Пусть задано множество х и f(x) определенная на х. требуется найти точки минимума и макимума на Х.
F(x)->min, x э X (1)
F(x)->max, x э X(2)
Запись f(x) критерий оптимальности-целевая функция.
х э X допустимая точка решения
Х-множества допустимых решений.
Конечно мерными задачами оптимизации называются такие задачи в которых Х является подмножеством Rn.
Бесконечно мерными задачами оптимизации называются такие задачи оптимизации в которых Х это множество из функциональных пространтв.
X=>функциональному пространству
x* э X называется:
а)точкой глобального минимума (максимума)
б)функцией f(X) или глобальным решением задачей 1 или 2, если выполняются неравенства.
f(x*)<=f(x), x э X (3)
(=>) (4)
В)точкой локального минимума (максимума), если выполняется неравенства
f(x*)<=f(x), x э X (5)
=> (6)
Где Х окрестность в точки х*.
Если неравенство в задачах 3,4,5,6 строгие, то говорят о строгом минимуме и строгом максимуме, соответственно в глобальном 3 и 4, и локальном 5 и 6, смыслах.
Глобальное решение является и локальным, обратное не верно. Тот факт что точка x* является точкой глобального минимума обозначают следующим образом
F(x*)=min f(x), x э X. (7)
Или
X*=argmin f(x), x э Х (8)
Множества всех точек глобального экстремума обозначается почти также Argmin f(x), x э X.
Аналогично вводится понятие для задач максимизации.
Решения задач 1 и 2, то есть точки минимума или максимума называются точками экстремума.
А сами задачи 1 и 2 экстремальными.
F(x)->max, x э Х (10)
F(x)->min, x э Х (11)
Эквивалентно в том смысле что локальные и глобальные, строгие и не строгие. Решения таких задач, совпадают. Это позволяет переносить результаты решения одной задачи на другую.
Задачи условной и безусловной оптимизации
Задача 1 называется задачей безусловной оптимизацией если совпадает с вещественным пространством.
X=Pn
F(x)->min, x э Rn
Задачей 1 называется задача условной оптимизации собственное подмножество n.
X с Rn
F(x)->min
задачей безусловной оптимизации значительно проще по сравнению с условными задачами.
Классической задачей на условный экстремум называется такая задача 1, в которой множество Х задается системой конечного числа уравнений, то есть Х={x э Rn/gi(x)=0} обычно эту задачу записывают в виде f(x)=>min (14)
Gi(x)=0, i=1,m, x э Rn(15)
Таким образом 14, 15 множество х не задается, а приводится система его определяющая. Классическая задача на условный экстремум.
Задача 14, 15 сводим с решению задачи безусловной оптимизации, вводят некоторую новую функцию называемой функцией Ла Гранша.
В задачи 14, 15 неизвестных было n, связанных m-уравнениями.
Решив эти уравнения находим искомые решения х*.
Искомое решение
Математическое программирование
Является важнейшим классом задачей оптимизации.
Такой задачей n математического программирования, называют задачей вида с которой
F(x)->min, x э Х
Х={x э P/gi(x)<=0,\gi,(x)=0,i=1,m}
В данном случае множества Х задается совокупностью неравенств, и m-k равенству. В которые эти равенства заданы на множестве P.
Задачу 1 и 2 записывают в виде
f(x)->min
gi(x) э 0,i=1,k
gi(x) э 0,i=k-1, x э 2,5)
здесь ограничения 4 являются неравенствами 4,5, а 5 равенствами при чем х принадлежит называются прямые ограничения.
Прямые ограничения.
Ограничения типа равенств неравенств называются функциональные.
Прямые ограничения могут иметь различную природу. В задачи 3-5 мате математического программирования может быть: не быть. K=0. Ограничение 5 (k=m) не быть вообще ограничений функциональных ограничений, а также прямых ограничений.
Деление ограничения на функциональные и прямые, условно. Можно провести преобразование, а следовательно преобразование упрощая задачу и придти к виду 1.
Форма и сложность записи зависит от цели конкретных исследований. Однако чем более подробно записи, тем больше информации в итоге можно получить.
Обычно в качестве прямых ограничений используют множество простой структуры.
P={x э Rn/aj<=X,<=bj, j=1,n}
Aj=-8,bj=+8 для некоторых или всех j=1,n
Часто выбирают p=Rn+ или p=Rn
Рисунки 1 (перерисовать) – 6 штук
В математическом программирование выделяют классы:
1)линейное программирование
2)нелинейное
И т.д. (см лек №2)
