Внутри соленоида
1 Магнитное поле соленоида
2 Закон Био–Савара–Лапласа
3 Эффект Холла
Основные понятия по теме
Соленоидом называется длинная катушка с большим числом витков в обмотке. На рисунке 4.1 показана катушка в разрезе плоскости чертежа. Ток в верхних сечениях витков катушки направлен к читателю, а в нижних – от читателя.
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| · |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| x |
| S |
| N |
Рисунок 4.1 – Катушка соленоида в разрезе
Магнитная стрелка, помещённая внутри катушки, показывает своим северным полюсом направление магнитного поля внутри катушки. Полярность магнитного поля определяется по правилу правой руки: если ладонь правой руки наложить на витки катушки так, чтобы четыре пальца указывали направление тока в витках катушки, то отставленный на 90° (по отношению к указательному) большой палец укажет северный магнитный полюс катушки. В центре соленоида магнитные поля складываются, и возникает почти однородное поле.
Соленоид, витки которого расположены вплотную друг к другу, эквивалентен системе круговых токов, одинаковых по радиусу и имеющих общую ось. На основании закона Био–Савара–Лапласа и принципа суперпозиции индукция магнитного поля на оси кругового тока i радиуса r равна:
, (4.1)
где m – расстояние от центра кругового тока до точки, в которой определяется индукция.
Для нахождения индукции магнитного поля всего соленоида его делят на такие элементы, каждый из которых можно считать круговым витком, а затем применяют принцип суперпозиции. Такой элемент толщины 
показан на рисунке 4.2 и содержит 
витков. Сила тока в нём:
(4.2)
В соответствии с формулами (4.1) и (4.2) индукция магнитного поля, созданного таким элементом, равна:
(4.3)
Поскольку все элементарные векторы 
коллинеарные, индукция результирующего поля находится интегрированием выражения (4.3) по всей длине соленоида. Магнитная индукция зависит от диаметра соленоида D = 2r, его длины L и расстояния XC. Как будет показано ниже, в центре соленоида магнитная индукция для бесконечно длинного соленоида определяется по приближённой формуле
, (4.4)
где 
– магнитная постоянная вакуума, 
– относительная магнитная проницаемость сердечника соленоида (для неферромагнитных материалов, таких как воздух, дерево, медь, алюминий 
), I – ток соленоида, N – количество витков соленоида, L – длина соленоида.
Найдём индукцию магнитного поля соленоида в точке С, лежащей на оси соленоида на расстоянии 
от его середины.
Для проведения расчёта введём координатную ось ОХ. Начало координат поместим в середину соленоида (рисунок 4.2), тогда XC – координата точки С. Произвольный элементарный виток толщины dx с координатой Х находится от точки С на расстоянии 
.
Подставим это выражение в формулу (4.3):
. (4.5)
|
|
Рисунок 4.2 – Элемент расчета индукции соленоида
При суммировании индукции полей, созданных всеми элементами, координата Х изменится от – 
до + 
.
Для упрощения интегрирования введём в качестве переменной интегрирования угол , умножив предварительно числитель и знаменатель выражения (4.5) на r. При подстановке учтём, что 
тогда выражение (4.5) примет вид:
.
Поскольку на рисунке 4.2 вектор 
, а значит и вектор 
направлен по оси ОХ, введём окончательно в качестве переменной интегрирования угол 
, тогда 
, причём угол изменяется для точки С от 
до 
(рисунок 4.3).
| C |
| α1 |
| α2 |
Рисунок 4.3 – Элемент расчета индукции соленоида
Окончательно получаем: 
,
. (4.6)
Как видно:
, 
.
В середине соленоида 
, 
и выражение (4.6.) принимает вид
. (4.7)
Если длина соленоида значительно превышает его диаметр (D << L), то из формулы (4.7) следует приближённое выражение (4.4) для магнитной индукции на оси бесконечно длинного соленоида.
При использовании формулы (4.4) относительная погрешность равна:
.
Разложив 
в степенной ряд по переменной 
и, отбрасывая члены, содержащие 
в степени больше двух, получим:
. (4.8)
Задавая относительную погрешность измерения магнитной индукции 
, можно найти соотношение между длиной и диаметром соленоида:
. (4.9)
Принимая поле внутри катушки однородным, а линии магнитного поля параллельными её оси, находим магнитный поток Φ внутри катушки:
,
где Н –напряжённость поля, 
.
Итак, используя формулы (4.4), (4.6), (4.7), можно определить магнитную индукцию поля в зависимости от координаты вдоль оси соленоида расчётным путём. В данной работе для определения магнитной индукции поля внутри соленоида опытным путём используется датчик Холла, работа которого основана на эффекте Холла.
Эффектом Холла называется явление возникновения Э.Д.С. между боковыми гранями пластинки с током, помещённой в поперечное магнитное поле.
Эффект Холла объясняется действием силы Лоренца на движущиеся в пластине заряженные частицы. Величина этой силы определяется формулой:
,
где e – заряд частицы, 
– скорость ее движения; 
– вектор магнитной индукции поля, квадратные скобки означают векторное произведение.
Если к граням 1 и 2 полупроводника, имеющего форму пластины, приложить постоянное напряжение (рисунок 4.4), то в цепи возникает ток.
Рисунок 4.4 – Датчик Холла (полупроводник n -типа)
При этом движущиеся носители зарядов полупроводника под действием силы Лоренца будут отклоняться в перпендикулярном направлении, и между точками 3 и 4 возникнет разность потенциалов, εx, называемая Э.Д.С. Холла.
Действие силы Лоренца можно рассматривать как действие эффективной электростатической силы с напряжённостью
.
Тогда разность потенциалов, возникающая между точками 3 и 4, равна εх = VBd,
где d – расстояние между поверхностями 3 и 4.
Введём в рассмотрение плотность тока
,
где n – концентрация носителей заряда, Sc = dh – площадь грани 1 (или 2), h – толщина пластинки. Теперь Э.Д.С. Холла можно записать в виде
, (4.10)
где 
– постоянная Холла, IД = 0,09А – рабочий ток датчика.
Из уравнения (4.10) следует, что если I = const, то εх = f(B).
Основными параметрами преобразователя Холла являются следующие параметры:
– номинальное значение управляющего тока Iмакс (рабочий ток);
– входное сопротивление R10. Измеряется между управляющими электродами преобразователя Холла. При В = 0 значение R10 указывается в паспорте;
– выходное сопротивление R20. В паспорте указывается значение R20 между холловскими электродами при разомкнутой цепи и отсутствии магнитного потока;
– чувствительность к магнитной индукции определяется выражением
. (4.11)
Вопросы для самоконтроля
1 Поясните зависимость магнитной индукции от координаты вдоль оси соленоида. Приведите расчётные формулы.
2 Как определить полярность магнитного поля соленоида?
3 Сформулируйте закон Био–Савара–Лапласа.
4 Объясните сущность метода измерения индукции магнитного поля при помощи датчика Холла.
5 Приведите примеры практического применения явления Холла.
Лабораторная работа 4
