Формирование математической модели. Расчётные зависимости

Исходные данные

x = _ _, _ – аргумент функции;

– степень точности.

 

Расчётные зависимости

Вычислительная математика предписывает расчет функции е^х в форме степенного ряда:

,

где – текущий элемент ряда,

– диапазон изменения параметра цикла;

i = i + 1 – закон изменения параметра цикла.

Выбор метода решения

Анализ возможности вычисления ряда (сходится – не сходится) определяет, что при малых значениях x (например, x = 0,1) ряд заведомо сходится.

Расчёт текущего значения элемента возможен:

· напрямую, т.е. по формуле ;

· рекуррентно, т.е по формуле .

Выбираем как более удобный второй метод (не требует вычисления факториала на каждом шаге). При этом параметрами цикла становятся величины y_i и i, имеющие одинаковые начальные значения (теоретически y_i = 0, i = 0), но разные законы изменения (y_i = y_i-1 x/i, i = i+1). Задаемся точностью вычисления (вначале ), тогда процесс счёта (сборки ряда) должен осуществляться, пока выполняется условие .

Следовательно, в качестве метода решения требуется смешанный процесс – циклический вычислительный процесс с неизвестным числом повторений (итерационный) с дополнительным вычислением суммы текущих элементов до получения результата с заданной степенью точности.

Составление алгоритма решения

Анализ математической формулировки задачи позволяет сделать вывод, что первый элемент ряда () всегда равен единице. Поэтому в алгоритме решения (рис. 8.7), выполненном в один шаг, начальное значение искомой суммы (ex) также равно единице, а не нулю. Предусмотрено задание начального значения элемента ряда (y_i-1 = 1) и его индекса (i = 1). Закон изменения индекса i = i + 1. Следовательно, алгоритм итерационного процесса содержит стандартные элементы – вход в цикл (блок 5), тело цикла (блоки 6, 7, 8, 9) и проверку условия повторения цикла или выхода из него (блок 10). Конкретное назначение основных блоков пояснено комментариями. Для улучшения наглядности организации вычислений элементы дружественности не показаны.

Программирование задачи

Идентификация переменных представлена в табл. 8.3.

Таблица 8.3

Обозначение в алгоритме	x		i	ex	yi	yi-1
Обозначение в программе	x	eps	i	ex	yi	yi1

Рис. 8.7. Схема алгоритма решения задачи 8.3

С учетом таблицы идентификации на основании схемы алгоритма составим программы решения задачи.

Классический вариант программирования задачи

#include <stdlib.h> /* директивы */

#include <stdio.h> /* препроцессора */

#include <conio.h>

#include <math.h>

#include <windows.h>

main() /* заголовок головной функции */

{

float x, eps, yi, yi1, ex; /* описатели */

int i; /* переменных */

char buf[50]; /*описание символьного массива*/

clrscr();

CharToOem(" Введите аргумент x: ",buf);

printf("\n %s ",buf);

scanf("%f", &x);

CharToOem(" Введите степень точности: ",buf);

printf("\n %s ",buf);

scanf("%f", &eps);

printf("\n x=%.2f eps=%.2e ", x, eps);

i = 1;

yi1 = 1;

ex = 1;

printf("\n ------------------------------------"

"\n | i | yi | ex |"

"\n -------------------------------------");

do

{

yi = yi1 * x/i;

ex = ex + yi;

printf("\n | %2d | %12.6f|%15.6f|", i, yi, ex);

i = i + 1;

yi1 = yi;

}

while(fabs(yi) >= eps);

printf("\n ------------------------------------");

CharToOem(" Количество итераций i= ",buf);

printf("\n %s %4d \n",buf,i-1);

CharToOem(" Значение функции exp(x) = ",buf);

printf("\n %s % 15.6f\n",buf,ex);

getch();

}

12.5 – первый блок

1e-2 исходных данных

12.5 – второй блок

1e-4 исходных данных

12.5 – третий блок

1e-6 исходных данных

Три блока численных значений позволяют проверить работоспособность программы при различных значениях степени точности.

Результаты счета представлены в приложении 8.5 (а, б, в).

Программирование задачи с графическим интерфейсом

Программирование задачи при использовании графического интерфейса предварим его разработкой. Для ввода аргумента экспоненты и степени точности расчета планируем поля редактирования (EditX, EditEps). Для вывода расчетных значений текущих элементов ряда и текущего значения функции планируем поля-списки (ListBoxYi, ListBoxExp). Вывод количества итераций и окончательного значения функции – в статические (для примера) поля (PoleIter, PoleExp).

ListBoxYi

ListBoxExp

Управление процессом решения реализуем двумя командными кнопками, расположенными в нижней части окна. Назначение каждой определяется ее названием.

С учетом планируемого интерфейса выполним программирование задачи.

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

….

void TSumprDlgClient::BNClickedOk()

{

// INSERT>> Your code here.

float x, eps, yi, yi1, ex; /* описатели */

int i; /* переменных */

char buf[50]; /*описание символьного массива*/

ListBoxYi->ClearList(); /*начальная очистка*/

ListBoxExp->ClearList();/* полей вывода*/

EditX->GetText(buf,10); /*ввод */

x=atof(buf); /*аргумента х */

EditEps->GetText(buf,10); /*ввод */

eps=atof(buf); /* степени точности */

i = 1; /* присваивание */

yi1 = 1; /* начальных */

ex = 1; /* значений */

do

{

yi = yi1 * x/i; /*расчет текущего элемента ряда*/

ex = ex + yi; /*расчет текущего значения функции*/

sprintf(buf,"%8.2f",yi); /* вывод текущих*/

ListBoxYi->AddString(buf); /* значений yi*/

sprintf(buf,"%15.1f",ex); /* вывод текущих*/

ListBoxExp->AddString(buf); /* значений ex*/

i = i + 1; /*наращивание номера итерации*/

yi1 = yi; /*переприсваивание значений элементов ряда*/

}

while(fabs(yi) >= eps);

sprintf(buf,"%s %3d","Количество итераций",i); /* вывод*/

PoleIter->SetText(buf); /* количества итераций*/

sprintf(buf,"%s %12.2f","Значение функции",ex); /* вывод*/

PoleExp->SetText(buf); /* значения функции*/

}

12.5 – первый блок

1e-2 данных

12.5 – второй блок

1e-4 данных

12.5 – третий блок

1e-6 данных

Три блока численных значений позволяют проверить работоспособность программы при различных значениях степени точности.

Результаты счета представлены в приложении 8.6.