сигнала от частоты входного: φ(ω);

ЛАХ, ЛАЧХ - логарифмические АЧХ, т.е. построенные в логарифмических координатах.

На комплексной плоскости входная величина x = Авх*sin(ωt) для каждого момента времени ti определяется вектором х на комплексной плоскости. Этот вектор имеет длину, равную Авх, и отложен под углом ωti к действительной оси (Re - действительная ось, Im - мнимая ось).

Тогда величину х можно записать в комплексной форме:

где мнимая единица.

 

Или, если использовать формулу Эйлера то можно записать:

Выходной сигнал y(t) можно аналогично представить как вектор:

Рассмотрим связь передаточной функции и частотной характеристики.

Определим производные по Лапласу:

Определим производные ЧХ:

Отсюда видно соответствие s = jω.

Вывод: частотные характеристики могут быть построены по передаточным функциям путем замены s = jω.

Для построения АЧХ и ФЧХ используются формулы:

где Re(ω) и Im(ω) – соответственно вещественная и мнимая части выражения для АФХ.

Формулы получения АФХ по АЧХ и ФЧХ:

Re(ω) = A(ω). cos φ(ω), Im(ω) = A(ω). sin φ(ω).

График АЧХ всегда расположен в одной четверти, т.к. частота ω > 0 и амплитуда А > 0. График ФЧХ может располагаться в двух четвертях, т.е. фаза φ может быть как положительной, так и отрицательной. График АФХ может проходить по всем четвертям.

При графическом построении АЧХ по известной АФХ на кривой АФХ выделяются несколько ключевых точек, соответствующих определенным частотам. Далее измеряются расстояния от начала координат до каждой точки и на графике АЧХ откладываются: по вертикали – измеренные расстояния, по горизонтали – частоты. Построение АФХ производится аналогично, но измеряются не расстояния, а углы в градусах или радианах.

Для графического построения АФХ необходимо знать вид АЧХ и ФЧХ. При этом на АЧХ и ФЧХ выделяются несколько точек, соответствующих некоторым частотам. Для каждой астоты по АЧХ определяется амплитуда А, а по ФЧХ – фаза φ. Каждой частоте соответствует точка на АФХ, расстояние до которой от начала координат равно А, а угол относительно положительной полуоси Re равен φ. Отмеченные точки соединяются кривой.