Решая эту систему получим подозрительные точки, которые надо дополнительно исследовать, используя правило Сильвестра.
для этого вычисляют все производные второго порядка которые обозначаются
(формулы)
Затем вычисляются главные (диагональные миноры) матрицы А. если все эти миноры положительно определены, то есть выполняется неравенства, то квадратичная форма функции f(x) положительно определена. Квадратичная форма в степени 2 от n переменной. если все нечетные миноры отрицательны, то квадратичная форма отрицательно определена. Если условие положительно или отрицательная определенность выполнена и все миноры не равны нулю, то имеет место точка перегиба. Если хотя бы один минор не равен нулю, то надо исследовать производные более высоких полей.
Если квадратичная форма положительно определена, то f(x) достигает минимума в подозрительной точке. Если квадратичная форма, отрицательно определена, то f(x) достигает максимума.
Курсовая работа
Позиционные игры (шахматы – игрок делает ход и видно какая складывается игра, дальше не знаем что делаем)
Найти экстремум функции двух переменных
F(x1,x2)=x12+x22->extr
По необходимому условия, существования экстремума находим частные производные и приравниваем к нулю
df(x1,x2)/dx1=2x1=0
df(x1,x2)/dx2=2x2=0
решив систему уравнений х1=0, х2=0. Х=(х1,х2).-подозрительная точка на экстремум, исследуем производные второго порядка и применим.
A|a11 a12|=|df(x)/dx2 d2f(x)/dxdx2|
|a21 a22| |df(x)/dx2dx1 d2f(x)/dx22 |
D2f(x)/dx12=2
D2f(x)/dx1dx2=0
D2f(x)/dx2dx1=0
D2f(x)/dx22=2
В нашем случае d2f(x)/dx1dx2=df(x)dx2dx1=0.
Таким образом, матрица А имеет вид
A=|2 0|
|0 2|
Главный минор матрицы А:
/\ 2=|2|=2>0 минор первого порядка
/\ 2=|2 0|=2*2-0*0=4>0
|0 2|
Так как оба главных минора положительны, то соответствующая квадратичная форма положительно определена, и следовательно рассматриваемые функции f(x1,x2), что она достигает в точке x1=0(*), x2=0(*) минимума при чем f(x1*,x2*)=f(0,0)=0+0=0
x1=0(*), x2=0(*) оптимальное решение.
Работа над ошибками
Дан прямоугольный лист жести с размерами 80 на 50. Надо вырезать около всех углов одинаковые квадратики. Так чтобы после загибания оставшихся крон, получилось открытая сверху коробка максимальной вместимости.
Решение
1)d max
сформулируем задачу оптимизации в которой критерием оптимальности или целевой функцией является объем коробки.
Объем коробки = длина*ширина*высота L*B*H
X=h - высота
0<x<25(см) прямое ограничение на переменную х.
Таким образом Vкор.=(80-2x)*(50-2x)*x
Задача оптимизации формулируется следующим образом
V(x)->min x э(0,25)
Проведя вычисление с V(x) получим
V(x)=4x3-260x2+4000
X э (0,25)
По сколько имеется аналитическое выражение то можно использовать классические методы анализа.
X3-65x2+1000=0
По необходимому условию существования экстремума найдем производную от выражения 2.
3x2-130x+1000=0
X1=130+-16900-12/60=130+-70/60
X1=130+70/6=33.333 не удовлетворяет условие задачи
X2=130-70/6=10 подходит по условию задачи (подозрительная точка)
Далее проведем исследование этой точки, используя вторую производную.
V”(x)=d2 V/dx2=3*2x-130|x=10|=60-130=-70
Так как в подозрительной точки вторая производная от целевой функции отрицательна, то по достаточному условию существования в этой точке имеется максимум. Таким образом x*=10-оптимальное решение, V”(x*)=(80-20)(50-20)*10=18000 (см3)
2)найдите max и min целевой функции
F(x)=x2-4|x|+3
X э [-3;3]
X э [-1;1]
X э -[-5;0]
Мы имеем непрерывную функцию, для которой необходимым условием существования экстремума является: равенство нулю или отсутствие производных в подозрительных точках.
Запишем выражение1 в следующим виде:
F(x)=x2-4x+3, если x<0
F(x)=x2-4(-x)+3, если x>0
Или
f(x)=(x-2)2 -1, если x>=0
f(x)=(x+2)2 -1 если x<0
x2+22x+4-1=(x2+2)2-1
вычислим первую производную функции f(x)
df(x)/dx=2x-4, если x>0
df(x)/dx=2x+4, если x<0
при этом df(x)/dx|x=0|=(-4, x>o справа), (4, слева)
2x-4=0
2x+4=0
X=+-2
Внутренние подозрительные точки = -4 справа от нуля и +4 слева от нуля.
В точке 0 имеет место разрыва производная.
Таким образом, имеем 3 подозрительные точки -2,0,2. Исследуем их на наличие экстремума. Для этого. Вычислим в точках х=+-2 вторые производные:
D2f(x)/dx2=2 если x>0, если x<0
Таким образом здесь в точки х=-2 имеет место min. X*=-2, f*=f(x*)=(-2)2-4(-2)+3=-1
Вычислив вторую производную в точке. В точке 0 у нас находится max по сколько производная слева от точки 0 равна – 4, а справа она меняет знак и =4.
Далее выясним каковы значения f(x) на концах отрезка [-3,3]
F(-3)=9+4(-3)+3=0
F(3)=9-12+3=0
Сравнив значения f(x) -3,-2,0,2,3 получим, что f(x)->min в точках -2,2, а max в точке 0.
Численные методы одномерной оптимизации
f(x),x
f’(x)=0
f(x)->mm (max)
поиск экстремума функции f(x) обычно сводится к решению уравнения f’(x)=0 уравнение, которое часто оказывается эквивалентной по сложности исходной задачи.
Аналитически выражение для решения задачи f’(x)=0 получается редко.
Методы поиска имеют как самостоятельные значения, так и применяются в качестве вспомогательных в задачах многомерной оптимизации, где х-много (поиск по направлению и т.д.).
Иногда с их помощью удается провести последовательную оптимизацию.
Наиболее простым является метод сканирования.
Рассматривается отрезок a, b на котором рассматривается функция f(x) и точность вычисления больше нуля и ищется минимум функции.
S=(b-a) длина отрезка [a,b]
Разобьем этот отрезок на одинаковые участки длиной так, чтобы получилось n-точек (n=[S/э]+1]
[] - знак целого числа
Целое число – это ближайшее целое число не превосходящее его.
5,6=>[5]-4,3=>[-4,3]=-5
При таком разбиение длина получаемых отрезков меньше или равна э.
F=i=min{fj(xj)}, I э {1,2,3…n}
Номер I определяет решение задачи xi=x*- оптимальное решение, где функция достигает своего минимального значения.
Метод позволяет найти глобальный минимум с точностью меньшей или равной э, справедлив для любой функции.
Его достоинство простота и поиск глобального минимума, недостаток, много вычислений.
N=[S/S/100]+1=101 вычисление
Методы поиска экстремума унимодальных функций
Пусть отрезок х – множество [a, b] f(x) называется унимодальной на Х, если существует такая точка х* что выполняются неравенства:
F(x)>f(x2), если x1<x2<x*;
F(x1)<f(x2), если x*<x1<x2.
Если функция f(x) является непрерывной то унимодальность означает наличие у нее единственного локального минимума на a,b.
Далее рассматриваются методы справедливые для унимодальных функций.
Метод локализации
Разобьем отрезов [a, b] на N равных частей (лучше на 4 части).
A=x0, x1,x2,x3,x4=b
И вычислим значение функций в этих точках.
F3=min f(xj)
J э [1,5]
[x1,x3] при этом вычислим значение функции, и оставляем наименьшее значение =>f6.
Заметим, что путем двух вычислений дополнительных экстремум локализуема. Продолжая и т.д. мы каждый раз путем двух вычислений функций на новом отрезке локализуем экстремум. Вычисления прекращаются, когда размер отрезка локализации будет меньше э.
/\ =b-a/2*(k-1/2), k-число вычислений f(x) на соответствующих шагах.
Э= /\ /b-a=1/2*(k-1/2)
N=4, k=5
Э=1/2*(5-1/2)=1/4
K=7=>
K=15=>1/128=0,01
Ищется локальный экстремум.
