Обычное описание движения системы с одной степенью свободы в виде зависимости координаты от времени x=x(t) не является единственно возможным. В ряде случаев, особенно при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами обладает представление движения на фазовой плоскости.
Состояние системы в любой фиксированный момент времени t определяется парой соответствующих значений x и 
и может быть представлено изображающей (фазовой) точкой в плоской декартовой системе координат x, v, если откладывать по оси абсцисс координату x, а по оси ординат – скорость v. Такая плоскость называется фазовой.
В процессе движения рассматриваемой системы величины x и v изменяются и, соответственно, меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазовой траекторией.
Для построения фазовой траектории при заданном законе движения x=x(t) нужно путем дифференцирования образовать выражение скорости v =x(t), а затем исключить время из двух уравнений: x=x(t), 
.
Функция v = v (x) и описывает фазовую траекторию данного движения.
Фазовая плоскость особенно удобна для представления колебательных процессов, когда координата и скорость не выходят за известные пределы; поэтому вся картина движения даже в течение неограниченного времени занимает ограниченную часть фазовой плоскости.
Совокупность фазовых траекторий, которая описывает все возможные движения данной системы, называется фазовой диаграммой (фазовым портретом) данной системы.
Для свободных гармонических колебаний 
, а 
. Исключая из этих выражений время t получаем
Это уравнение эллипса (рис.11). Его полуоси зависят от амплитуды и круговой частоты.
Рис.11
Свободные колебания в поле постоянной силы.
На материальную точку кроме упругой силы, действует сила постоянная по величине и направлению.
Рис.12
Обозначим ее Fст (рис.12), тогда дифференциальное уравнение движения точки примет вид:
Начальные условия имеют вид:
при t=0: 
Это неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение складывается из решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения 
Решение имеет вид:
,
,
Если начало отсчета координаты сдвинуть на 
(рис.13), тогда в новой системе отсчета решение будет иметь вид:
- амплитуда колебаний;
Рис.13
Параллельное включение упругих элементов.
Масса закреплена с помощью двух упругих элементов расположенных параллельно (рис.14).
Рис.14
Сместим массу на расстояние x.
.
Результирующая жесткость упругих элементов расположенных параллельно равна сумме жесткостей этих элементов.
