Интегрирование подстановкой) и интегрирование по частям.
Интегрирование подстановкой
Пусть 
. Тогда 
. Здесь t (x) - дифференцируемая монотонная функция.
При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.
1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f (t (x)), и 
, то замена переменной осуществляется подведением множителя под знак дифференциала: 
, и задача сводится к вычислению интеграла 
.
Пример 1
(задача сведена к вычислению 
, где t = cos x) 
(аналогично находится интеграл от 
); 
(задача сведена к вычислению 
, где t = sin x) 
.
2. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в 
имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x.
Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t:
; в результате
(возвращаемся к исходной переменной) .
Другие примеры:
. Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись:
= 
.
Рассмотрим 
(интеграл №19 из табл. неопределённых интегралов). Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену: 
(или 
, 
): 
.
Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающие 
и 
через косинус двойного угла:
.
Поэтому 
.
Искусство интегрирования в основном заключается в умении видеть необходимые подстановки; оно, как и любое другое искусство, вырабатывается упражнениями. Для основных классов функций требуемые подстановки будут изучаться дальше, здесь мы покажем, с помощью каких преобразований были выведены формулы 17, 15, 20 Таблицы неопределённых интегралов:
.
.
.
Второй интеграл элементарно сводится к первому:
.
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u (x) и v (x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d (uv) = u∙dv + v∙du 
. Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом 
):
.
Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных (dv = v ’ ∙dx, du = u ’ ∙dx):
.
Примеры:
. 
.
Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки (u = …, dv = …), можно сразу применять формулу, представив интеграл в виде 
:
.
Приведённые примеры показывают, для каких функций надо применять (или попытаться применить) формулу интегрирования по частям:
1. Интегралы вида 
, 
, 
, где Pn (x) - многочлен n -ой степени. Так, для имеем 
, 
, и 
. В результате мы получили интеграл того же типа с многочленом степени на единицу меньше. После n -кратного применения формулы степень многочлена уменьшится до нуля, т.е. многочлен превратится в постоянную, и интеграл сведётся к табличному.
2. Интегралы 
, где 
- трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x). В этом случае имеет смысл взять u = f (x), d v = Pn (x) dx, для того, чтобы в интеграле 
участвовала не f (x), а её производная.
Пример:
.
3. Для некоторых функций применяется приём “сведения интеграла к самому себе”. С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого интеграла, решая которое, находим значение интеграла.
4. Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением.
