Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [ a, b ]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:

где

Свойства определенного интеграла

Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [ a, b ].

1.

2. где k - константа;

3.

4.

5. Если для всех , то .

6.

7.

8. Если в интервале [ a, b ], то

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [ a, b ]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [ a, b ], то

Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной осью 0 x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле

Рис.1		Рис.2

Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [ a, b ], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой

Замена переменной в определенном интеграле

Определенный интеграл по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):

Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями

где g ^-1 - обратная функция к g, т.е. t = g ^-1(x).

Интегрирование по частям для определенного интеграла

В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:

где означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.

 

Пример 1

Вычислить интеграл .

Решение.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

Пример 2

Вычислить интеграл .

Решение.

 

Пример 3

Вычислить интеграл .

Решение.

Сделаем замену:

Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = −1. Если же x = 1, то t = 2. Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:

 

Пример 4

Вычислить интеграл .

Решение.

Запишем интеграл в виде

Используем интегрирование по частям: . В нашем случае пусть будет

Следовательно, интеграл равен

Пример 5

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми и .

Решение.

Сначала определим точки пересечения двух кривых (рисунок 3).

Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Следовательно, площадь фигуры равна

Рис.3		Рис.4

Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций и .

Решение.

Найдем координаты точек пересечения кривых (рисунок 4).

Данная область ограничивается сверху параболой , а снизу - прямой линией . Следовательно, площадь этой области равна