Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

П = П(q ₁, q ₂, q ₃,…, q_s).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты. Так если размерность [ q ] – метр, то размерность

[Q]= Нм/м = Ньютон, если [ q ] – радиан, то [Q] = Нм; если [ q ] = м², то [Q]=H/м и т.п.

 

Пример 4. По качающемуся в вертикальной плоскости стержню скользит колечко М весом Р (рис.10). Стержень считаем невесомым. Определим обобщенные силы.

Рис.10

 

Решение. Система имеет две степени свободы. Назначаем две обобщенные координаты s и .

Найдем обобщенную силу, соответствующую координате s. Даем приращение этой координате, оставляя координату неизменной, и вычислив работу единственной активной силы Р, получим обобщенную силу

Затем даем приращение координате , полагая s = const. При повороте стержня на угол точка приложения силы Р, колечко М, переместится на . Обобщенная сила получится

Так как система консервативная, обобщенные силы можно найти и с помощью потенциальной энергии . Получим и . Получается гораздо проще.

Уравнения равновесия Лагранжа

По определению (7) обобщенные силы , k = 1,2,3,…, s, где s – число степеней свободы.

Если система находится в равновесии, то по принципу возможных перемещений (1) . Здесь – перемещения, допускаемые связями, возможные перемещения. Поэтому при равновесии материальной системы все ее обобщенные силы равны нулю:

Q_k = 0, (k =1,2,3,…, s). (10)

Эти уравнения, уравнения равновесия в обобщенных координатах или уравнения равновесия Лагранжа, позволяют решать задачи статики еще одним методом.

Если система консервативная, то . Значит, в положении равновесия . То есть в положении равновесия такой материальной системы ее потенциальная энергия либо максимальна, либо минимальна, т.е. функция П(q) имеет экстремум.

Это очевидно из анализа простейшего примера (рис.11). Потенциальная энергия шарика в положении М ₁ имеет минимум, в положении М ₂ – максимум. Можно заметить, что в положении М ₁ равновесие будет устойчивым; в положении М ₂ – неустойчивым.

Рис.11

 

Равновесие считается устойчивым, если телу в этом положении сообщить малую скорость или сместить на малое расстояние и эти отклонения в дальнейшем не увеличатся.

Можно доказать (теорема Лагранжа-Дирихле), что если в положении равновесия консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Для консервативной системы с одной степенью свободы условие минимума потенциальной энергии, а значит и устойчивости положения равновесия, определяется, второй производной, ее значением в положении равновесия,

. (11)

 

Пример 5. Стержень ОА весом Р может вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси О (рис.12). Найдем и исследуем устойчивость положений равновесия.

Рис.12

 

Решение. Стержень имеет одну степень свободы. Обобщенная координата – угол .

Относительно нижнего, нулевого, положения потенциальная энергия П= Рh или

В положении равновесия должно быть . Отсюда имеем два положения равновесия, соответствующие углам и (положения ОА ₁ и ОА ₂). Исследуем их устойчивость. Находим вторую производную . Конечно, при , . Положение равновесия устойчиво. При , . Второе положение равновесия – неустойчиво. Результаты очевидны.

 

Обобщенные силы инерции.

По той же методике (8), по которой вычислялись обобщенные силы Q_k, соответствующие активным, задаваемым, силам, определяются и обобщенные силы S_k, соответствующие силам инерции точек системы:

И, так как то

Немного математических преобразований.

Очевидно,

Отсюда

Так как а qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), то

Значит, частная производная скорости по

Кроме того, в последнем члене (14) можно поменять порядок дифференцирования:

Подставляя (15) и (16) в (14), а потом (14) в (13), получим

Разделив последнюю сумму на две и, имея ввиду, что сумма производных равна производной от суммы, получим

где – кинетическая энергия системы, - обобщенная скорость.

 

Уравнения Лагранжа.

По определению (7) и (12) обобщенные силы

Но на основании общего уравнения динамика (3), правая часть равенства равна нулю. И так как все (k = 1,2,3,…, s) отличны от нуля, то . Подставив значение обобщенной силы инерции (17), получим уравнение

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах, уравнениями Лагранжа второго рода или просто – уравнениями Лагранжа.

Количество этих уравнений равно числу степеней свободы материальной системы.

Если система консервативная и движется под действием сил потенциального поля, когда обобщенные силы , уравнения Лагранжа можно составить по форме

Или

где L = T – П называется функцией Лагранжа (предполагается, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей).

Нередко при исследовании движения материальных систем оказывается, что некоторые обобщенные координаты q_j не входят явно в функцию Лагранжа (или в Т и П). Такие координаты называют циклическими. Уравнения Лагранжа, соответствующие этим координатам, получаются проще.

.

Первый интеграл таких уравнений находится сразу. Он называется циклическим интегралом:

Дальнейшие исследования и преобразования уравнений Лагранжа составляют предмет специального раздела теоретической механики – «Аналитическая механика».

Уравнения Лагранжа обладают целым рядом достоинств в сравнении с другими способами исследования движения систем. Основные достоинства: методика составления уравнений одинакова во всех задачах, реакции идеальных связей не учитываются при решении задач.

И еще одно – эти уравнения можно использовать для исследования не только механических, но и других физических систем (электрических, электромагнитных, оптических и др.).

 

Пример 6. Продолжим исследование движение колечка М на качающемся стержне (пример 4).

Обобщенные координаты назначены – и s (рис.13). Обобщенные силы определены: и .

Рис.13

 

Решение. Кинетическая энергия колечка Где а и .

Поэтому

Составляем два уравнения Лагранжа

то уравнения получаются такими:

или

Получили два нелинейных дифференциальных уравнения второго порядка, для решения которых нужны специальные методы.

 

Пример 7. Составим дифференциальное уравнение движения балочки АВ, которая перекатывается без скольжения по цилиндрической поверхности (рис.14). Длина балочки АВ = l, вес – Р.

В положении равновесия балочка располагалась горизонтально и центр тяжести С ее находился на верхней точке цилиндра. Балочка имеет одну степень свободы. Положение ее определяется обобщенной координатой – углом (рис.76).

Рис.14

 

Решение. Система консервативная. Поэтому уравнение Лагранжа составим с помощью потенциальной энергии П=mgh, вычисленной относительно горизонтального положения. В точке касания находится мгновенный центр скоростей и ( равно длине дуги окружности с углом ).

Поэтому (см. рис.76) и .

Кинетическая энергия (балка совершает плоскопараллельное движение)

Находим необходимые производные для уравнения и

Составляем уравнение

или, окончательно,

Вопросы для самопроверки

- Что называется возможным перемещением несвободной механической системы?

- Как взаимосвязаны возможные и действительные перемещения системы?

- Какие связи называются: а) стационарными; б) идеальными?

- Сформулируйте принцип возможных перемещений. Запишите его формульное выражение.

- Возможно ли применение принципа виртуальных перемещений к системам с неидеальными связями?

- Что представляют собой обобщенные координаты механической системы?

- Чему равно число степеней свободы механической системы?

- В каком случае декартовы координаты точек системы зависят не только от обобщенных координат, но и от времени?

- Что называют возможными перемещениями механической системы?

- Зависят ли возможные перемещения от действующих на систему сил?

- Какие связи механической системы называют идеальными?

- Почему связь, осуществленная с трением, не является идеальной связью?

- Как формулируется принцип возможных перемещений?

- Какие виды может иметь уравнение работ?

- Почему принцип возможных перемещений упрощает вывод условий равновесия сил, приложенных к несвободным системам, состоящим из большого числа тел?

- Как составляются уравнения работ для сил, действующих на механическую систему с несколькими степенями свободы?

- Какова зависимость между движущей силой и силой сопротивления в простейших машинах?

- Как формулируется золотое правило механики?

- Каким образом определяют реакции связей с помощью принципа возможных перемещений?

- Какие связи называются голономными?

- Что называется числом степеней свободы механической системы?

- Что называется обобщенными координатами системы?

- Сколько обобщенных координат имеет несвободная механическая система?

- Сколько степеней свободы имеет управляемое колесо автомобиля?

- Что называется обобщенной силой?

- Запишите формулу, выражающую полную элементарную работу всех приложенных к системе сил в обобщенных координатах.

- Как определяется размерность обобщенной силы?

- Как вычисляются обобщенные силы в консервативных системах?

- Запишите одну из формул, выражающих общее уравнение динамики системы с идеальными связями. Каков физический смысл этого уравнения?

- Что называется обобщенной силой активных сил, приложенных к системе?

- Что такое обобщенная сила инерции?

- Сформулируйте принцип Даламбера в обобщенных силах.

- Какой вид имеет общее уравнение динамики?

- Что называется обобщенной силой, соответствующей некоторой обобщенной координате системы, и какую она имеет размерность?

- Чему равны обобщенные реакции идеальных связей?

- Выведите общее уравнение динамики в обобщенных силах.

- Какой вид имеют условия равновесия сил, приложенных к механической системе, полученные из общего уравнения динамики в обобщенных силах?

- Какими формулами выражаются обобщенные силы через проекции сил на неподвижные оси декартовых координат?

- Как определяются обобщенные силы в случае консервативных и в случае неконсервативных сил?

- Какие связи называются геометрическими?

- Приведите векторную запись принципа возможных перемещений.

- Назовите необходимое и достаточной условие равновесия механической системы с идеальными стационарными геометрическими связями.

- Каким свойством обладает силовая функция консервативной системы в состоянии равновесия?

- Запишите систему дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода.

- Сколько уравнений Лагранжа второго рода можно составить для несвободной механической системы?

- Зависит ли число уравнений Лагранжа механической системы от количества тел, входящих в состав системы?

- Что называется кинетическим потенциалом системы?

- Для каких механических систем существует функция Лагранжа?

- Функцией каких аргументов является вектор скорости точки, принадлежащей механической системе с s степенями свободы?

- Чему равна частная производная от вектора скорости точки системы по какой-либо обобщенной скорости?

- Функцией каких аргументов является кинетическая энергия системы, подчиненной голономным нестационарным связям?

- Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода? Чему равно число этих уравнений для каждой механической системы?

- Какой вид принимают уравнения Лагранжа второго рода в случае, когда на систему действуют одновременно консервативные и неконсервативные силы?

- Что представляет собой функция Лагранжа, или кинетический потенциал?

- Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы?

- В зависимости от каких переменных величин должна быть выражена кинетическая энергия механической системы при составлении уравнений Лагранжа?

- Как определяется потенциальная энергия механической системы, находящейся под действием сил упругости?