(линейного тренда)
Здесь строится прямая линия, которая в среднем наименее уклоняется от некоторого множества точек характеризующих некоторый процесс.
(ti,xI)=i=1,n
X=at+b(1)
Где а и b-искомые коэффициенты.
Составляется функция
Y(a,b)=sum(ati+b)-xi)2(2)-критерий стремится к минимуму, необходимо минимизировать
Так как эта функция непрерывная и гладкая, то по необходимому условию существования экстремума частные производные зависит
dy(a,b)/da=0
dy(a,b)/db=0
Продифференцируем два по a и b, используя известные свойства дифференцирования.
dy(a,b)/da=d/da[sum(ati+b)-x1)2]=…=sum(ati-xi)+bn=0 (3)
dy(a,b)/db=d/db[sum(ati+b)-x1)2]=…=a sum ti2+b sum ti-sum tixi=0 (4)
уравнение 3 и 4 представляют собой систему уравнений из которой можно найти искомые коэффициенты.
a sum ti2+b sum ti-sum tixi (5)
a sum ti+bn= sum xi (5)
имеем 2 уравнения с неизвестными, где существует единственное решение.
Пример использующий данные предыдущих примеров.
| ti | xi | tixi | ti2 |
Sum ti=28, sum xi=56, sum tixi=223, ti2=140
Подставляя значения сумм из таблицы в систему 5 получим.
140a+28b=223 (6)
28a+7b=56 (6)
Решая систему линейных уравнений 6, получим ответ
a=-0.04 (7)
b=8.14 (8)
уравнение тренда согласно 1 и 7 имеет вид
x=-0.04t+8,14 (8)
по уравнению 8 расчет прогноза на следующий день проводится следующим образом.
f8=-0.04*8+8,14=7,82
точность прогноза оценивают коэффициента корень.
Каузальные методы прогнозирования (причинно следственные).
Эти методы применяются нужна высокая точность прогнозирования и результаты прогноза зависят от большого числа факторов (от уровня цен, доходов покупателей, рекламы, качество товаров и т.д.). необходимо иметь большое количество данных, времени, финансы, и определенный интеллект.
Качественные методы прогнозирования
Строятся на основе экспертных оценок, когда отсутствуют данные для прогноза или когда он очень дорог.
Дельфийский метод (метод экспертных оценок)
Каждому эксперту, независимо рассылаются вопросник или список вопросов по проблеме ответы и мнения экспертов анализируются, и составляется новый список вопросов, который рассылается эксперту и т.д. пока мнение экспертов не совпадут.
Эксперты между собой не общаются.
Изучение рынка или модель ожидания
Строится прогноз на основе различных опросов и их статистической обработке.
Метод консенсуса или мнение жюри
Соединяются и усредняются мнение экспертов в процессе мозгового штурма.
Совокупное мнение сбытовиков
Опирается на мнения торговых агентов, занимающихся реализацией товара.
Историческая аналогия
Прогноз делается на основе результатов по проблеме близкой к рассматриваемой.
Матричные игры
Это антагонистические игры, в которой участвуют два игрока прямо противоположными интересами, которые имеют конечное множество стратегий.
Матричная игра полностью определяется своей матрицей выигрышей (матрица игры).
Это матрица задается в виде
A-||aij||i=1,m;j=1,n=||a11 a12…a1n||
||a21 a22…a2n||
||am1 am2…amn||
Стратегии первого игрока обозначаются номерами строк, а стратегии второго игрока обозначаются номерами столбцов.
Процесс игры:
Задается матрица игры или выигрышей. Первый игрок выбирает номер строки, а второй игрок номер столбца. Выбор осуществляется независимо друг от друга. После выбора первый игрок получает выигрыш aij то есть число стоящее на пересечение i-строки и j-столбца.
Если число отрицательное, то имеет место проигрыша игрока.
Ситуацией в матричной игре называется пара чисел (I,j), характеризующая выбор игроками строки.
Ситуацией (I*,j*) является равновесной если для любого I и любого j выполняется двойное неравенство.
Aij*<=ai*j*<=ai*j (2)
I=1,m
J=1,n
Неравенство 2 означает, что имеется этот элемент aij и соответствующий платеж являются минимум по строке, и максимум по столбцу.
Элемент I,j иногда называют седловой точкой.
Доказано что для существования седловой точке, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны максимины и минимаксы.
Для определения седловых точек используется правило
Матрица
Минимум среди всех элементов строки. Минимум по j во второй строки.
Пример найти седловую точку.
Смешанные стратегии
Используемые первым игроком стратегии i=1,m а вторым игроком j=1,n иногда называют чистым стратегиями. Существуют также смешанные стратегии игроков.
Если в матрице игры А максимин и минимакс не совпадают maxmin ai,j=/ minimax ai,j то эта игра не имеет ситуации равновесия.
У одной из сторон может появиться или появляется возможность ситуацию улучшить.
Матрица
В данном случае minmax ai,j=3>2=maxmin ai,j
В данном случае нет седловой точке и возникает вопрос о разделе между игроками разницы minmax aij - maxmin aij=3-2=1>0 (3)
Первый игрок может обеспечить себе выигрыш maxmin aij, а игрок второй может не дать ему больше чем minmax aij
Доказано что целесообразно выбирать игрокам свои стратегии случайно, чтобы перераспределить в свою пользу возможно большие доли этой разности.
Смешанной стратегией будем называть случайную величину значениями которой являются стратегии игрока.
Таким образом смешанные стратегии каждого игрока состоит в выборе вероятности с которыми выбираются исходные стратегии игрока, то есть его первоначальные стратегии.
Выбор игроков одной из своих стратегий с вероятностью 1, а каждой из других стратегий с вероятностью 0 означает выбор именно этой выделенной стратегии.
Поэтому каждая первоначальная стратегия игрока является также смешанной стратегией, для того чтобы ее выделить из всего множества смешанных стратегий, называют чистыми стратегиями.
Смешанные стратегии
Введем математическое понятие, смешанные стратегии игроков. Обозначим через Х=(х1,х2,…xn) смешанную стратегию первого игрока, при чем х1>0, x2>0, xn>0 и sum xi=1, xi-вероятность появления i-ой стратегии первого игрока.
X=(0,2;0,4;0,1;0,3)
X=(0,1;0;0)
Y=(y1,y2…yn)
y1=>0;y2=>0;yn=>0
sum yj=1
yj-вероятность появления j-ой стратегии второго игрока.
Таким образом, смешанные стратегии являются случайными величинами имеющими ряд распределений.
Ситуацией в смешанном стратегиях игры называется пара XY.
Для каждой ситуации в смешанных стратегиях каждая обычная ситуация (x,y) игры является случайным событием, которое появляется с вероятностью хi*yj, поэтому в такой обычной ситуации первый игрок получает выигрыш ai,j а его средний выигрыш (математическое ожидание выигрыша) в смешанных стратегиях будет равно.
Формула
Число Н(X,Y) является выигрышем первого игрока в смешанных стратегиях.
Выражение 1 можно представить в матричном виде следующим образом
H(X,Y)=XAYT (2)
Ситуацией равновесия (седловой точкой) в матричной игре называются такая ситуация, для которой выполняется двойное неравенство.
X*AY*T<X*AY*T<=X*AYT (3)
Ситуация равновесия в смешанных стратегиях существует всегда, то есть для любой матричной игры.
Показано что какова бы не была матрица А, то существует maxmin XAYT и minmax XAYT.
