Вынужденные колебания. Резонанс

Рассмотрим важный случай колебаний, возникающих, когда на точку, кроме восстанавливающей силы , действует еще периодически изменяющаяся со временем сила , проекция которой на ось Ох равна

Q=Q₀sinpt.

Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происходящие при действии такой силы, называются вынужденными. Величина Р является частотой возмущающей силы.

Возмущающей силой может быть сила, изменяющаяся со временем и по другому закону. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда Q_x определяется указанным равенством. Такая возмущающая сила называется гармонической.

Рассмотрим движение точки, на которую, кроме восстанавливающей силы , действует только возмущающая сила . Дифференциальное уравнение движения в этом случае

Разделим обе части этого уравнения на т и положим

Тогда, учитывая обозначение, приведем уравнение движения к виду

Уравнение является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления. Его решением, как известно из теории дифференциальных уравнений, будет , где - общее решение уравнения без правой части, а - какое-нибудь частное решение полного уравнения.

Полагая, что p = k, будем искать решение в виде

где А - постоянная величина, которую надо подобрать так, чтобы равенство обратилось в тождество. Подставляя значение и его второй производной в уравнение будем иметь:

Это равенство будет выполняться при любом t, если A(k²-p²)=P₀или

Таким образом, искомое частное решение будет

Так как , а общее решение имеет окончательно вид

где A и - постоянные интегрирования, определяемые по начальным данным. Решение показывает, что колебания точки складываются в этом случае из: 1) колебаний с амплитудой A (зависящей от начальных условий) и частотой k, называемых собственными колебаниями, и 2) колебаний с амплитудой А (не зависящей от начальных условий) и частотой р, которые называются вынужденными колебаниями

График вынужденных колебаний показан на рис.16.

Рис.16

Частота р вынужденных колебаний, как видно, равна частоте возмущающей силы. Амплитуду этих колебаний, если разделить числитель и знаменатель на k², можно представить в виде:

где , т. е. есть величина статического отклонения точки под действием силы Q₀. Как видим, A зависит от отношения частоты р возмущающей силы к частоте ω₀ собственных колебаний.

Подбирая различные соотношения между р и ω₀, можно получить вынужденные колебания с разными амплитудами. При p=0 амплитуда равна (или близка к этой величине). Если величина р близка к ω₀, амплитуда A становится очень большой. Когда p>> ω₀, амплитуда A становится очень малой (практически близка к нулю).

Резонанс. При вынужденных колебаниях в случае, когда p= ω₀, т.е. когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса (резкое возрастание амплитуды колебаний системы). Размахи вынужденных колебаний при резонансе будут со временем неограниченно возрастать так, как показано на рис.16.1. При резонансе наступают наиболее благоприятные условия для поступления энергии в колеблющуюся систему от источника внешней силы. Увеличение амплитуды происходит до тех пор, пока вся работа внешней силы не сравняется с энергией потерь. В реальных условиях всегда существуют факторы, ограничивающие амплитуду колебаний и определяющие возможность существования резонанса. Это, прежде всего, рассеивание (диссипация) энергии в системе и неточное совпадение частоты вынуждающей силы с собственной частотой системы.

Амплитуда при резонансе

а резонансная частота

Рис.16.1

Резонанс играет большую роль в природе, науке и технике. Резонанс сооружений и машин при периодических внешних воздействиях может являться причиной катастроф. Чтобы избежать резонансного воздействия, подбирают соответствующим образом свойства системы или используют успокоители колебаний, основанные на явлении антирезонанса. В радиотехнике благодаря резонансу можно отделить сигналы одной (нужной) радио- или телестанции от всех других.