а) Необходимо вычислить интеграл 
,
где f(x) непрерывная функция на [a,b].
Перейдем к новой переменной t, полагая 
. Пусть 
, кроме того, при изменении t от a до b значения функции 
не выходят за пределы сегмента [a,b]. Предположим, что функция непрерывно дифференцируема на промежутке [a,b], то справедлива следующая формула замены переменной
.
Пример 35. Вычислить 
Решение. Преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат
.
Введем новую переменную: 
тогда 
,
или 
Найдем пределы интегрирования новой переменной t:
если 
, то 
если 
, то 
.
Воспользуемся формулой замены переменной в определенном интеграле, получим
Заметим, что в данном случае при применении формулы замены переменной отпадает необходимость возвращения к старой переменной х по сравнению с неопределенным интегралом. Это вполне объяснимо, ибо определенный интеграл есть некоторое постоянное число, в то время как неопределенный интеграл от той же самой функции есть некоторая функция.
б) Часто вместо замены переменной употребляют обратную замену переменной 
. На конкретном примере покажем, как это делается.
Покажем это на конкретном примере.
Пример 36. Вычислить 
.
Решение. Пусть 
, тогда 
Если 
то 
если 
, то 
Следовательно,
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
Пусть 
и 
- непрерывные функции вместе со своими первыми производными на [a,b], тогда справедлива формула интегрирования по частям:
Пример 37. Вычислить интеграл 
.
Решение. Применим полученную формулу
Подробнее о методах интегрирования в определенном интеграле см.[1] с.399-403.
Несобственные интегралы
Определение определенного интеграла, его свойства и методы интегрирования рассматривались в предположении, что промежуток интегрирования [a,b] конечен и функция f(x) непрерывна на нем.
Иногда приходится отказываться от одного или обоих этих предположений. В этом случае мы приходим к понятию несобственного интеграла.
Несобственные интегралы с бесконечными
Пределами интегрирования
Рассмотрим функцию 
, непрерывную на бесконечном промежутке 
.
Несобственным интегралом от функции f(x) по промежутку называется 
:
.
Если указанный предел существует и конечен, то несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.
Если 
на 
и 
, то данный интеграл представляет собой площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямой 
и бесконечным интервалом .
 |
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке 
:
а на интервале 
определяется формулой
где с - любое действительное число.
Если сравнить две криволинейные трапеции на рис.3.1, то конечность или бесконечность их соответствующих несобственных интегралов зависит от скорости убывания функции и 
при 
.
Так, например, 
сходится при 
и расходится при 
.
В этом легко убедится, вычислив 
, если 
.
Если 
, то 
при 
, поэтому 
- расходится, следовательно, и площадь соответствующей криволинейной трапеции бесконечна.
- несобственный интеграл сходящийся, следовательно, площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями 
и бесконечным промежутком 
, является конечной и равна 1.
Пример 38. Исследовать на сходимость несобственный интеграл 
.
Решение. Воспользуемся определением несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом интегрирования и далее - формулой интегрирования по частям
.
Несобственный интеграл сходится.
Пример 39. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 
.
Решение. Воспользуемся определением несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования. Полагаем 
.
Признак сравнения. Пусть в промежутке функции f(x) и g(x) непрерывны и 
. Если 
сходится, то сходится и интеграл 
. Если интеграл расходится, то и также расходится.
Замечание. Аналогичное утверждение верно для несобственных интегралов и по другим бесконечным пределам интегрирования.
Пример 40. Исследовать на сходимость несобственный интеграл 
.
Решение. Проведем сравнительный анализ подынтегральной функции при .
.
Но 
сходится, т.к. 
(см. рассуждения выше). Следовательно, по признаку сравнения сходится и данный интеграл.