Принцип возможных перемещений при движении материальной системы. Общее уравнение динамики

По принципу Даламбера материальную систему, движущуюся под действием некоторых сил, можно рассматривать находящейся в равновесии, если ко всем точкам системы приложить их силы инерции. Значит можно воспользоваться и принципом возможных перемещений.

В уравнение работ (1) добавится еще сумма работ сил инерции точек на их возможных перемещениях:

. (3)

Или по принципу возможных скоростей (2):

(4)

Эти уравнения называют общим уравнением динамики. Оно позволяет решать большой класс задач на исследование движения довольно сложных материальных систем.

Уравнения (3) и (4) показывают, что в любой фиксированный момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю при условии, что на систему наложены идеальные и удерживающие связи.

Силы инерции точек и твердых тел, составляющих систему, определять уже умеем.

Стоит подчеркнуть еще одно важное достоинство этого метода, общего уравнения динамики, – реакции связей (идеальных) исключаются при исследовании движения системы.

Иногда это уравнение можно использовать для исследования движения механических систем и в тех случаях, когда не все связи являются идеальными, например, когда имеются связи с трением. Для этого следует к активным силам добавить те составляющие реакций, которые обусловлены наличием сил трения.

Рассмотрим процедуру использования уравнения (3) для составления дифференциальных уравнений движения систем с двумя степенями свободы:

1. Изобразить механическую систему в произвольный момент времени.

2. Показать на рисунке активные силы и моменты, а также силы и моменты, соответствующие неидеальным связям (например, силы трения).

3. Определить главные векторы и главные моменты сил инерции.

4. Выбрать обобщенные координаты в числе, равном числу степеней свободы системы.

5. Дать виртуальное перемещение, соответствующее одной из степеней свободы системы, считая при этом виртуальные перемещения, соответствующие остальным степеням свободы, равными нулю.

6. Вычислить сумму элементарных работ всех сил и моментов (см. п. 2 и 3) на соответствующих виртуальных перемещениях и приравнять эту сумму нулю.

7. Повторить п. 4 - 6 для каждого независимого движения системы.

При применении общего уравнения динамики к системам с двумя и большим числом степеней свободы, в связи с громоздкостью выкладок, можно использовать следующие рекомендации:

1. Сделать предположение о направлении ускорений точек системы.

2. Направить на рисунке силы инерции в стороны, противоположные выбранным направлениям соответствующих ускорений.

3. Определить знаки элементарных работ сил инерции в соответствии с их направлениями на рисунке и избранными направлениями виртуальных перемещений точек системы.

4. Если искомые ускорения оказываются положительными, то сделанные предположения о направлениях ускорений подтверждаются, если отрицательными, то соответствующие ускорения направлены в другую сторону.

 

Пример 3. Определим ускорение груза G (рис.6). Вес цилиндра – Р, радиус – r. Цилиндр катится по плоскости без скольжения.

Рис.6

 

Решение. Показываем задаваемые силы – . Добавляем силы инерции. Сила инерции груза, движущегося поступательно,

.

Цилиндр совершает плоскопараллельное движение. Главный вектор сил инерции точек его

Главный момент сил инерции относительно центральной оси С:

Даем системе возможное перемещение, сдвинув груз вниз на малую величину . Центр цилиндра сместится вправо на величину , а весь цилиндр повернется вокруг мгновенного центра скоростей на угол

Вычисляем работу сил на этих перемещениях и составляем уравнение работ, общее уравнение динамики,

Так как , то, подставив значения сил инерции, получим уравнение

из которого находим

 

Обобщенные координаты

Обобщенными координатами мы будем называть параметры, которые определяют положение материальной системы.

Это могут быть обычные декартовы координаты точек, углы поворота, расстояния, площади, объемы и т.д.

Так на рис.7 положение балочки АВ и всех ее точек вполне определяется углом .

Рис.7

 

Положение точек кривошипно-шатунного механизма (рис.8) можно определить заданием угла поворота кривошипа или расстоянием s, определяющим положение ползуна В (при ).

Рис.8

 

Положение сферического маятника (рис.9) определяется заданием двух параметров, углов и .

Рис.9

 

Минимальное количество независимых друг от друга обобщенных координат, которых достаточно, чтобы полностью и однозначно определить положение всех точек системы, называют числом степеней свободы этой системы.

Вообще для любой материальной системы можно назначить несколько обобщенных координат. Например, у кривошипно-шатунного механизма (рис.8) указаны две обобщенные координаты и s. Но это не значит, что у механизма две степени свободы, так как одну координату можно определить через другую:

.

А вот у маятника (рис.71) две степени свободы, т.к. определяется его положение двумя независимыми обобщенными координатами. Кстати, если длина маятника изменяется, то для определения положения точки М потребуется еще один параметр – обобщенная координата l, длина нити. И у маятника станут три степени свободы.

Обобщенные координаты в общем случае будем обозначать буквой q.

Пусть материальная система имеет s степеней свободы. Положение ее определяется обобщенными координатами: q ₁, q ₂, q ₃,…, q_k,…, q_{s. .}

Нетрудно убедиться, что декартовы координаты n точек системы можно определить как функции обобщенных координат и времени:

 

 

Так у маятника (рис.9) координаты точки М

 

есть функции координат l, и , и времени t, если l = l(t).

Соответственно, и радиус-вектор точек системы можно определить как функцию обобщенных координат и времени:

(6)

 

Обобщенные силы

Каждой обобщенной координате можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Q_k.

Вычисление производится по такому правилу.

Чтобы определить обобщенную силу Q_k, соответствующую обобщенной координате q_k, надо дать этой координате приращение (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты :

где – перемещение i -той точки системы, полученное за счет изменения k –той обобщенной координаты.

Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:

И так как есть приращение радиуса-вектора за счет приращения координаты при остальных неизменных координатах и времени t, отношение можно определять как частную производную . Тогда

 

где координаты точек – функции обобщенных координат (5).

Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где а координаты точек – функции обобщенных координат, то