Пусть функция 
имеет разрыв II рода на [a,b] либо в точках а и b, либо в точке 
, тогда несобственные интегралы от разрывной функции определяются следующим образом:
1) 
- точка разрыва, то
;
2) 
- точка разрыва, то
,
3) 
, с - точка разрыва, то
Если указанные пределы существуют и конечны, то несобственные интегралы называются сходящимися, в противном случае расходящимися.
Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) в промежутках [a,b) непрерывны, а в точке имеют разрыв II рода; кроме того 
. Если 
сходится, то сходится 
.
Если 
расходится, то расходится 
.
Пример 41. Исследовать на сходимость несобственный интеграл 
.
Решение. Функция 
в точке 
имеет разрыв II рода, поэтому
.
Интеграл расходящийся.
Пример 42. Исследовать на сходимость несобственный интеграл от неограниченной функции
Решение. При 
знаменатель функции обращается в 0, а числитель равен 1, следовательно, - точка разрыва II рода. Во всех остальных точках промежутка (0;1] подынтегральная функция непрерывна.
Заметим также, что 
,
Используя определение несобственного интеграла от неограниченной функции, а также формулу Ньютона-Лейбница получим
Интеграл сходящийся.
Приложения определенного интеграла
Вычисление площади плоской фигуры в
Декартовых координатах
Если задана непрерывная функция 
на [a,b], 
, то определенный интеграл с геометрической точки зрения представляет собой площадь так называемой, криволинейной трапеции (рис.4.1).
 | |||
| |||
(4.1)
Пусть криволинейная трапеция с основанием [a,b] ограничена снизу кривой (рис.4.2), то из соображений симметрии видим, что
 | |||
| |||
(4.2)
В некоторых случаях, чтобы вычислить площадь искомой фигуры, необходимо разбить ее на сумму или разность двух или более криволинейных трапеций и применить формулы (4.1) или (4.2) (рис.4.3. и 4.4)
Пример 43. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
Решение. 
- парабола. Найдем ее вершину и точки пересечения с осями координат.
; 
или 
,
Если 
, то 
- вершина параболы.
или 
или 
.
- прямая линия.
Найдем абсциссы точек пересечения прямой и параболы:
или 
.
Для вычисления площади заштрихованной области воспользуемся формулой (4.4)
Пример 44. Вычислить площадь двух частей, на которые круг 
разделен параболой 
.
Решение. Сделаем чертеж (рис.4.6)
- окружность с центром
в начале координат и радиусом 
.
- парабола, имеющая вершину
в т.О(0,0)
Найдем точки пересечения параболы
и окружности:
- не удовлетворяет условию .
Если 
, то 
или 
, 
Найдем площадь заштрихованной области по формуле (4.4), в которой изменены переменные интегрирования:
;
.
.
Найдем площадь второй (незаштрихованной) части, на которую круг разделен параболой
Вычисление площади фигуры, ограниченной линией,
Заданной параметрически
Пусть кривая задана параметрическими уравнениями 
то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми 
и 
и отрезком [a,b] оси ОХ, выражается формулой
, (4.5)
где 
, 
, 
и 
определяются из условий 
.
Пример 45. Найти площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и одной аркой циклоиды
.
Решение. Воспользуемся формулой (4.5). Предварительно найдем 
:
(кв.ед.)
