Внутрішні сили та напруження при розтягу–стиску

ОСНОВИ КОНСТРУЮВАННЯ

Зміст

Вступ
1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ «ОПОРУ МАТЕРІАЛІВ»
1.1. Основні гіпотези «Опору матеріалів»
1.2. Класифікація тіл, що приймається в «Опорі матеріалів»
1.3. Поняття про деформації
1.4. Сили та їх класифікація
1.5. Умови рівноваги
1.6. Напруження
1.7. Прості види деформацій
2. РОЗТЯГ – СТИСК
2.1. Внутрішні сили та напруження при розтягу–стиску
2.2 Деформації при розтягу-стиску, закон Гука, модуль Юнга І роду
2.3. Коефіцієнт Пуассона
3. МЕХАНІЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНСТРУКЦІЙНИХ МАТЕРІАЛІВ
3.1. Діаграма розтягу пластичних матеріалів
3.2. Діаграма напружень
3.3. Реальна діаграма напружень
3.4. Діаграма розтягу для крихких матеріалів
3.5. Діаграми стиску для пластичних і крихких матеріалів
3.6. Твердість матеріалів
3.6.1. Визначення твердості за методом Брінелля
3.6.2. Визначення твердості за методом Роквелла
3.6.3. Визначення твердості за методом Віккерса
3.7. Порівняння характеристик пластичних і крихких матеріалів
3.8. Вибір коефіцієнта запасу міцності та допустимих напружень
3.9. Температурні напруження
4. ЧИСТИЙ ЗСУВ
4.1. Чистий зсув, напруження, умови міцності
4.2. Деформації, закон Гука при зсуві, модуль пружності ІІ роду
4.3. Розрахунки на міцність з’єднання деталей
4.3.1. Розрахунок на міцність заклепкового з’єднання
4.3.2. Розрахунки на міцність зварних з’єднань
4.3.3. Різьбові з’єднання
4.3.3.1.Розрахунки витків різьби на міцність
5. КРУЧЕННЯ
5.1. Внутрішній силовий фактор при крученні. Напруження. Умови міцності
5.2. Деформації при крученні. Закон Гука. Умови жорсткості
5.3. Приклад розрахунку вала на міцність і жорсткість
6. ЗГИН
6.1. Розрахунок балки
6.2. Приклад визначення ефективності витрати матеріалу для балки
Контрольні запитання

 

Вступ

В основному, ми живемо у світі матеріальних речей. В залежності фізичних властивостей матеріалів, з яких зроблені оточуючі нас речі, вони мають різні фізичні властивості: м’які чи тверді, гнучкі чи жорсткі, пластичні чи крихкі, легкі чи важкі, міцні чи не міцні. Людство використовує усі властивості матеріалів. Фізичні властивості матеріалів залежать від характеру взаємодії атомів і молекул з яких складається той чи інший матеріал.

При розробці конструкції будь якого пристрою необхідно забезпечити механічну міцність пристрою в процесі виготовлення, транспортування та експлуатації. Для цього при розробці конструкції пристрою необхідно враховувати усі сили, що діють на елементи конструкції та властивість матеріалів, з яких вони створюються. Дослідженням властивості матеріалів протистояти впливу зовнішніх сил та визначенню мінімально допустимих розмірів елементів конструкції займається наукова дисципліна «Опір матеріалів», яка використовує наступні методи:

- експериментально-теоретичний підхід до вирішення задач;

- застосування законів фізики, механіки та математичного апарату;

- широке використання передумов, що спрощують вирішення задач, котрі базуються на визначеному переліку гіпотез.

 

1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ «ОПОРУ МАТЕРІАЛІВ»

«Опір матеріалів» – це наука про інженерні методи розрахунків на міцність, жорсткість і стійкість елементів конструкцій і пристроїв.

Міцність – це здатність тіл протидіяти зовнішнім силам не руйнуючись.

Жорсткість – це здатність тіл протидіяти зовнішнім силам якомога менше деформуючись.

Стійкість – це здатність тіл протидіяти зовнішнім силам зберігаючи первісну форму пружної рівноваги.

Таким чином, «Опір матеріалів» є наукою інженерних методів розрахунків тому, що постановка задач передбачає абстрагування та спрощення таким, щоб інженер-практик міг розв’язати забезпечення надійної роботи обладнання.

При вирішенні основної задачі «Опору матеріалів» – вибору матеріалу та поперечних розмірів елементів конструкції крім уміння обчислювати напруження, необхідне знання механічних властивостей реальних матеріалів.

Вимоги надійності та найбільшої економії суперечать одна одній. Перше, за звичаєм, приводить до збільшення матеріалоємності, а друге вимагає її зниження. Ця суперечність є самим важливим елементом наукової методики, що зумовлює розвиток «Опру матеріалів» як науки.

1.1. Основні гіпотези «Опору матеріалів»

«Опір матеріалів», як і будь-яка інша наука, базується на певних гіпотезах (аксіомах), основними з яких є:

- гіпотеза про суцільність матеріалу, матеріал заповнює все тіло;

- гіпотеза про однорідність та ізотропність, матеріал вважається однорідним та ізотропним;

- гіпотеза про малі деформації, розглядають деформації, які значно менші за розмірами самих тіл (на 2 порядки і більше);

- гіпотеза про ідеальну пружність (пружність – здатність тіл відновлювати свою форму та розміри при знятті навантаження);

- закон Гука, приймається лінійна залежність між величинами сил і деформаціями, які викликані ними (більшість задач опору матеріалів розв’язують саме в цій постановці);

- принцип суперпозиції, вважають, що результат від суми дій дорівнює сумі результатів від кожної дії окремо;

принцип Сен-Венана, якщо тіло навантажено силами і при цьому розміри зони прикладення цих сил незначні в порівняні з розмірами тіл, то в перерізах, достатньо віддалених від місць прикладання сил, напруження практично не залежить від місць прикладання сил, напруження практично не залежить від способу навантаження.

Хоча наведені гіпотези дають дуже великі наближення при дослідженні процесів, які відбуваються в тілах при навантаженні, інженерна практика дає змогу оцінити розрахункі, які базуються на цих гіпотезах як такі, що досить добре описують загальний стан навантажених тіл.

1.2. Класифікація тіл, що приймається в «Опорі матеріалів»

В «Опорі матеріалів» розглядають не самі конкретні тіла, а якийсь спрощений символ, модель, абстрагуючись від другорядних ознак цього тіла. Усі тіла при розгляді задач «Опору матеріалів» можна віднести до однієї з відповідних моделей:

- стержень (брус) – це тіло, в якого один розмір значно більший, ніж два інших, рисунок 1, при цьому стержень може бути з прямою віссю (прямий стержень), або з ломаною віссю (рама); стержні можуть бути як призматичні, рисунок 1а), б), так і змінного поперечного перерізу, рисунок 1в);

 

Рисунок 1. Типи стержнів: а) – кривий, б) – прямий,

в) – змінного поперечного перерізу

- оболонка – це тіло, в якому один з розмірів значно менший ніж два інших, рисунок 2а); за формою серединної поверхні оболонки поділяють на циліндричні, конічні, сферичні; якщо серединна поверхня є площиною, то таку оболонку називають пластиною, рисунок 2б);

 

Рисунок 2. Оболонка (а) та пластина (б)

- масиви – тіла, в яких усі розміри приблизно одного порядку, рисунок 3.

 

Рисунок 3. Масив

Прикладами деталей, які розглядають як прямі стержні, є вали, балки, осі. Криві стержні – крюки підйомних кранів, віконні ручки і т. п. Як оболонки можна розглядати стінки шафи перетворювача, стінки котлів, обшивку крила літака, корпус підводного човна і т. п. До пластин відносять плоскі кришки люків, панелі з приладами, диски турбомашин і т. п. Масивами можуть бути представлені трансформатори, реактори та інші важкі елементи конструкції пристрою.

Поняття про деформації

Під деформаціями розуміють будь-які зміни розмірів або форми тіла. Деформації можуть бути абсолютними та відносними, коли їх визначають як відношення зміни величини до її початкового значення.

У більшості випадків деформація тіла складається з двох частин: пружної та пластичної (залишкової).

Пружні – це деформації, які зникають при припиненні дії зовнішніх сил на тіло. За нормальної експлуатації інженерних конструкцій не допускаються пластичні деформації, коли розміри і форми елементів конструкцій не зворотно змінюються. Визначення умов виникнення та зростання пластичних деформацій має велике значення для знаходження тих навантажень, які небезпечно можуть передаватися на конструкцію.

Сили та їх класифікація

Сили, що діють на тіло, можна класифікувати за різними ознаками.

Вони можуть бути зовнішніми та внутрішніми.

Зовнішні – це сили, які прикладаються до тіла за рахунок інших тіл. Зовнішні сили, розподілені по всьому об’єму тіла або його частини, називаються об’ємними або масовими. Зовнішні сили, прикладені по поверхні, називають поверхневими.

Навантаження – це система зовнішніх сил, що діють на тіло.

Внутрішніми силами називають сили взаємодії між частинами твердого тіла. Зовнішні сили викликають деформації тіл, що призводить до виникнення вже внутрішніх сил.

Навантаження тіл може бути статичним або динамічним. Статично прикладені – це сили, при дії яких практично немає прискорень тіла чи його частин. Це має місце, коли навантаження тіла проводити повільно, змінюючи від нуля до певного прикладання сили. Динамічним називають навантаження, при якому виникають прискорення тіла чи якоїсь його частини і, як наслідок, виникають сили інерції.

Навантаження може бути зосередженим, діяти в досить локальній зоні – практично в точці, рисунок 4а), та розподіленим, тобто діяти на певній площадці, або на певній довжині, рисунок 4б), в). Якщо розподіл має рівномірний характер, рисунок 4в), навантаження називають рівномірно розподіленим.

 

Рисунок 4 Види навантажень: а) зосереджене, б) розподілене,

в) рівномірно розподілене

Для того, щоб розрахувати повне навантаження Q (рисунок 4в) в цьому випадку, рівномірно розподілене навантаження q треба помножити на площу, по якій воно розподілено, або на довжину у випадку розподілення навантаження по довженні.

 

Q = q⋅ .

Зосереджені сили, як правило, позначають великими літерами F, R, Q, H; вони мають розмірність одиниць сили [Н], [кН], [МН].

Розподілене навантаження, як правило, позначають літерою q і воно має розмірність сили, віднесеної до площі, або сили, віднесеної до довжини [Н/м²], [кН/м²], [МН/м²], або [Н/м], [кН/м], [МН/м].

Момент сили відносно точки (осі) – це добуток сили на плече, рисунок 5.

Плече – це відстань від точки (осі), відносно якої визначають момент, до лінії дії сили, а не до точки прикладення сили. Тобто момент сили F відносно точки (осі) А розраховують так:

,

де а – це є плече – довженна перпендикуляра, встановленого від точки А до лінії дії сили F.

Момент сили позначають літерами М або Т: вони мають розмірність добутку сили на довжину: [Нм], [кНм], [МНм].

При цьому слід зауважити: якщо силу F переміщувати вздовж лінії її дії, момент її відносно точки (осі) А буде залишатися незмінним.

Рисунок 5. Обчислення моменту сили F відносно точки (осі) А

Цілком зрозуміло також, Що у випадку, коли напрямок дії сили проходить через точку (вісь) момент сили відносно цієї точки (осі) дорівнює нулю.

Позначають момент сили як показано на рисунку 6а), б).

Рисунок 6. Моменти сил: а) крутний, б) згинаючий

 

Контрольні запитання

1. Охарактеризуйте гіпотези, на яких базується галузь науки «Опір матеріалів».

2. Що таке деформація?

3. Охарактеризуйте усі види деформації.

4. Охарактеризуйте усі види навантажень.

5. Що таке момент сили?

5. Охарактеризуйте усі види моментів сили.

 

Умови рівноваги

У зв’язку з тим, що «Опір матеріалів» розглядає деформації тіл, у більшості випадків нехтуючи їх рухом, одними з основних математичних залежностей, що використовуються, є рівняння рівноваги.

В загальному випадку просторової задачі, рисунок 7, вибравши ортогональну декартову систему координат, їх можна сформулювати так:

- суми проекцій усіх сил, що діють на тіло, на відповідні осі, дорівнюють нулю;

- суми моментів усіх сил, що діють на тіло, відносно будь-якої координатної осі, дорівнюють нулю.

Рисунок 7. Силові фактори при загальному випадку просторового навантаження

 

Або символічно

(1)

 

Зрозуміло, що для плоскої задачі цих рівнянь буде тільки три (суми проекцій сил на кожну з осей дорівнюють 0 та сума моментів усіх сил відносно будь-якої довільної точки цієї площини теж дорівнює 0).

 

(2)

 

У випадку лінійного навантаження уздовж однієї осі рівнянню рівноваги буде тільки одне – алгебраїчна сума всіх сил повинна дорівнювати).

 

(3)

 

При розгляді стержневих систем постає питання про знаходження внутрішніх сил, що діють у будь-якому довільному перерізі. Для цього може бути використано метод перерізу, суть якого полягає у тому, що внутрішній силовий фактор (сила, момент) у перерізі знаходять як алгебраїчну суму всіх сил, взятих з одного боку від цього перерізу.

Суть методу зображено на рисунку 8а), б), в).

Рисунок 8. Ілюстрація методу перерізів

Чому саме з одного боку? Тому, що за законами рівноваги сума сил з другого боку повинна дорівнювати тій же величини та бути спрямована в протилежний бік (рисунок 8в)), виходячи з рівнянь (3).

Слід зауважити, що по-перше, реакції опор – це також зовнішні сили і ними не можна нехтувати, по-друге, якщо зображений на рисунку вектор сили направлений в один бік, а величина сили за обчисленнями дорівнює від’ємному числу, то насправді сила спрямована в інший бік. Користуючись цим методом, неважко побудувати епюру навантажень у наведеному стержні, рисунок 9.

Рисунок 9. Розподіл навантажень у стержні

Таким чином, від системи зовнішніх сил можна перейти до внутрішніх силових факторів, тобто тих сил і моментів, що діють безпосередньо в перерізі, який нас цікавить.

Напруження

При вирішенні питання про міцність конструкції недостатньо знати тільки систему сил, що діють на цю конструкцію. Необхідно знати ще її розміри та матеріал, з якого вона зроблена. На початку ХІХ століття Огюст Коші, відомий математик і механік, увів поняття напруження, яке одночасно характеризувало й силові фактори, що діяли в перерізі, й геометричні розміри цього перерізу. Напруження в загальному вигляді – це відношення сили, що діє по площадці, до величини цієї площадки.

Розглянемо довільне тіло, на яке діє система зовнішніх сил F ₁, F ₂, F ₃,… F _i і при цьому тіло знаходиться в рівновазі, рисунок 10.

Рисунок 10. Розподіл сил по перерізу

Розглянемо переріз тіла. Якщо відкинути ліву частину, то для забезпечення рівноваги до точок перерізу треба прикласти сили, які дорівнюють силам, що діють з боку відрізаної частини, рисунок 11.

 

Рисунок 11. Типи напружень

Вибираємо навкруги якоїсь довільної точки А елементарну площадку dA. На неї буде діяти певна внутрішня сила dF. Тоді можна вважати, що повне напруження в точці А на площадці dА дорівнює:

 

(4)

 

Це повне напруження в точці А можна розглянути у вигляді двох складових – нормальної σ та дотичної τ, рисунок 12.

Рисунок 12. Типи напружень

Співвідношення нормального, дотичного та повного напруження визначається наступними формулами:

 

(5)

 

(6)

 

/ (7)

 

Напруження на площадці є векторною величиною з модулем, який обчислюється за формулами (4 – 6). Слід зауважити: якщо через точку А провести якийсь інший переріз і знову спробувати знайти напруження, то велична напруження, як повного так і його складових, буде вже іншою. Тобто, напруження в точці твердого тіла залежить не тільки від зовнішніх сил, геометрії системи та положення точки, в якій визначаються напруження, а ще й від того, як в цій точці орієнтована площадка, на якій визначаються напруження.

Уява напруження у вигляді двох складових, нормальної та дотичної, допомагає зрозуміти способи руйнування тіла. Нормальне напруження зумовлює відрив частинок однієї від іншої. Дотичне напруження відповідно зумовлює їх взаємний зсув.

Розмірність одиниць напружень – це відношення одиниць сили до одиниць площі, тобто вимірюється в Паскалях ().

 

Прості види деформацій

Деформації тіл, що нас оточують прийнято поділяти на чотири прості види:

- розтяг – стиск;

- зсув (або зріз);

- кручення;

- згин.

Завдяки такому розподілу деформацій полегшується визначення стану напруженості і деформацій у кожному окремому випадку простої деформації, а на далі, використовуючи принцип суперпозиції та певні теорії міцності, оцінювати міцність і жорсткість елементів конструкцій у реальній ситуації наявності сукупності простих видів деформації. Розглянемо окремо кожний вид деформації.

 

Контрольні запитання

1. Охарактеризуйте умови рівноваги елемента конструкції.

2. Охарактеризуйте метод перерізів.

3. Що таке напруження і як воно визначається?

4. Охарактеризуйте усі види простої деформації.

 

РОЗТЯГ – СТИСК

Розтяг (або стиск) – це вид деформації, який виникає, якщо до стержня прикладати систему сил які діють уздовж його осі.

Чому ми об’єднуємо такі протилежні, здавалося би, види деформацій?

Справа в тому, що процеси, які відбуваються при розтягу або стиску, в більшості випадків, є ідентичними, як і механічні характеристики дуже великої кількості пластичних конструкційних матеріалів. Тому ці протилежні види – розтяг і стиск – описують одними й тими ж математичними залежностями і об’єднують як один вид деформації розтяг–стиск. При цьому домовилися: все, що стосується розтягу (сили, напруження, деформації і т. п.) розраховувати зі знаком +, а те, що стосується стиску – зі знаком –.

При розгляді розтягу–стиску користуються основними гіпотезами, які розглянуто вище. Крім того, вводять ще гіпотези, характерні саме для певних видів простої деформації. Наприклад, приймають гіпотезу плоских перерізів – поперечні перерізи стержня, плоскі до деформації, залишаються плоскими і після неї, переміщуючись поступально вздовж осі стержня.

Внутрішні сили та напруження при розтягу–стиску

Розглянемо стержень, навантажений подовженими силами, рисунок 13.

Рисунок 13. Стержень,що розтягується. Рисунок 14. Внутрішні сили в перерізі.

У поперечному перерізі навантаженого таким чином стержня виникають тільки нормальні складові внутрішніх сил – N, рисунок 14.

Тому в довільному поперечному перерізі можуть виникати тільки нормальні напруження. Причому ці напруження в кожній точці перерізу будуть однаковими, оскільки маленькі частки (диференціали) сили dN будуть однаковими на площадках dA, тобто формулу (5)

 

σ =

 

можна замінити на

σ = (8)

 

і тоді зрозуміло, що критерій міцності при розтягу-стиску можна записати так

 

(9)

 

Слід зауважити, що може бути й інший варіант

 

(10)

 

 

де [σ] – допустимий рівень напружень, який є однією з основних механічних характеристик конструкційного матеріалу.

З умов міцності (9) та (10) або за відомими силами , визначеними за методом перерізів, можна знайти площу поперечного перерізу стержня А або навпаки, якщо площа перерізу відома, знайти внутрішні, а тоді й зовнішні сили, які можна прикласти до стержня.