Известно, что свободные колебания не длятся очень долго. Как правило они, как говорят, затухают и довольно скоро. Причиной этому является чаще всего – сопротивление среды, в которой движутся части колебательной системы.
Обычно считают это сопротивление пропорциональным скорости. Пусть на каждую точку материальной системы действует сила сопротивления 
. Обобщенная сила, соответствующая этим силам,
Скорость точек
так как 
– сложная функция, 
а q=q(t). Поэтому 
Значит, 
Обозначим 
. Тогда обобщенная сила сопротивления 
Заметим, что по форме эта функция Ф аналогична кинетической энергии Т. Поэтому, если разложить ее в ряд Маклорена и учесть члены лишь второго порядка малости, результат получится тоже аналогичным (5): 
(коэффициент b также будет положительным). И тогда обобщенная сила сопротивления движению
Функция Ф называется диссипативной или функцией рассеивания энергии системы.
После подстановки в уравнение Лагранжа 
, получим дифференциальное уравнение 
или
(10)
Где n=b/2a - коэффициент сопротивления, 
- частота свободных колебаний без сопротивления.
Найдем решение уравнения (10). Характеристическое уравнение: z2+2nz+k2=0 Корни его 
, могут быть и комплексными, и вещественными в зависимости от сопротивления, от величины коэффициента n.
а) Случай малого сопротивления ( n < k).
Корни получаются комплексными 
, где 
, 
. Решение дифференциального уравнения ищем в виде
(11)
или
(12)
где постоянные C1 и C2 или 
и 
находятся по начальным условиям.
Сравнивая решение (12) с (2), делаем вывод, что это будут колебания, но не гармонические, так как амплитуда колебаний, равная 
, не постоянная, уменьшается с течением времени. Поэтому такие колебания и называются затухающими.
График таких колебаний дан на рис. 5.
Рис.5
Следует заметить, что колебательный процесс не будет периодическим. Но, так как система проходит через положение равновесия через равное время, все-таки вводят понятие периода 
.
Если сравнить этот период колебаний с периодом колебаний системы без сопротивления (3), увидим, что сопротивление увеличивает период колебаний и уменьшает их частоту.
Интересна закономерность изменения амплитуды. Найдем отношение соседних амплитуд (через полпериода T/2):
То есть амплитуды уменьшаются по закону геометрической прогрессии, знаменателем которой является величина 
.
Натуральный логарифм ее, равный nT/2, называется логарифмическим декрементом колебаний.
Конечно, через период амплитуда уменьшится в 
раз, а через m периодов – в 
раз.
б) Случай большого сопротивления ( n>k).
Корни характеристического уравнения получатся вещественными: . В этом случае, как известно из курса математики, решение дифференциального уравнения (10):
Решение явно неколебательное, непериодическое.
Графики таких движений показаны на рис.6. Вид движения зависит от начальных условий и величины коэффициента сопротивления n.
Рис.6
в) Случай равного сопротивления (n = k).
Корни характеристического уравнения получаются равными: 
. Поэтому решение дифференциального уравнения
. (14)
Движение и в этом случае не будет колебательным.
